Conduction dans les solides MISE EN EQUATION DU BILAN THERMIQUE   MISE EN EQUATION DU BILAN THERMIQUE SOMMAIRE PAGES Introduction Mise en équation du bilan thermique Cas simple du système cartésien monodimensionnel = cas du mur Coordonnées cylindriques à symétrie axiale Cas simple des coordonnées cylindriques à symétrie axiale avec L >> R Cas simple des coordonnées sphériques à symétrie centrale 2 3 10 11 12 13 RETOUR Denis BARRETEAU Jean - Stéphane CONDORET Nadine LE BOLAY SOMMAIRE GENERAL

2 INTRODUCTION Introduction Retour sommaire Dans ce chapitre, nous allons établir l’équation de conservation de l’énergie thermique par bilan sur un élément de volume. Chaque terme du bilan sera explicité, puis nous nous intéresserons à des cas simples, comme un volume plan ou un volume cylindrique.

= accumulation d'énergie interne 3 MISE EN EQUATION DU BILAN THERMIQUE Mise en équation Retour sommaire Ecrivons la conservation de l'énergie thermique dans un élément de volume de solide quelconque V V P flux de chaleur entrant - flux de chaleur sortant + flux de chaleur générée = accumulation d'énergie interne

est la densité de flux thermique 4 Retour La chaleur entre dans l’élément et en sort par conduction. sommaire On définit le vecteur normal unitaire orienté vers l'extérieur dS V P Alors : flux de chaleur entrant - flux de chaleur sortant = flux de chaleur à travers la surface est la densité de flux thermique Remarque : Le signe moins est dû au fait que la normale est dirigée vers l'extérieur et que, par convention, tout ce qui entre dans le volume V est compté positivement.

flux de chaleur générée = 5 Retour V P sommaire P est la puissance générée (au sens large) par unité de volume en J.s-1.m-3. Elle peut être générée dans l’élément par dégradation d’énergie électrique (effet joule), par fission ou comme le résultat d’une réaction chimique. flux de chaleur générée = Il est compté positivement si il génère de l'énergie, et négativement si il en consomme.

accumulation d'énergie interne = 6 Retour V P sommaire Si U représente l'énergie interne par unité de masse accumulation d'énergie interne = Dans le cas d'un solide, l'énergie interne par unité de masse U s'écrit :

+ flux de chaleur générée = accumulation d'énergie interne 7 Retour Le bilan de conservation de l'énergie thermique V P sommaire flux de chaleur entrant + flux de chaleur générée - flux de chaleur sortant = accumulation d'énergie interne devient alors : En transformant l'intégrale de surface en intégrale de volume (théorème de GREEN-OSTROGRADSKI) et en revenant à l'élément différentiel, on écrit alors : démonstration

est la densité de flux thermique, 8 Retour V P sommaire Dans l'équation générale que nous venons de démontrer est la densité de flux thermique, par conduction dans le cas de solides qui s'exprime par la loi de Fourier :

z dz y dy dx x Dans le cas d’un système cartésien tridimensionnel 9 Retour sommaire Ces équations seront écrites dans les configurations géométriques habituelles, en utilisant les expressions des div et grad adaptées. Dans le cas d’un système cartésien tridimensionnel dz dx dy z y x les équations ci-dessus conduisent à :

x CAS SIMPLE DU SYSTEME CARTESIEN MONODIMENSIONNEL = CAS DU MUR 10 CAS SIMPLE DU SYSTEME CARTESIEN MONODIMENSIONNEL = CAS DU MUR Cas du mur Retour sommaire Considérons le mur représenté ci-dessous x Dans l’équation générale seule la variable x intervient. Il reste :

COORDONNEES CYLINDRIQUES A SYMETRIE AXIALE 11 COORDONNEES CYLINDRIQUES A SYMETRIE AXIALE Cylindre Retour sommaire L’équation générale s’écrit dans ce cas :

12 CAS SIMPLE DES COORDONNEES CYLINDRIQUES A SYMETRIE AXIALE AVEC L >> R Retour L >> R sommaire L R Dans l’équation générale la variable z n'intervient plus. On a donc :

r CAS SIMPLE DES COORDONNEES SPHERIQUES A SYMETRIE CENTRALE 13 CAS SIMPLE DES COORDONNEES SPHERIQUES A SYMETRIE CENTRALE sphère Retour sommaire r L’équation générale s’écrit dans ce cas : Les résultats présentés précédemment ont été obtenus d'une manière purement mathématique, certes élégante, mais peut être difficile à raccrocher au sens physique. Vous trouverez sous ce lien une démonstration par bilan direct sur un élément différentiel (ici le cas cylindrique). On retrouve les résultats de l'équation générale, après adaptation et simplification, mais on visualise mieux la démarche. démonstration FIN CHAPITRE