Révision des systèmes LIT, convolution et série de Fourier ELG3575 Introduction aux systèmes de télécommunication Révision des systèmes LIT, convolution et série de Fourier

Introduction Le diagramme bloc d’un système de télécommunication est démontré ci-dessous Source Émetteur Canal Destination Récepteur Présentation 1

Éléments d’un système de télécommunication Source Produit un message d’information Destination Récipiendaire qui va utiliser l’information produite. Canal Le lien physique qui portera l’information de la source à la destination. Présentation 1

Éléments d’un système de télécommunication Émetteur L’émetteur transforme le message de sa forme actuel à une forme qui permettra sa transmission sur le canal. Récepteur Le récepteur fait l’opération inverse de l’émetteur et, si possible, du canal. Erreur quadratique Taux d’erreurs. Présentation 1

But de l’ingénieur Concevoir des émetteurs et des récepteurs qui ne sont pas dispendieux à produire minimisent la largeur de bande requise maximisent le transfert d’information (la similarité du signal reçu au signal transmis) utilisent efficacement la puissance Parfois les buts sont contraire aux autres Par exemple, on améliore le transfert d’information en augmentant la puissance du signal transmis Il faut parfois échanger des qualités désirées contre des autres Présentation 1

Signaux utiles L’impulsion 1 t Présentation 1

Signaux utiles L’impulsion rectangulaire 1 -0.5 0.5 t Présentation 1

Signaux utiles L’impulsion triangulaire 1 -1 1 t Présentation 1

Signaux utiles sinc Présentation 1

Signaux utiles Sinc carré Présentation 1

Révision des systèmes LIT Un système avec x(t) comme entrée produit une sortie y(t) = H(x(t)). x(t) H(•) y(t) = H(x(t)) Présentation 1

Systèmes linéaires Un système est linéaire si la propriété de superposition s’applique Supposons le système produit la sortie y1(t) pour l’entrée x1(t) et la sortie y2(t) pour l’entrée x2(t). Alors y1(t) = H(x1(t)) et y2(t) = H(x2(t)) le système H est linéaire si pour x3(t) = ax1(t)+bx2(t), y3(t)=H(x3(t)) = aH(x1(t))+bH(x2(t)) = ay1(t)+by2(t). Présentation 1

Exemple 1 y(t) = x2(t). Pour l’entrée x1(t), la sortie est y1(t) = x12(t) et pour l’entrée x2(t), la sortie est y2(t) = x22(t). Pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), la sortie est y3(t) = x32(t) = (ax1(t) + bx2(t))2 = a2x12(t) + 2abx1(t)x2(t) + b2x22(t). Si le système est est linéaire, y3(t) doit être ay1(t) + by2(t) = ax12(t) + bx22(t) ≠ y3(t) ; alors ce système n’est pas linéaire. Présentation 1

Exemple 2 y(t) = tx(t). Pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), la sortie est y3(t) = t(ax1(t) + bx2(t)) = a(tx1(t)) + b(tx2(t)) = ay1(t) + by2(t). Alors ce système est linéaire. Présentation 1

Système invariant en temps Un système est invariant en temps si un délai à l’entrée ne cause que le même délai à la sortie.. Si y1(t) est la sortie qui correspond à l’entrée x1(t) et x2(t) = x1(t-t) est l’entrée qui produit une sortie y2(t). Le système est invariant en temps si y2(t) = y1(t-t). Présentation 1

Exemples y(t) = tx(t)? y(t) = 3+4x2(t)? Présentation 1

Systèmes LIT Un système est LIT s’il est linéaire et invariant en temps Un système LIT est décrit par sa réponse impulsionnelle. Réponse impulsionnelle , h(t), est la sortie qui correspond à l’entrée x(t) = d(t). Propriétés du signal d(t). . Présentation 1

La sortie d’un système LIT Si x(t) est l’entrée d’un système LIT, la sortie correspondante est y(t) = x(t)*h(t), où * indique la convolution. Présentation 1

Propriétés x(t)*(y1(t) + y2(t)) = x(t)*y1(t) + x(t)*y2(t). Présentation 1

Convolution avec l’impulsion Présentation 1

Exemple y(t) = P(t) *P(t) Utilisez des dessins afin de trouver les limites d’intégration. Présentation 1

Causalité Un système est causal si la sortie ne dépend pas des valeurs futures de l’entrée. Pour un système LIT Quand l < 0, y(t) depend de x(t-l)=x(t+|l|). Pour que le système LIT soit causal il faut que h(l)=0 quand l <0. Présentation 1

Stabilité Un système est stable si, pour n’importe quelle entrée bornée, la sortie est aussi bornée. Pour qu’un système LIT soit stable, il faut que Présentation 1

Supposons que nous ayons un jeu de fonctions {fn(t)}n=0,1,2,…,N où Représentation des signaux dans le domaine fréquentiel: Série de Fourier généralisée Supposons que nous ayons un jeu de fonctions {fn(t)}n=0,1,2,…,N où Si cn= 1 pour n’importe quelle valeur de n, on dit que le jeu est un jeu de fonctions orthonormales. Présentation 1

Série de Fourier généralisée Prenons une fonction x(t). On veut approximer la fonction x(t) sur l’intervalle (to, to + T) par la fonction xa(t) qui est donnée par : L’erreur quadratique moyenne (mean square error – MSE) est donnée par :

Série de Fourier généralisée La meilleure approximation, xa(t), est la fonction qui minimise l’erreur quadratique moyenne.

Série de Fourier généralisée le terme est 0 quand n ≠ i et c’est |Xn|2cn quand n = i. Soit

Série de Fourier généralisée eN est minimisée quand Xn = (1/cn)yn.

Série de Fourier généralisée Alors la meilleure approximation est Où Et

Exemple 2 Le signal x(t) = t2. Nous voulons trouver la meilleure approximation pour x(t) sur l’intervalle 0 ≤ t ≤ 1 avec les fonctions orthogonales démontrées ci-dessous. Trouvez et pour N = 2 et 3.

Exemple 2: Solution

Exemple 2: Solution eN diminue en augmentant N.

Introduction à la série de Fourier exponentielle complexe Il existe des jeux de fonctions orthogonales {fn(t)}-∞ ≤ n ≤ ∞, pour lequel l’approximation s’approche au signal originale sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T.

La fonction exponentielle complexe n est un entier La fonction est périodique avec période Tp. Donc Tp = m/nfo et la période fondamentale, Tf, est la plus petite valeur positive de Tp. Donc la période fondamentale est Tf = 1/|n|fo.

Orthogonalité et la constante cn Sur l’intervalle to ≤ t ≤ to+T, pour fo = 1/T. = Pour m≠n Pour m=n

La série de Fourier exponentielle complexe La série de Fourier exponentielle complexe du signal x(t) sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T est  où

La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques Considérons le signal sur l’intervalle -∞ ≤ t ≤ ∞. Nous savons que les fonctions exponentielles complexes sont périodiques. La période fondamentale d’une fonction exponentielle complexe est T/|n|. La sommation des fonctions périodiques est aussi périodique s’il existe un plus petit commun multiple des périodes des fonctions individuelles. Dans ce cas, le plus petit commun multiple des périodes est T.

La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques 2 est périodique avec période T = 1/fo. La fréquence fondamentale est l’inverse de la période fondamentale, donc fo est la fréquence fondamentale. Donc si x(t) est aussi périodique avec période T, =x(t) pour -∞ < t < ∞ Alors un signal périodique, x(t), avec période T a une série de Fourier x(t) =

La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques 3 Nous pouvons déterminer les coefficients de Fourier en faisant l’intégral sur n’importe quelle période de x(t)

Exemple Trouvez la série de Fourier exponentielle complexe du signal périodique x(t)

Solution Il faut déterminer La période de x(t) ainsi que fo. Les coefficients Xn La série de Fourier

Solution 2 Dans notre exemple, la période est 0.5, alors fo = 2. Le jeu de fonctions est ej4pnt. Alors

Solution 3 Pour n = 0, nous avons X0 = 0/0.

Les propriétés de la série de Fourier exponentielle complexe Supposons que le signal x(t) est un signal réel. C'est-à-dire que Im{x(t)} = 0. Le conjugué complexe du coefficient de Fourier Xn* est donné par :