Une idée : représenter chaque point du plan par un seul nombre Nombres complexes Une idée : représenter chaque point du plan par un seul nombre

Les nombres réels sont les abscisses des points d’une droite graduée Les nombres complexes Les nombres réels sont les abscisses des points d’une droite graduée point d’abscisse – 2 1 point d’abscisse 3 Les nombres complexes sont les affixes des points du plan gradué point d’affixe i point d’affixe 3 + 2 i point d’affixe 2 i point d’affixe 1 point d’affixe 0 point d’affixe 3 En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b

En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b Les nombres complexes En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b Les nombres complexes sont les affixes des points du plan gradué point d’affixe i point d’affixe a + i b point d’affixe i b point d’affixe 1 point d’affixe 0 point d’affixe a En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b

En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b Les nombres complexes En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b Par définition la longueur de ce segment de droite est le module de z et s’écrit |z| Le carré de la longueur de ce segment de droite est a2 + b2 (théorème de Pythagore) donc |z|2 = a2 + b2 point d’affixe i point d’affixe a + i b point d’affixe i b |z| point d’affixe 1 point d’affixe 0 point d’affixe a En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b

En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b Les nombres complexes En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b En trigonométrie nous avons b |z| a |z| Cet angle est par définition l’argument de z et s’écrit arg z sin arg z = cos arg z = On a donc z = |z| cos arg z + i |z| sin arg z point d’affixe i point d’affixe a + i b point d’affixe i b |z| arg z point d’affixe 1 point d’affixe 0 point d’affixe a En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b

En général un nombre complexe s’écrit z = x + i y Les nombres complexes En général un nombre complexe s’écrit z = x + i y Ensembles des points d’affixe imaginaires point d’affixe i Idée géométrique fondamentale : Une multiplication par i point d’affixe i x donne une rotation de + π / 2 radians Ensemble des points d’affixe réelle point d’affixe 0 point d’affixe 1 point d’affixe x En général un nombre complexe s’écrit z = a + i b

Une multiplication par i Les nombres complexes Si on souhaite que les nombres imaginaires et réels obéissent aux mêmes règles de calcul algébrique que les nombres réels alors on peut écrire i (a + i b) = i a + i i b = i2 b + i a Il faut alors admettre que i2 = i i = – 1 C’est cohérent Une multiplication par i donne une rotation de + π / 2 radians Idée géométrique fondamentale : point d’affixe i (a + i b) point d’affixe i a Point d’affixe – b point d’affixe i b point d’affixe a + i b point d’affixe a point d’affixe 0 Les deux triangles jaunes sont identiques

D’après la trigonométrie Les nombres complexes Si on souhaite que les nombres imaginaires et réels obéissent aux mêmes règles de calcul algébrique que les nombres réels alors si u = a + i b et z = x + i y u z = (a + i b) (x + i y) = a x + a i y + i b x + i b i y = a x + i a y + i b x + i2 b y Conclusion : pour multiplier deux nombres complexes il suffit de multiplier leurs modules et d’additionner leurs arguments. = a x + i a y + i b x – b y = (a x – b y) + i (a y + b x) Comme u = |u| cos arg u + i |u| sin arg u nous avons a = |u| cos arg u et b = |u| sin arg u C S Comme z = |z| cos arg z + i |z| sin arg z nous avons x = |z| cos arg z et y = |z| sin arg z C’ S’ Mais ces formules sont longues à écrire donc on abrège en renommant les fonctions trigonométriques u z = (|u| C |z| C’ – |u| S |z| S’) + i (|u| C |z| S’ + |u| S |z| C’) = |u| |z| ((C C’ – S S’) + i (C S’ + S C’)) = |u| |z| (cos (arg u + arg z) + i sin (arg u + arg z)) cos arg u sin arg z – sin arg u cos arg z = sin (arg u + arg z) D’après la trigonométrie cos arg u cos arg z – sin arg u sin arg z = cos (arg u + arg z)

Les nombres complexes Cas particulier : multiplier deux nombres de module unité |u| = |z| = 1 u = cos arg u + i sin arg u Conclusion : pour multiplier deux nombres complexes il suffit de multiplier leurs modules et d’additionner leurs arguments. z = cos arg z + i sin arg z u z = cos (arg u + arg z) + i sin (arg u + arg z) ce qui suggéra la définition de l’écriture u = exp i arg u et z = exp i arg z qui redonne la règle de multiplication de deux puissances u z = exp i (arg u + arg z). Retenons : exp i α ∙ exp i β = exp i (α + β) Il est naturel d’étendre la règle de multiplication de deux puissances en l’addition les exposants à tous les cas numériques, ce qui donne la définition Si z = a + i b alors exp z = exp (a + i b) = exp a ∙ exp i b. Définissons : Re z = a est la partie réelle de z et Im z = b est la partie imaginaire de z. Alors exp z = exp Re z ∙ exp i Im z ou encore exp z = exp Re z ∙ (cos Im z + i sin Im z).