Analyse des circuits électriques -GPA220- Cours #10: Systèmes de deuxième ordre Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Cours #10 Retour sur le cours #9: Quiz #3 Théorie du cours #10: Réponse à l’échelon des circuits RL et RC Proposition d’une méthode générale de résolution Quiz #3 Théorie du cours #10: Système de deuxième ordre: Circuit RLC en parallèle: réponse naturelle (Prochain cours: réponse à l’échelon) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Retour sur le cours #9 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Retour sur le cours #9 (1) Système de premier ordre Typiquement, voici à quoi ressemble généralement la réponse d’un système d’ordre 1 à une entrée de type échelon: Constante de temps? Gain statique? Temps de réponse? Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Retour sur le cours #9 (2) Dynamique réponse à l’échelon – circuits RL Dynamique de la réponse à l’échelon d’un circuit RL: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Retour sur le cours #9 (3) Dynamique réponse à l’échelon – circuits RC Dynamique de la réponse à l’échelon d’un circuit RC: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Retour sur le cours #9 (4) Proposition d’une méthode générale de résolution Première étape: On se pose la question est-ce qu’il faut ajouter ou enlever une source? Deuxième étape: On se pose ensuite la question quelles sont les conditions initiales sur l’inductance ou le condensateur? Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Retour sur le cours #9 (5) Proposition d’une méthode générale de résolution Troisième étape: On substitue dans l’équation appropriée: Réponse naturelle: Circuit RL Circuit RC Réponse à l’échelon: Circuit RL Circuit RC Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Quiz #3 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Cours #10 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Systèmes de deuxième ordre (1) Un système de deuxième ordre est un système dont la dynamique s’exprime à l’aide d’une équation où intervient la dérivée deuxième d’une variable. La forme générale: Si les coefficients a, b, c & d sont constants, on parle encore d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants d’ordre 2. Si d=0, on parle alors d’une équation différentielle homogène. Si d=0, et que a, b et c sont constants (invariants), alors la solution de cette équation est plus simple à trouver. Ce sera le cas dans le cadre du cours. Les systèmes d’ordre 2 sont très répandus dans le domaine du génie! Exemple: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Systèmes de deuxième ordre (2) Autre exemple de système d’ordre 2: Soit u le couple appliqué au bras afin de positionner la tête de lecture et y le déplacement angulaire qui en résulte: Exemple et image tirés des notes de cours d’ELE3202 – École Polytechnique de Montréal Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Systèmes de deuxième ordre (3) Typiquement, voici à quoi ressemble la réponse d’un système d’ordre 2: Image tirée de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Second_order_transfer_function.svg Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (1) Exprimer v(t) en fonction de R, L et C en supposant que L et/ou C contiennent de l’énergie: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (2) Solution générale d’une équation différentielle d’ordre 2, homogène, linéaire à coefficients constants: Où: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (3) Il existe trois types de réponses, dépendamment de la valeur du taux d’amortissement: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (4) Réponse sur-amortie (ζ>1) Si ζ>1 (réponse sur-amortie), alors les racines (s1 et s2) sont réelles et négatives. Pour trouver la valeur de A1 et de A2, il suffit alors d’utiliser les deux conditions initiales: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (5) Réponse sur-amortie (ζ>1) Or on sait que: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (6) Réponse sous-amortie (ζ<1) Dans le cas où ζ<1 (réponse sous-amortie), les racines s1 et s2 seront complexes: Qui peut se ré-écrire sous la forme: Où wd se nomme la fréquence naturelle amortie. À partir d’Euler, on obtient: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (7) Réponse sous-amortie (ζ<1) Pour trouver B1 et B2 on utilise aussi les conditions initiales: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (8) Réponse à amortissement critique (ζ=1) Lorsque ζ=1, nous sommes dans une situation particulière qui se nomme amortissement critique. Dans cette situation unique, les racines s1 et s2 sont réelles et égales: Pour trouver les valeurs de D1 et D2 on utilise aussi les conditions initiales: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (9) Rappel sur ce que nous venons de voir… Nous avons trouvé la tension entre les noeuds d’un RLC parallèle lorsque l’on déconnecte une source et que le circuit possède de l’énergie. En connaissant v(t), on connait la dynamique du système, c’est-à-dire qu’il est alors possible de déterminer directement iL(t), iR(t) et iC(t) à partir des formules que nous avons vu précédemment (Inductance, loi d’Ohm et capacitance). Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (10) Rappel sur ce que nous venons de voir… Sommaire de l’expression de v(t) dépendamment du taux d’amortissement ζ : **Tiré du livre, page 299. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Références [1] Présentations PowerPoint du cours GPA220, Vincent Duchaine, Hiver 2011 [2] NILSSON, J. W. et S.A. RIEDEL. Introductory Circuits for Electrical and Computer Engineering, Prentice Hall, 2002. [3] Wildi, Théodore. Électrotechnique, Les presses de l’Université Laval, 3ième édition, 2001 [4] Floyd, Thomas L. Fondements d’électrotechnique, Les éditions Reynald Goulet inc., 4ième édition, 1999 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014