ETUDE NUMERIQUE D’UNE POUTRE SANDWICH Abstract Ce travail a pour objectif la corrélation entre les résultats obtenus par la méthode des éléments fini et ceux obtenus en adoptant les théories de Bernoulli et de Timoshenko, dans l’analyse de la flexion des poutres composites de type sandwich. Lors de l’étude analytique, on a considéré les rigidités extensionnelle et flexionnelle équivalentes de la section transversale homogénéisée de la poutre. Cependant lors de l’étude numérique, on a considéré la caractéristique mécanique de chaque constituant on optant pour une méthode de discrétisation. Les déplacements transversaux obtenus ont montré l’inefficacité de la théorie de Bernoulli alors qu’on a marqué une convergence de la valeur numérique vers celle analytique de Timoshenko qui, contrairement à Bernoulli, considère les déformations dues au cisaillement transverse qui sont plus important dans une poutre sandwich (anisotrope) que dans une poutre isotrope. Les contraintes normales et tangentielles à, travers l’épaisseur sont aussi présentés afin de mettre en évidence les variations brusques dues à la variation des propriétés mécaniques à travers l’épaisseur de la poutre. Abderrahmani Seif Eddine (1), Abdeddaim Mahdi (2), Tati Abdelwahab(3) (1),(2) Département de génie civil U.Biskra sifo07000@yahoo.fr abdeddaim_mms@yahoo.fr (3)Laboratoire de Génie énergétique et Matériaux, LGEM, U.Biskra References Les sandwiches sont des matériaux composites multicouches qui consistent en deux peaux minces, métalliques ou en matériaux composites, séparés par un cœur épais de faible densité. Cette configuration donne au matériau sandwich une résistance et une rigidité spécifique pour une faible densité. Ces qualités et d’autres sont la raison pour que les structures sandwich reçoivent une attention considérable. En effet, les structures sandwich sont largement utilisées dans divers domaines et spécialement dans le domaine aérospatial. Fig.1: Des sandwich a âmes creuses. L’importance de développer une analyse sur le comportement des poutres est liée d’une part à l’utilisation des poutres comme éléments de base dans la réalisation des structures, et d’autre part à la caractérisation des propriétés mécaniques des matériaux sandwichs. Le but de ce travail est la modélisation numérique de la flexion d’une poutre sandwich en utilisant un élément fini membranaire permettant de mettre en évidence la variation des contraintes normales et spécialement les contraintes de cisaillement selon l’épaisseur. L’étude a aussi pour objectif la comparaison des résultats obtenus numériquement avec ceux obtenus en utilisant les théories de Bernoulli et de Timoshenko. 2. ETUDE THEORIQUE Dans cette étude théorique nous allons adopter la théorie de Timoshenko [4] appliquée aux poutres isotrope afin de l’appliqué sur une poutre sandwich, G. Cailletaud [5] a démontré qu’on utilisant une approche, qui consiste à évaluer le champ de contrainte à partir du champ de déplacement. On suppose donc que, en présence de plusieurs couches, on continue à avoir la même cinématique. Contrairement au cas du matériau homogène, il y a maintenant une distribution spatiale des propriétés élastiques, qui dépendent de la cote y dans la section. Ceci interdit de sortir les modules des intégrales, et conduit donc à des moyennes différentes, prenant en compte à la fois la géométrie et le comportement. 3. FORMULATION ELEMENT FINI 4. Résultats Pour l’exemples exploités nous avons constaté la convergence rapide des résultats donnés par le programme vers ceux obtenus par l’étude théorique, on a pu montrer l’inefficacité de la théorie de Bernoulli, qui ne prend pas en considération l’effet de l’effort tranchant sur le déplacement pour des poutres anisotropes (sandwich). Il s’avère aussi que la théorie de mélange ou d’équivalence utilisée pour l’étude théorique donne des résultats pondérés et majorés comparée à l’étude numérique, la théorie considère aussi une continuité des contraintes qui est en réalité fausse car il se produit une discontinuité des contraintes à l’interface lors du passage d’un matériau a l’autre (de l’âme à la semelle), la discontinuité des contraintes est clairement visible dans les résultats que donne le programme car il utilise une approche de discrétisation qui prend en considération les caractéristiques de chaque matériaux ce qui permet l’obtention de résultats très exacts. L’approche de discrétisation reste très intéressante pour l’observation de la variation des contraintes aux niveaux des interfaces et le calcul des déplacement [1] Kant, T., and Patil, H. S (1991) Journal of Reinforced Plastics and Composites Vol. 10, 102–109. [2] Hunt G. E., and Da Silva, L. S. (1990) Journal of Applied Mechanics Vol. 57, 189–196. [3] Hunt, G. E., and Da Silva, L. S. (1990) International Journal of Mechanical Structures and Mechanics Vol. 18, 353–372 [4] S.P. Timoshenko. (1968) Résistance des matériaux Tome 1, Dunod. [5] G. Cailletaud, M. Tijani. (2011) Mécanique des matériaux solides notes de cours. MINES ParisTech. [6] A. Tati, A. Abibsi. (2007) Revue des composites et des matériaux avancés Vol. 17, 279–296. [7] Michel Cazenave. (2010) Méthode des éléments finis approche pratique en mécanique des structures. Dunod. 1. Introduction 5. Conclusion Evaluation des efforts intérieurs • Moment : Calcul de la rigidité équivalente en flexion: Cisaillement : - Ep : Module d’élasticité des peaux inférieur et supérieur, On admet tout simplement de négliger la contribution des plaques métalliques externes ; on se limite à l’intégrale sur le cœur de la poutre, soit, en supposant que celui-ci est compris entre h : - Ea : Module d’élasticité de l’âme, - Ip : Moment d’inertie des peaux, - Ia : Moment d’inertie de l’âme, - e : épaisseur des peaux (semelles), - 2h : hauteur de l’âme, b : largeur de la section. Calcul de la rigidité équivalente de cisaillement : On introduit les valeurs suivantes: μa : Module de cisaillement de l’âme, Sa : Section de l’âme, Les recherches concernant le comportement des structures sandwich a débuté juste après la deuxième guère mondial et s’est intensifié dès 1990 spécialement après le développement des modèles d’ordre supérieur [1,2,3], capable de mieux modéliser la variation des contraintes de cisaillement à travers l’épaisseur des plaques et des poutres sandwich. Avec tous ce qui a été fait, il reste toujours des questions qui nécessitent davantage d’investigation, à cause de la complexité du comportement de ces structures et parmi ces questions, le comportement de flexion qui engendre des contraintes de cisaillement transverses qui sont à l’origine de plusieurs modes d’endommagement de ce type de structures. Afin de validé l’élément une comparaison des résultats donnés par le programme et ceux de l’étude théorique est nécessaire ETUDE NUMERIQUE D’UNE POUTRE SANDWICH L’élément utilisé est élément un Q4 iso-paramétrique formulé par la méthode des éléments finis et adapté aux matériaux sandwich [6], en utilisant le principe des Travaux virtuels [7], nous allons trouver le vecteur force {f} et la matrice de rigidité globale [K]. Fig.2: les coordonnées et les déplacements de l’élément utilisé . Conclusion Suite à exemple de la poutre sandwich simplement appuyée , c’est-à-dire dans le cas de l’anisotropie, et après interprétation des résultats on peut conclure ceci : La discrétisation faite par le programme qui prend en considération les caractéristiques de chaque matériau. L’erreur est relativement grand cela est dû principalement aux considérations prises lors de l’étude théorique. La convergence rapide des résultats donnés par l’élément vers ceux calculés analytiquement. La prise en compte par l’élément de l’effet de cisaillement transverse qui influe sur le déplacement ce qui le rend compatible avec la théorie de Timoshenko. JEGM 29-30 avril 2013 Loi de comportement :   Principe des travaux virtuel :                         Poutre sandwich (anisotrope) : La charge P (N) Longueur L (mm) E (peaux) E (âme) Nult Largeur b (mm) Hauteur de l’âme h (mm) Hauteur Des peaux e (mm) Condition au limite 15000 500 75000 0,3 40 25 2 Simplement Appuyée       Tableau.1: données de la poutre étudiée. Fig.3: géométrie de la poutre étudiée.   Interprétation des résultats  La convergence des résultats est rapide et s’approche rapidement des résultats théorique. Les résultats donnés par l’élément tendent vers les résultats obtenus par la théorie de Timoshenko et dépasse les résultats donnés par la théorie de Bernoulli. L’erreur relativement grand, est due aux considérations prises lors de l’étude théorique en l’occurrence la non-participation des semelles à la résistance aux efforts tranchants.     Champs de déplacements :     Relations cinématique :   les fonctions de formes associées au calcul des déplacements seront également utilisées pour la définition de la géométrie de l’élément d’où le nom iso-paramétrique En introduisant les fonctions de forme :