Formules de dérivation (suite) Jacques Paradis Professeur

Plan de la rencontre Rappel : composition de fonctions Dérivée de fonctions composées Dérivation en chaîne Dérivées successives Application Département de mathématiques

Volet historique (1 de 3) Origine de l’intérêt porté au calcul différentiel La période de la Révolution scientifique (1500-1700) Copernic (1473-1543) place le Soleil au centre de l’univers Galilée (1564-1642) étudie les lois de la chute des corps L’époque des grands explorateurs est engagé Les bateaux européens sillonnent les océans Mise au point des canons qui révolutionne l’art de la guerre L’étude du mouvement devient central Mouvement des corps, des astres Mouvements des bateaux Mouvements des boulets de canons Département de mathématiques

Volet historique (2 de 3) Émergence de trois grands types de problèmes concernant directement le calcul différentiel : 1. Connaissant la distance parcourue à tout moment, est-il possible de connaître la vitesse et l’accélération à chaque instant? 2. La direction du déplacement d’un objet en mouvement étant donné par la tangente à la trajectoire de l’objet, est-il possible de déterminer précisément les tangentes à certaines courbes? Problème sous-jacent : celui de l’optique (la fabrication des miroirs paraboliques et des lentilles  lunettes pour la navigation, l’observation astronomique ou pour la vue) Le calcul intégral viendra répondre à cette question posée à l’inverse, c’est-à-dire, connaissant la vitesse ou l’accélération à chaque moment, est-il possible de connaître la distance parcourue à chaque instant? La fabrication des miroirs paraboliques et des lentilles nécessite la détermination des tangentes ou des normales aux surfaces de ces derniers. Département de mathématiques

Volet historique (3 de 3) Émergence de trois grands types de problèmes concernant directement le calcul différentiel : (suite) 3. Le mouvement impliquant des distances, est-il possible de déterminer des valeurs qui rendent maximales ou minimales ces distances? Problèmes sous-jacent : En balistique, quel angle donné au canon permettant d’atteindre une cible la plus éloignée possible? En astronomie, quelles sont les distances maximale et minimale d’une planète par rapport au Soleil? En optique, le trajet de la lumière dans un corps transparent peut-il être analysé sous l’angle du plus court chemin entre deux points? Le Calcul différentiel découle donc de ces questionnements qui se sont posées de façon marquée au moment de la Révolution scientifique et auxquels il apporta des solutions tout aussi satisfaisantes que justes dans la plupart des cas. Selon le principe de Fermat, le trajet d’un rayon lumineux entre deux points quelconques P et Q est le parcours qui prend le moins de temps. Une conséquence immédiate de ce principe est que, dans un milieu homogène, les rayons lumineux se propagent en ligne droite puisque la ligne droite est la plus courte distance entre deux points. 4.Quatrième grand problème concerne plus spécifiquement le calcul intégral : Calculer la longueur de courbes, l’aire et le volume de figures bornées par des courbes et des surfaces courbes. Département de mathématiques

Composition de fonctions (1 de 3) Soit f(x) et g(x) deux fonctions La fonction composée, notée f ◦ g, est définie par (f ◦ g)(x) = f[g(x)] g x g(x) f f[g(x)] f ◦ g Département de mathématiques

Composition de fonctions (2 de 3) Exemple : Soit f(x) = x2 – 4x et g(x) = x2 -3x +2 Alors (f ◦ g)(x) = f[g(x)] = ? De plus (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = ? Exercice : Soit f(x) = x2 – 4x et Département de mathématiques

Composition de fonctions (3 de 3) Exemple : Soit H(x) = (x2 -3x +2)3 Si H(x) = f[g(x)], définir f(x) et g(x). Exercice : Soit H(x) = Exercices : page 31, no 6 (sauf e) Département de mathématiques

Dérivée de fonctions composées Exemple : Si H(x) = (x3 – x2 + 4)5, alors H’(x) = 5(x3 – x2 + 4)4 (3x2 – 2x) Preuve de cette formule : page 149. Exercices : page 155, nos 2 et 3 Généralisation : Si H(x) = [f(x)]r, où rIR, alors H’(x) = r [f(x)] r-1 f’(x) Exercice : Si f(x) = , trouver f’(x). Département de mathématiques

Dérivation en chaîne Soit x x+x u x u=g(x) Si x  0, alors u0 Département de mathématiques

Définition Soit f(x) une fonction continue, la fonction dérivée de f(x) est définie par : f’(x) = = y x y P Q1 x x+x Département de mathématiques

Dérivation en chaîne (Exemples) Ex. 1 : Soit y = u3 + u et u = 4x2 – x +16, trouver dy/dx au point d’abscisse x = 1. Ex. 2 : Une particule se déplace le long d’une courbe y = x2 + x – 4. Son abscisse est donnée par la fonction x(t) = 2t2 – t +2. Trouver dy/dt pour t = 2. Département de mathématiques

Dérivation en chaîne (généralisation) Si z = f(y), y = g(u) et u = h(x) Alors Exemple : Trouver dz/dx pour x = 2 si z = 3y2 + 1, y = 1 – 4u5 et u = 2x - 5. Exercices 4.3, page 155, no 5 Département de mathématiques

Dérivées successives Soit y = f(x), une fonction dérivable, Sa dérivée f’(x) est aussi une fonction qui peut donc être dérivable, et ainsi de suite. D’où Dérivée première : y’ f ’(x) Dérivée seconde : y’’ f ’’(x) Dérivée troisième : y’’’ y(3) f’’’(x) f(3)(x) Dérivée ne : y(n) f(n)(x) Département de mathématiques

Exemple Soit f(x) = x4 – x3 – 7x2 + x + 6 Alors f’(x) = 4x3 – 3x2 – 14x+ 1 De plus, f’’(x) = 12x2 – 6x – 14 Mais encore, f’’’(x) = 24x - 6 On continue, f(4)(x) = 24 Pour finir, f(5)(x) = 0 Exercices : page 156, nos 6  Trouver uniquement les dérivées première, deuxième et troisième. Département de mathématiques

Application (rappel) Soit x(t) la position d’un objet à l’instant t, La vitesse moyenne de cet objet sur un intervalle de temps [ti , tf] est définie par : La vitesse instantanée de cet objet au temps t est définie par : Département de mathématiques

Application Soit x(t) la position d’un objet à l’instant t, La vitesse instantanée de cet objet au temps t est définie par : v(t) = x’(t) L’accélération instantanée de cet objet au temps t est définie par la variation instantanée de la vitesse en fonction du temps : a(t) = = v’(t) = x’’(t) Département de mathématiques

Application (Exemple) La fonction x(t) décrit la position d’une particule qui se déplace le long d’un axe gradué, où x est en mètres et t, en secondes. a) Écrire la fonction vitesse et la fonction accélération. b) Donner la position, la vitesse et l’accélération à t = 1. c) À quel moment la particule est-elle immobile?. d) Déterminer la distance totale parcourue par la particule entre les instants t = 0 et t = 5. Département de mathématiques

Devoir Exercices 4.3, page 155, nos 1, 2, 3, 4a, 4b, 5, 6 (Trouver uniquement f’, f’’ et f’’’), 7a, 7b et 7c. Exercices 5.1, page 189, nos 1 à 3. Exercices récapitulatifs, page 164, nos 1(sauf l), 3 (facultatif), 4a, 4b, 4c, 8 et 9 Réponses pour les exercices récapitulatifs : Département de mathématiques

Réponses Département de mathématiques

Réponses au numéro 3, page 164

Une lentille convergente élémentaire composée d'une seule surface sphérique de réfraction Département de mathématiques

Département de mathématiques Épicicle et déférent : Département de mathématiques Département de mathématiques 23