Ali Gannoun Médiane et Quantiles Conditionnels multivariés. Application à la Modélisation des Processus Workshop : Des Mathématiques à leurs Applications 18 juin 2008
Paris, 18 juin Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnel multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion
Paris, 18 juin Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnel multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion
Paris, 18 juin Introduction : Médiane et Quantiles Conditionnels (X,Y) couple de variables aléatoires, (X i,Y i ) i=1,n n observations de (X,Y) n n est (la) racine de léquation
Paris, 18 juin Introduction : Médiane et Quantiles Conditionnels nDéfinition équivalente : solution dun problème doptimisation nPropriétés - Faible sensibilité aux points aberrants - Point de rupture à 50% - Invariante par transformation affine nGénéralisation aux quantiles conditionnels
Paris, 18 juin Introduction : Médiane et Quantiles Conditionnels nExemple
Paris, 18 juin Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnelle multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion
Paris, 18 juin Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée nMédiane arithmétique un vecteur aléatoire, une suite dobservations de Y Propriétés : non équivariante sous les rotations non équivariante sous des transformations affines générales
Paris, 18 juin nMédiane géométrique ou spatiale Soit la fonction, dite fonction coût ou de perte, définie sur par La médiane est définie comme suit 1.Résultat : si le support de Q nest pas inclus dans une droite et si la norme utilisée est euclidienne, existe et est unique. 2.Estimation : n-observations de Y, n un estimateur de tel que Un estimateur n de est obtenu Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée
Paris, 18 juin Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée nExemple n = = n = n =
Paris, 18 juin nMédiane spatiale conditionnelle (X,Y), -Définition : la médiane spatiale conditionelle est définie -Estimation : n-observations de (X,Y) un estimateur de Q(.|x) et n de – Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée
Paris, 18 juin Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnelle multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion
Paris, 18 juin Quantiles conditionnels multivariés nQuantiles spatiaux -Définition : -Estimation :
Paris, 18 juin Quantiles conditionnels multivariés nQuantile spatiaux conditionnels -Définition : -Estimation :
Paris, 18 juin Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnelle multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion
Paris, 18 juin TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels n ( resp. n (.)) est équivariante sous les transformations orthogonales mais non équivariante sous les transformations affines èConséquence (Chakraborty, Chaudhuri, Gosh): Modélisation non efficaceModélisation non efficace covariables corrélées covariables exprimées dans des échelles différentes Prédiction non efficacePrédiction non efficace èComment combler cette défaillance? !
Paris, 18 juin TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nCas de la médiane spatiale 1.Etape 1 : Transformation des données (n> d+1 et c - on définit la matrice Y(t) inversible si les Y i sont iid ayant une distribution absolument continue. - on note - on calcule la médiane spatiale des Z i (t) telle que nEtape 2 : Retransformation de lestimateur
Paris, 18 juin TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nCas de la médiane spatiale conditionnelle 1.La procédure Tansformation : 2. La procédure de Retransformation nGénéralisation aux quantiles spatiaux conditionnels 1.La procédure de Transformation 2.La procédure de Retransformation
Paris, 18 juin Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnelle multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion
Paris, 18 juin Mise en oeuvres des estimateurs nParamètres à choisir le noyeau K la fenêtre h n la matice de transformation Y(T) nMéthodes Noyau : Choix optimal (mais couteux) pour h n et Y(T) Choix effectif : Validation croisée (on se fixe lun des paramètres et on choisit lautre)
Paris, 18 juin Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnelle multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion
Paris, 18 juin Ajustement de la pression artérielle (diastolique et systolique) en fonction de lâge et du poids dune population of afro-americainen ( Maywood, Illinois). n=720, d=2, âge [11,85], poids [30,170] Application Systolic blood pressure DBP SBP Blood pressure DBP SBP Weight n n ^ ^ n ^ n ^ Diastolic blood pressureAge
Paris, 18 juin Comparaison de 3 méthodes destimation de la médiane spatiale Application * Critère: erreur quadratique
Paris, 18 juin Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnelle multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion
Paris, 18 juin Conclusion nMéthodes –robustes –invariantes –Bien adaptées à la modélisation et à la prédiction –Belles propriétés mathématiques nRéférences –Duffet, C., Gannoun, A., Guinot, C., Saracco, J. (2005). An affine equivariant estimator of conditional spatial median, Preprint. –Gannoun A., Saracco J., Yuan A., Bonney G. E. (2003). On adaptive transformation- retransformation estimate of conditional spatial median, Communications in Statistics Theory and methods, 32, –Berlinet A., Cadre B., Gannoun A., (2001). On the conditional L 1 -median and its estimation, Journal of Nonparametric Statistics, 13, –Chakraborty, B., Chaudhuri, P. (1999). A note on the robustness of multivariate medians, Statistics and Probability letters, 45,