indépendance linéaire Dépendance et indépendance linéaire

Définitions: Des vecteurs linéairement dépendants sont des vecteurs tels que l’un d’eux est combinaison linéaire des autres. Exemple : Les vecteurs u, v et w sont linéairement dépendants. En effet, le vecteur u est une combinaison linéaire des vecteurs v et w (en travaillant en deux dimensions). u = v + w w u v

Des vecteurs linéairement indépendants sont des vecteurs tels que aucun d’eux n’est combinaison linéaire des autres. Exemple : Les vecteurs u, v et w sont linéairement indépendants. En effet, aucun des vecteurs n’est une combinaison linéaire des autres (en travaillant en trois dimensions). w u v

Une propriété caractéristique : Considérons les vecteurs u, v et w d’un espace vectoriel V. L’équation xu + yv + zw = 0 (E) dont les inconnues sont x,y et z, admet toujours (0,0,0) comme solution. Elle peut, éventuellement, admettre d’autres solutions. La solution (0,0,0) est appelée solution triviale. Montrons, par un exemple, que Les vecteurs u, v et w sont linéairement dépendants ssi L’équation (E) a d’autres solutions que la solution triviale.

Si les vecteurs u, v et w sont linéairement dépendants, alors, l’équation (E) a d’autres solutions que la solution triviale. w = 2 u + 3 v ou encore 2 u + 3 v – w = 0 Donc (2,3,-1) est solution de xu + yv + zw = 0 En deux dimensions! v w u

Si l’équation (E) a d’autres solutions que la solution triviale, alors, l’un des vecteurs u, v, w est combinaison linéaire des autres et les vecteurs u, v, w sont linéairement dépendants. (3,-2,4) est la solution de xu + yv + zw = 0 Donc 3 u – 2 v + 4 w = 0 Ou encore u En deux dimensions! v w

Généralisation : A partir de l’exemple, on peut caractériser la dépendance linéaire comme suit : Les vecteurs u, v, w sont linéairement dépendants ssi l’équation xu + yv + zw = 0 admet d’autres solutions que la solution triviale (0,0,0). En d’autres termes : Les vecteurs u, v, w sont linéairement dépendants ssi il existe une combinaison linéaire de u, v, w qui égale le vecteur nul et dont les coefficients ne sont pas tous nuls.

Les vecteurs linéairement indépendants étant des vecteurs qui ne sont pas linéairement dépendants, à partir de la caractérisation de la dépendance linéaire, on peut déduire une caractérisation de l’indépendance linéaire : Les vecteurs u, v, w sont linéairement indépendants ssi l’équation xu + yv + zw = 0 admet pour unique solution la solution triviale (0,0,0) Remarque : Si u, v, w sont linéairement indépendants, on dit que {u, v, w} est une partie libre de l’espace vectoriel.

Propriété utile : u, v, 0 sont linéairement dépendants : en effet, l’équation xu + yv + z0 = 0 admet d’autres solutions que la solution triviale (le vecteur nul pouvant être pris autant de fois qu’on veut). Exemple : u 0.u + 0.v + 27.0 = 0 v

Propriété utile : Si u, v sont linéairement dépendants, alors u, v, w sont linéairement dépendants. En effet : xv = u ou xv – u = 0 (x 0 ici x=2) w xv – 1u + 0w = 0 Ici 2v – 1 u + 0w = 0 ce qui n’est pas la solution triviale. Les vecteurs u, v, w sont donc linéairement dépendants. v u

Propriété utile : Si les vecteurs u, v, w sont linéairement indépendants, alors u, v; u, w et v, w sont linéairement indépendants. En effet (en trois dimensions) : Les vecteurs u, v, w sont linéairement indépendants, donc, aucun n’est combinaison linéaire des autres. Il en est donc de même pour: w u et v u u et w v v et w

Attention!! Ne pas confondre avec ces situations : Si les vecteurs u, v, w sont linéairement dépendants, alors u, v sont linéairement dépendants. Les vecteurs u, v, w sont linéairement dépendants. v Les vecteurs u et v ne sont pas linéairement dépendants. w u Si les vecteurs u et v sont linéairement indépendants, alors les vecteurs u, v, w sont linéairement indépendants. Les vecteurs u et v sont linéairement indépendants. v Les vecteurs u, v et w sont linéairement dépendants. w u

Ces affirmations sont donc FAUSSES!!!

« La dépendance et indépendance linéaire » Présentation réalisée par Colas Goeminne Sur base de « Savoir et savoir-faire en mathématique 5ème année niveau A »