Place et nature des problèmes dans les programmes 2008. Mission Mathématiques 1er degré Plan DUNE: formation Calcul mental et TICE Place et nature des problèmes dans les programmes 2008. Jean-Jacques Calmelet http://cms.ac-martinique.fr/structure/polemathematiques/

« Résolution de problèmes » : Une confusion… Apprendre par résolution de problèmes C’est un modèle pédagogique transversal Apprendre la résolution de problèmes C’est une approche didactique précise MATH ~ JJC ~ 2012

Le problème : une notion brouillée ! la résolution de problèmes dans les programmes 2008 : activité centrale ou spécifique ? activité mathématique ou transversale ? opposition : « Pédagogie du problème » / «  pédagogie de l’exercice » « La résolution de problème fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations » le lexique problèmes « pour chercher » problèmes « complexes » (plusieurs étapes non spécifiées) Apprendre à trouver / apprendre à chercher… chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées (automatisation) chercher, tâtonner, bricoler une solution avec les outils plus ou moins adaptés (mais maîtrisés par l’élève) Procédures « personnelles » / procédures expertes « Organisation et gestion de données » méthodes de lecture, de tri, d’organisation des données de la vie courante… proportionnalité MATH ~ JJC ~ 2012

Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Evaluation 6e - 2007 58 % 61 % Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y aura-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. Il y a ……… photos sur la page incomplète. MATH ~ JJC ~ 2012

Transformation (analogie) Opération (symbolisme) / Opération (symbolisme) Schématisation des pages et des photos Dénombrement (GS) Addition de 6 en 6 Addition (CP) Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication par 6 Division par 6 Groupement MATH ~ JJC ~ 2012

Démarches pédagogiques : des malentendus Pilotage de la séance : guidage fort / guidage faible Phase de dévolution : - comment présenter le « problème » et le faire partager ? Phase de recherche : (rapport IGEN « enseignement des mathématiques au cycle 3 ») « Le maître n’apporte aucune aide à la résolution de problème, ce qui ne veut pas dire qu’il est totalement absent …(il circule, observe, relève les erreurs)… il regarde l’élève en train de chercher, au plus près de son travail, sans le gêner, dans une attitude de repérage d’erreur éventuelle qui appelle alors un dialogue silencieux… Cette interaction ménage un éventuel temps pendant lequel l’élève sèche (sécher fait totalement partie de la culture mathématique et même du plaisir ultérieur de la découverte). Il y a un équilibre subtil à trouver entre l’intervention auprès de l’élève et le respect du temps de recherche. »

3. Phase de mise en commun : c’est le maître qui choisit un nombre de cas restreint dont la progressivité conduit vers l’objectif, s’en approche expliciter 4. Phase d’institutionnalisation : c’est l’enseignant qui présente le savoir à apprendre hiérarchiser 5. Phase de synthèse : mise en évidence du savoir nouveau (formalisation, un écrit, une affiche… provisoire) la classification : base de l’automatisation (reconnaître des structures 6. Phase d’entraînement : c’est différencié des exercices variés (densité, fréquence…) c’est la phase de l’automatisation = apprentissage des solutions expertes… 7. Phase d’entretien : reprise au long de l’année – en début d’année suivante !

Faire passer par une phase de recherche solitaire (temps court) Remarques : Faire passer par une phase de recherche solitaire (temps court) Le travail en groupe reste souvent confus et peu efficace (le but, la tâche) : « c’est touffu, c’est flou.. »… Mais, faire « penser tout haut » : développer l’expression orale Développer la validation = argumentation, preuve… (oral / écrit) Synthèses (affichage, cahier-outil / cahier-mémoire) (oral / écrit) Distinguer exploitation de l’erreur et correction... Reprise à intervalles réguliers des acquis antérieurs Ne jamais oublier que la « procédure experte » est l’objectif de la séquence : entraînement ! Dans la séance : inclure la 1ère phase d’automatisation MATH ~ JJC ~ 2012

Automatiser = modéliser : la catégorisation. Automatiser : une procédure d’expert ! Des « classes » de problèmes : CATEGORISER Un exemple : la division au CE1 « Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupements. » MATH ~ JJC ~ 2012

Division groupements (quotition : on cherche le nombre de parts) Division partage (partition : on cherche la valeur d’une part) Combien d’équipes de 5 élèves peut-on faire dans notre classe de 22 élèves ? Je veux faire 5 équipes dans la classe de 22 élèves. Combien y aura-t-il d’élèves dans chaque équipe ?                          5   2  5 5 5 5 2

Ce sont TOUS des problèmes de division Combien d’équipes de 5 élèves peut-on faire dans notre classe de 22 élèves ? Je veux faire 5 équipes dans la classe de 22 élèves. Combien y aura-t-il d’élèves dans chaque équipe ? « Avec 22 élèves on peut faire 4 équipes de 5 élèves et il reste 2 élèves. » « Avec 22 élèves on peut faire 5 équipes de 4 élèves et il reste 2 élèves. » 22 = (4 x 5) + 2 et 2 < 5 22 = (4 x 5) + 2 et 2 < 5 Ce sont TOUS des problèmes de division Je veux faire 5 équipes dans la classe de 20 élèves. Combien y aura-t-il d’élèves dans chaque équipe ? Combien d’équipes de 5 élèves peut-on faire dans notre classe de 20 élèves ? 20 : 5 = 4 parce que 5 x 4 = 20 20 : 5 = 4 parce que 5 x 4 = 20

Problèmes de division partage avec reste division exacte groupement Je veux faire 5 équipes dans la classe de 20 élèves. Combien y aura-t-il d’élèves dans chaque équipe ? 20 : 5 = 4 Combien d’équipes de 5 élèves peut-on faire dans notre classe de 22 élèves ? 22= (5 x ‘4) + 2

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Un cahier pour « communiquer » Les écrits des élèves : Le brouillon Le cahier mémoire Des écrits formalisés (dictionnaire de nombres, tables, procédures de calcul mental, techniques opératoires, problèmes…) Des affiches : À durée déterminée… Un cahier pour « communiquer » Cahier du jour Cahier de mathématiques MATH ~ JJC ~ 2012

Modalités de travail… Découvrir… Construire un apprentissage : sous réserve qu’on ne sache pas déjà : progression « spiralaire » hypothèses, tâtonnements Construire un apprentissage : temps fort, systématisation (ce n’est pas répéter / c’est multiplier les rencontres dans des contextes différents) temps différenciés Renforcer à intervalles réguliers Evaluer : ultérieurement dans un contexte différent de celui de l’apprentissage