Analyse fréquentielle Cours 6.1

Plan Série de Fourier Transformé de Fourier Théorème de convolution Filtrage fréquentiel

Analyse fréquentielle Idée maîtresse: Convertir du domaine spatial vers le domaine fréquentiel pour effectuer des manipulations. Ensuite, on convertit (conversion inverse) la solution du domaine fréquentiel vers le domaine spatial! Et voila 

Série de Fourier Toute fonction périodique Série de Fourier Sommation de fonctions sinus et cosinus de fréquences diverses Chacune multipliée par un coefficient différent Série de Fourier

Transformée de Fourier Toute fonction, même apériodique, mais dont l'aire sous la courbe est finie, L'intégrale de fonctions sinus et cosinus Chacune multipliée par un coefficient différent  Transformée de Fourier

Transformée de Fourier Caractéristique importante: Toute fonction peut être "transformée" du domaine Fourier au domaine original par une transformée inverse sans perte d'information

Transformée de Fourier En imagerie Pas de fonction cyclique en général Mais fonctions finies  aires sous la courbe finies!  Transformé de Fourier

Transformé de Fourier

Transformé de Fourier

Transformé de Fourier Formule d'Euler

Transformé de Fourier Coordonnés polaires Spectre (Magnitude) Phase (angle de phase)

Transformé de Fourier

Transformé de Fourier Spectre de puissance Mesure de l'énergie  densité spectrale Mesure de l'énergie

Transformé de Fourier

Transformé de Fourier

Transformé de Fourier Spectre Phase Spectre de puissance

Transformé de Fourier Multiplier la fonction d’entrée par (-1)x+y pour «centrer» la transformée D'où Et

Transformé de Fourier F(0,0) est la moyenne des niveaux de gris

Transformé de Fourier

Transformé de Fourier Si f(x,y) est réel La transformé est conjugué symétrique Le spectre est symétrique!

Transformé de Fourier Échantillonnage dans le domaine spatial et dans le domaine fréquentiel Relation inverse des dimensions Toute mesure faite dans un domaine peut être directement vue dans l’autre domaine et

Transformé de Fourier Interprétation intuitive du spectre ? Chaque terme de F(u,v) est fonction de TOUTES les valeurs de f(x,y) pondérées par l'exposant Impossible de faire une relation entre les éléments de chaque fonction

Transformé de Fourier Interprétation intuitive du spectre ? Les fréquences sont reliées directement aux taux de changements de tons de gris dans l'image La valeur de F(0,0) est la moyenne, à la fréquence nulle composante DC (Direct Current) Plus on s'éloigne du centre, plus la fréquence augmente

Transformé de Fourier

Transformé de Fourier Spectre Phase

Transformé de Fourier

Théorème de Convolution Correspondance entre filtres spatial et fréquentiel ? Pour deux fonctions f(x,y) et h(x,y)1 de dimension M X N, la convolution discrète est définie par 1(pour une fonction h(x,y) symétrique à l'origine)

Théorème de Convolution Domaine spatial Domaine fréquentiel Convolution Multiplication Multiplication Convolution

Théorème de Convolution Soit une fonction filtre fréquentielle Il existe un filtre spatial associé Calculer la transformé inverse du filtre fréquentiel Et vice-versa !