Quand le programme est un problème Propagation de contrainte et programmation automatique 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique PLAN Quelques mots d’ALICE Son extension : RABBIT 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique ALICE Un langage déclaratif pour poser les problèmes Un résolveur général incorporant des méthodes de résolution variées qui s’appliquent de manière non déterminée à l’avance Un niveau « méta » qui choisit à tout instant la meilleure méthode à appliquer sur le (sous-) problème à résoudre i.e. compte-tenu des choix déjà faits et des implications déjà déduites 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique ALICE, un exemple : trouver les solutions entières positives de l’équation : x3 + 119 = 66 x Tout d’abord, on déduit : x3 < 66 x i.e. x2 < 66 , soit x  8 Donc x  [1, 8] 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique x3 + 119 = 66 x Raisonnons sur les parités. 119 est impair, 66 x est pair x, donc x3 est impair, donc x est impair. D’où x  {1, 3, 5, 7} 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique x3 + 119 = 66 x Raisonnons sur les intervalles. x  [1, 7], d’où l’équation sur les intervalles : [1, 343] + [119, 119] = [66, 462] i.e. : [120, 462] = [66, 462] On tient compte de l’égalité des intervalles : 66 x  [120, 462] donc : x  [ 120 /66, 462/66] Soit : x  [2, 7] mais compte-tenu des valeurs possibles de x, on obtient finalement x  {3, 5, 7} 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique x3 + 119 = 66 x Raisonnons encore sur les intervalles. On a : x  [3, 7], d’où : [27, 343] + [119, 119] = [198, 462] i.e. : [146, 462] = [198, 462] On tient compte de l’égalité des intervalles : x3 + 119  [198, 462] donc : x3  [79, 343] x3  79  x  5, donc : x  [5, 7] on obtient finalement x  {5, 7} 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique x3 + 119 = 66 x Raisonnons toujours sur les intervalles. On a : x  [5, 7], d’où : [125, 343] + [119, 119] = [330, 462] i.e. : [244, 462] = [330, 462] On tient compte de l’égalité des intervalles : x3 + 119  [330, 462] donc : x3  [211, 343] x3  211  x  6, donc : x  [6, 7] on obtient finalement la solution x  {7} 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique x3 + 119 = 66 x Résolution par RABBIT. idem : x3 < 66 x, soit x  8 Puis RABBIT déduit : x3 º 15 x modulo 17 (vient de 119 = 717 et 66=317+15) D’où x2 º 15 modulo 17 car x  17 (vient de x (x2 – 15) º 0 modulo 17, avec la règle : ab º 0 modulo k se réécrit (a º 0 modulo k) ou (b º 0 modulo k) si k premier) Donc : x2 = p  17 + 15 et p {1, 2} puis énumération sur p 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique Un petit problème posé par Jean-Louis Laurière. Trois joueurs A, B, C organisent un tournoi d’échecs, chaque joueur dispute 7 parties contre chacun de ses 2 adversaires. A l’issue du tournoi, A déclare : je suis satisfait, car c’est moi qui ai gagné le plus de parties B déclare : je suis satisfait, car c’est moi qui ai perdu le moins de parties C déclare : je suis satisfait, car j’ai gagné le tournoi Combien C a-t-il fait de parties nulles ? 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique Modélisation du problème GAB, NAB, GBC, NBC, GAC, NAC  [0, 7] GAB + NAB <= 7 GBC + NBC <= 7 GAC + NAC <= 7 2 GAB + GAC + NAB - GBC >= 8 GAB + 2 GAC + GBC + NBC + NAC >= 15 2 GAB - GBC + GAC - NBC + NAB + NAC <= 6 - GAB + GAC + 2 GBC + NBC >= 8 2 GAB + 2 GBC + 4 GAC + NBC + NAB + 2 NAC <= 27 - 2 GAB + 2 GAC + 4 GBC + 2 NBC - NAB + NAC <= 13 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique SIREN : un système expert de génération automatique de programmes résolvant des problèmes Problème combinatoire Manipulation formelles de contraintes Propagation de contraintes Génération du programme d’énumération Compilation et exécution du programme Solutions du problème combinatoire 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique SIREN : structure des programmes générés pour toute valeur de GAB pour toute valeur de NAB si (GAB + NAB)  7 alors pour toute valeur de GBC pour toute valeur de NBC etc. pour toute valeur de GAC si contraintes résiduelles satisfaites alors écriture de la solution fin si fin pour 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique RABBIT : extension d’ALICE Il existe des cas où le schéma choix + propagation n’est pas efficace La résolution après propagation est bien avancée Il reste peu de contraintes mais difficiles à analyser Il faut énumérer Le domaine de recherche est encore grand Il faut énumérer de manière très efficace, donc avec un programme d’énumération compilé 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique RABBIT : programmes générés Il faut déterminer l’ordre d’instanciation des variables et de prise en compte des contraintes Tant qu'il existe des contraintes Associer un poids à chaque opérateur de chacune des contraintes restantes = <= >= != " $ ==> autres 100 30 30 2 20 10 5 1 Diviser ce poids par le nombre de variables de la contrainte. Associer une masse à chaque inconnue : masse de xi = nombre d'occurrences de xi dans l'ensemble des contraintes affectées de leur poids et du coefficient multiplicateur de xi quand il existe. Déterminer la contrainte dont la masse est la plus forte. Empiler cette contrainte et les variables qu'elle concerne dans l'ordre de leurs masses et ignorer dorénavant cette contrainte. Fin Tantque. 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique RABBIT : programmes générés compilation des contraintes Exemples : Cas des inégalités Haut(i1) + Haut(i2) + Haut(i3) + 6 < hauteur est traduit en : Si ( Haut(i1) + Haut(i2) + Haut(i3) + 6 < hauteur) Cas du "Quel que soit" "i Î [4, K] P(i) donne : Pour ( i= 4; i<= K; i++) Si !P(i) Alors échec Cas du "Il existe" $i Î [K, K+4] P(i) donne : ok= 0; Pour ( i= K; i<= K+4; i++) Si P(i) Alors ok= 1. Si !ok Alors échec. Cas des implications V(i) < n  W(V(i)) = V(i+1) devient : Si V(i) < n alors Si W(V(i)) != V(i+1) alors échec 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique RABBIT : extension d’ALICE Propagation de contraintes choix Propagation de contraintes Propagation de contraintes Propagation de contraintes choix choix choix Génération d’un programme Propagation de contraintes Propagation de contraintes Génération d’un programme Propagation de contraintes Génération d’un programme choix échecs échec Génération d’un programme Propagation de contraintes échecs solutions solution solution solution 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE

Propagation de contrainte et programmation automatique RABBIT : parallélisation ? Propagation de contraintes choix Propagation de contraintes Propagation de contraintes Propagation de contraintes choix choix choix Génération d’un programme Génération d’un programme Génération d’un programme Génération d’un programme Propagation de contraintes Génération d’un programme échecs échec Génération d’un programme échecs solutions solution échecs solution 22 mars 2006 Journée scientifique en l'honneur de Jean-Louis LAURIERE