VI – Rang d’une matrice Mots clés : Rang

Définition 1 : Rang d’une matrice Exemple :

Proposition 1 : deux matrices ligne-équivalentes ont le même rang Exemple :

Proposition 1 : deux matrices ligne-équivalentes ont le même rang

Proposition 1 : rang(AB)  rang(A) Exemple :

Proposition 1 : rang(AB)  rang(A)

Proposition 1 : Si B est inversible alors rang(AB) = rang(A) Exemple :

Proposition 1 : Si B est inversible alors rang(AB) = rang(A)

Théorème 5 : rang(tA)=rang(A) Exemple :

Proposition 2 : Si B est inversible alors rang(BA) = rang(A) Exemple :

Proposition 2 : Si B est inversible alors rang(BA) = rang(A)

VI – Systèmes linéaires Mots clés : Equations, Inconnues, Constantes, Coefficients, Système homogène, Système trivial, Système incompatible, Inconnues pivots, Inconnues libres, Solution homogène, Solutions canoniques.

Définition 1 : p=3 inconnues x1, x2 et x3 n=2 équations n=2 constantes -5 et 4 nxp=2x3=6 coefficients p=2 inconnues x1 et x2 n=3 équations n=3 constantes 2, 0 et 4 nxp=3x2=6 coefficients

Remarque 1

Définition 2

s1=1 , s2= 2, s3= 4 est une solution du système : Définition 3 s1=1 , s2= 2, s3= 4 est une solution du système :

Remarque 2 : Rappel : C=AB les colonnes de C sont des combinaisons linéaires des colonnes de A : Cj=ABj et K (=AX) est une matrice colonne. Remarque 3 : En effet : A0=0

Définition 4 : La somme des deux premières équations donne 2x1=2 d’où x1=1. En remplaçant dans la 2eme équation on obtient x1=x2=1 En remplaçant dans la 3eme équation on obtient 3=4 Impossible! donc le système est incompatible On a vu que le système de l’exemple 1 est compatible

Remarque 4 : Le système est compatible si et seulement si K appartient à l’ensemble engendré par les colonnes de A. En effet Théorème 1 : AB=C  CJ =ABJ Donc AX=K  K =AX

Définition 5 : Deux systèmes linéaires sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions Remarque 5 : Cette relation est une relation d’équivalence Réflexive Symétrique Transitive

Proposition 1 : Soit AX=K un système linéaire et (A|K) sa matrice augmentée. Si (A|K) est ligne-équivalente à (B|H) alors AX=K et BX=H sont équivalents

En pratique : En donnant des valeurs à x3 on obtient celles de x1 et x2

Définition 6 : Deux inconnues pivots : x1 et x2 une inconnue libre : x3

Théorème 6 : Le système est donc incompatible

Théorème 6 : Le système admet donc une solution unique : x1=2 ; x2=3

Théorème 6 : Le système admet donc une infinité de solutions

Remarque 5 : Par exemple : x3=4 on obtient : x1=1 et x2=2 ou : x3=5 on obtient : x1=-1 et x2=-1

Définition 7 : L’ensemble solution d’un système linéaire homogène AX=0 est appelé noyau de la matrice A. On le note Ker(A) Proposition 2 : Soit un système linéaire homogène AX=0 alors : (a) 0Ker(A) (b) Si S1Ker(A) et S2Ker(A) alors S1+ S2Ker(A) (c) Si SKer(A) et lR alors lS1Ker(A)

Définition 8 : 3 inconnues pivots : x1 , x2 et x4 3 inconnues libres : x3 , x5 et x6

Définition 8 :

Définition 8 : 3 solutions canoniques

Théorème 7 :

Théorème 7 : 3 inconnues pivots : x1 , x2 et x4 3 inconnues libres : x3 , x5 et x6

Théorème 7 : S= Sh+Sp