Détermination des efforts dans les barres Méthode des nœuds Calcul d’un treillis Détermination des efforts dans les barres Méthode des nœuds Accesmad 2014 PB Accesmad 2014 

Forme et dimensions du treillis choisi Choix du repère 1xy pour le calcul x y origine 4 7 3 2m q 1 8 5 6 2 8m Info pour les calculs qui suivent : cos 26,5°=0,894 ; sin 26,5°=0,446  ou 

Types d’appuis y 4 7 3 2m x 1 8 5 6 2 8m Cette disposition rend la structure isostatique et donc calculable par application du seul Principe Fondamental de la Statique (P.F.S)  ou 

Charges extérieures: y 4kN 2kN 2kN 4 7 3 2m x 1 8 45° 5 6 2 8m 5KN  ou 

Liaisons extérieures: nombre d’inconnues y 4kN 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x 8m 5KN Appui gauche= appui simple : 1 seule inconnue verticale R1y Appui à droite=articulation: 2 inconnues R8y et R8x  ou 

Calcul des inconnues y 4kN 2kN 2kN 4 + 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 Attention: le sens des forces représentées sur le schéma n’est qu’une hypothèse . Le signe « – » après calcul signifie que le sens réel de la force est contraire à l’hypothèse. Le signe « + »signifie que le sens de la flèche représentée est bien le sens réel de la force. y 4kN 2kN 2kN 4 + 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x 8m 5KN Pour déterminer les 3 inconnues il faut 3 équations d’équilibre. 1ère équation : écrivons que la somme des moments au point 1 de toutes les forces doit être nulle: 2ème équation :La somme des projections sur Oy de toutes les forces doit être nulle: 3éme équation :la somme des projections sur Ox de toutes les forces doit être nulle: (Force orientée vers la gauche)  ou 

Equilibre noeud1 : diagramme des forces et tableau des projections y 4kN Attention: le sens des forces inconnues représentées sur le diagramme des forces n’est qu’une hypothèse . Le signe « – » après calcul signifie que le sens réel de la force est contraire à l’hypothèse. Le signe « + » par contre est en accord avec elle. F1,3 <0, cette force agit de 3 vers 1, elle pousse sur le nœud , la barre 1,3 est donc comprimée. F1,2 >0,cette force agit de 1 vers 2 comme sur le diagramme, elle tire sur le nœud, la barre 1,2 est en traction 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x 8m 5KN Inconnues F1,2 et F1,3 (sens choisis arbitrairement) Forces Proj Ox (kN) (val. algéb) Proj Oy (kN) +6,65 R1y F1,3 F1,2 Conditions d’équilibre du nœud:  ou 

Equilibre nœud 2 y 4kN 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x 8m F2,5>0, cette force agit de 2 vers 5 comme l’indique le diagramme, elle tire sur le nœud , la barre 2,5 est donc soumise en traction. F2,3 >0,cette force agit de 2 vers 3, comme sur le diagramme ; elle tire sur le nœud, la barre 2,3 est en traction 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x 8m 5KN F2,3 Forces (vecteurs) Proj Ox (kN) (val. algéb) Proj Oy (kN) Inconnues F2,3 et F2,5 F1,2 F2,5 5  ou 

Equilibre nœud 3 y 4kN 4 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x F3,4<0, cette force agit de 4 vers 3, elle pousse sur le nœud , la barre 3,4 est donc comprimée. F3,5 <0,cette force agit de 5 vers 3, elle pousse sur le nœud, la barre 3,5 est comprimée. 4 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x 8m 5KN 2 14,9 3,53 F3,4 F3,5 Forces (vecteurs) Proj Ox (kN) (val. algéb) Proj Oy (kN) Inconnues F3,4 et F3,5

Equilibre nœud 4 y 4kN 4 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x F4,7<0, cette force agit de 7 vers 4, elle pousse sur le nœud , la barre 4,7 est donc comprimée. F4,5 <0,cette force agit de 4 vers 5, elle tire sur le nœud, la barre 4,5 est en traction. 4 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x 8m 4kN 8,7kN F4,5 F4,7 5KN Inconnues F4,7 et F4,5 Forces (vecteurs) Proj Ox (kN) (val. algéb) Proj Oy (kN) Conditions d’équilibre du nœud:  ou 

Equilibre nœud 5 y 4kN 4 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x F5,7<0, cette force agit de 7 vers 5, elle pousse sur le nœud , la barre 5,7 est donc comprimée. F5,6>0,cette force agit de 5 vers 6, elle tire sur le nœud, la barre 5,6 est tendue. 4 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x 8m 5KN Forces (vecteurs) Proj Ox (kN) (val. algéb) Proj Oy (kN) 9,8kN 6,2kN 3,8kN F5,7 F5,6 Inconnues F5,7 et F5,6 condition d’équilibre du nœud:

Equilibre nœud 6 y 4kN 4 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x F6,7=0, la barre 6,7 ne reçoit aucun effort. F6, 8 >0,cette force agit de 6 vers 8, elle tire sur le nœud, la barre 6,8 est tendue. 4 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x 8m 5KN Forces (vecteurs) Proj Ox (kN) (val. algéb) Proj Oy (kN) Inconnues F6,8 F6,7 6,3kN F6,7 F6,8

Equilibre nœud 7 y 4kN 4 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x F7,8<0, cette force agit de 8 vers 7, elle pousse sur le nœud , la barre 8,7 est donc comprimée. 4 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x 8m 5KN Forces (vecteurs) Proj Ox (kN) (val. algéb) Proj Oy (kN) Inconnue F7,8 F7,8 8,7kN 2,3kN 2kN

Vérification de l’équilibre du nœud 8 y 4kN 2kN 2kN 4 7 3 2m R8y R1y x 1 8 45° 5 6 2 R8x 8m 5KN Forces (vecteurs) Proj Ox (kN) (val. algéb) Proj Oy (kN) Toutes les forces sont connues valeurs et sens 4,9kN 3,5kN 11kN 6,3kN Vérification : la somme des projections sur Ox et Oy est bien nulle

Récapitulatif des efforts y 4kN 2kN 2kN 4 7 3 +3,8kN 2m -14,9kN -11kN R8y R1y -6,2kN -2,3kN +3,5kN 0kN x 1 8 +13,3kN +9,8kN +6,3kN +6,3kN 5 6 2 R8x 8m 5KN +=traction; -=compression +=traction; -=compression  ou 