Suites de matrices Quelques usages récurrents Enseignement de spécialité en Terminale S à compter de la rentrée 2012 Académie de Créteil

Extraits du nouveau programme : Introduction de « Matrices et suites » « Il s’agit d’étudier des exemples de processus discrets, déterministes ou stochastiques, à l’aide de suites ou de matrices. On introduit le calcul matriciel sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur des matrices d'ordre 3 ou plus sont essentiellement effectués à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel ».

Perspective de la présentation Une entrée spécifique par la résolution de problèmes : les matrices comme outil, une liste d’exemples phares. Phénomènes stochastiques : des ressorts communs et des variantes. Phénomènes discrets : l’outil matriciel dans des situations diverses.

Phénomènes stochastiques Phénomènes se ramenant à des Marches aléatoires sur un graphe probabiliste

Un exemple contextualisé Une petite station de ski dispose de 3 remontées mécaniques (1), (2) et (3). Pour un skieur adoptant un comportement aléatoire, on note Xn la variable aléatoire donnant le numéro de la remontée utilisée après n descentes. On note Ln la matrice ligne représentant la loi de Xn : Ln = (P(Xn = 0), P(Xn = 1), P(Xn = 2), P(Xn = 3)) Ln est appelé l’état probabiliste à l’instant n.

Données numériques On suppose que la station est configurée de telle sorte qu’arrivé au sommet de la remontée (1), le skieur se rende ensuite au départ de la remontée (2) avec une probabilité 𝑝 12 = P (Xn = 1) (Xn+1 = 2) = 0,3 Plus généralement, on donne 𝑝 𝑖𝑗 = P (Xn = i) (Xn+1 = j)

Arbre de probabilités conditionnelles

Graphe probabiliste La transition de n à n+1 (indépendante de n) peut se visualiser sur un graphe probabiliste. La somme des poids des arrêtes orientées issues de chaque sommet est égale à 1.

Matrice de transition A partir de l’arbre : On note x1, x2, x3 les probabilités respectives que le skieur vienne d’emprunter respectivement la remontée (1), (2), (3) à la descente n. On note y1, y2 et y3 les probabilités pour qu’il enchaîne sur la remontée (1) , (2), (3) à la descente n+1. On a alors : y1 = 0.3 x1 + 0.4 x2 + 0.5 x3 Et les deux autres relations analogues.

Matrice de transition Ln+1 = Ln . T Ces relations se traduisent matriciellement par : Ln+1 = Ln . T où T est la matrice : T = lisible directement sur le tableau :

Etat probabiliste après n descentes Il est alors facile de montrer par récurrence que : Ln = L0 . Tn

Calculs de Tn sur logiciel Sur tableur : Ski T puissance n.xlsx Avec Xcas, en mode calcul approché, on observe une stabilisation à partir de n=15 sur la matrice :

Convergence de Tn Une condition suffisante pour que Tn converge : On peut démontrer que dans le cas des matrices stochastiques, si T (ou une puissance de T) a tous ses coefficients non nuls, alors (Tn) converge vers une matrice stochastique [dont toutes les lignes sont égales entre elles et égales à un état stable de T (état alors unique)].

Convergence de Ln Par passage à la limite dans Ln = L0 . Tn , (Ln) converge vers Linf . Par passage à la limite Ln+1 = Ln . T , Linf est stable pour T (autrement dit, Linf est un vecteur propre associé à la valeur propre 1). Valeur exacte de l’état stable, et donc de l’état probabiliste limite : ……………………………………….

L’essence de la démarche Suite de VA Xn dont la relation de récurrence peut-être visualisée sur : Un arbre de probabilités conditionnelles tel que : P (Xn = i) (Xn+1 = j) est indépendante de n. Graphe probabiliste exprimant la transition entre les différents états probabilistes : Ln = (P(Xn = 0), P(Xn = 1), ….. , P(Xn = N)) (taille N+1) Matrice de transition T stochastique indépendante de n Ln+1 = Ln . T ; Par récurrence : Ln = L0 . Tn Puis on peut procéder à une étude asymptotique :

Etude asymptotique Cas où Tn converge : Une condition suffisante : pas de zéro (exige en particulier que la probabilité de stationner sur un sommet du graphe soit non nulle). Condition suffisante moins restrictive : matrice « régulière » : il existe une puissance de T dont tous les coefficients sont non nuls. Etat stable en cas de convergence : cas général

Cas où Tn ne converge pas Existence d’un état stable : convergence possible de Ln Cas des suites extraites convergentes

Champs d’application de la démarche Marche aléatoire sur un graphe probabiliste déclinée dans une multitude de contextes : Marche aléatoire dans labyrinthe

Champs d’application de la démarche Surf aléatoire sur un mini-réseau intranet : Sans saut Avec saut Un+1 = A Un + B

Champs d’application de la démarche Ehrenfest

Phénomènes déterministes