Chapitre 2 Les vecteurs 2.0 Introduction Avez-vous des exemples de vecteurs ou de grandeurs vectorielles en physique? Exemples : déplacement d’un objet, vitesse d’une voiture, accélération gravitationnelle, force centripète d’une voiture dans une courbe, Pourquoi avons-nous besoin de vecteurs en physique ? Pour traduire le plus fidèlement possible la réalité, certaines grandeurs physiques doivent s’additionner comme des vecteurs en tenant compte non seulement de leur grandeur mais également de leur direction.

2.1 Scalaires et vecteurs Pour traduire le plus fidèlement possible la réalité, certaines grandeurs physiques doivent s’additionner comme des vecteurs en tenant compte non seulement de leur grandeur mais également de leur direction. Par contre, certaines quantités physiques sont définies seulement par une grandeur et des unités. Elles sont représentées par un scalaire. Pouvez-vous donner des exemples de quantités physiques représentées par des scalaires? Exemples: La masse d’une automobile, la distance Québec- Montréal, le temps de vol d’une balle en chute libre, l’énergie cinétique d’une personne circulant à bicyclette

qF 2.1 Scalaires et vecteurs Représentation géométrique d’un vecteur dans un système de coordonnées cartésiennes (x,y) ( section 1.6) x y F qF Fig. 1 Vecteur force F F => ( Module, unité ; direction, degré ) Notation polaire: F => ( F N ; qF = 0 ) F => ( 15 N ; qF = 450 )

2.2 Opérations géométriques avec des vecteurs Rappel du secondaire: lire p. 23, 24, haut de 25. Égalité entre des vecteurs Translation de vecteurs Multiplication d’un vecteur par un scalaire Inversion d’un vecteur Addition géométrique de vecteurs A + B = C Méthode du triangle Soustraction de vecteurs A - B = D B A C -B A D Ces opérations ne sont pas très utilisées en pratique.

qA 2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires Représentation cartésienne d’un vecteur: Composantes cartésiennes ( Ax , Ay) x y A qA Ax Ay Fig. 2 Vecteur A Notation cartésienne : A => ( Ax , Ay ) Unité Où Ax et A y sont les composantes cartésiennes du vecteur A. Elles sont obtenues géométriquement en abaissant des perpendiculaires aux axes à partir des extrémités du vecteur.

qA 2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires Passage d’une notation à l’autre Notation polaire: x y A qA Ax Ay A => ( A unité ; qA = 0 ) Notation cartésienne : A => ( Ax , Ay ) Unité vers De polaire à cartésienne: On obtient: Puisque par définition : Notation cartésienne :A => ( Ax , Ay ) Unité

qA 2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires Passage d’une notation à l’autre Notation polaire: x y A qA Ax Ay A => ( A unité ; qA = 0 ) Notation cartésienne : A => ( Ax , Ay ) Unité vers De cartésienne à polaire: On obtient selon le théorème de Pythagore et par définition: Notation polaire: A => ( A unité ; qA = 0 )

2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires Exemple : Transformez le vecteur vitesse ci-dessous de la notation polaire à la notation cartésienne. V => ( 100 km/h ; qV =143o ) Je dessine la situation V Vx Vy 90o 53o y Je cherche à résoudre le problème suivant : Trouvez V => ( Vx , Vy ) km/h J’anticipe la solution possible suivante: Utiliser les transformations : polaires vers cartésiennes x Nous avons deux possibilités. 143o ou 53o

V = ( -79,9 , 60,2 ) km/h 2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires V Vx Vy 90o 53o y Situation J’anticipe la solution possible suivante : Utiliser les transformations : polaires vers cartésiennes x Nous avons deux possibilités. 143o ou 53o V = ( -79,9 , 60,2 ) km/h J’obtient le résultat probable suivant:

T = > ( - 40 , -30 ) N T => ( 50,0 N ; qT = 217o ) 2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires Exemple : Transformez le vecteur tension ci-dessous, de la notation cartésienne à la notation polaire. T = > ( - 40 , -30 ) N y Situation: Je dessine 217o Problème ? Je cherche T = > ( T , qT ) N Tx x 37o Solution possible: J’utilise les transformations Ty T Résultat probable : J’obtiens une tension de T => ( 50,0 N ; qT = 217o )

2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires Notation à l’aide des vecteurs unitaires i j k Pour simplifier la manipulation et les opérations mathématiques avec des vecteurs, il est commode d’introduire la notion de vecteurs unitaires. Ces vecteurs de grandeur unitaire sont situés sur les axes x, y et z. x y i j x y i j A Ax Ay

2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires x y i j A Ax Ay Notation en fonction des vecteurs unitaires 3,7 4,5 x y i Bx j B By 3,7 - 4,5

2.3 B - Addition algébrique des vecteurs (2D) La notation à l’aide des vecteurs unitaires simplifie beaucoup les opérations mathématiques avec les vecteurs puisque les opérations s’effectuent sur les composantes des vecteurs qui sont des scalaires. Addition : Où x y A Ax Ay B Bx By R Ax + Bx Ay + By

2.3 B - Addition algébrique des vecteurs (2D) Soustraction: Où x y A Ax Ay B Bx By S Ax - Bx Ay - By À la limite, nous n’avons pas besoin de la représentation d’un système d’axes, cependant il faut s’habituer rapidement à dessiner les vecteurs.

2.3 B - Addition algébrique des vecteurs Exemple : Pour s’amuser, trois enfants tirent sur un disque en même temps avec des forces dans un plan horizontal dont les grandeurs et les directions sont indiquées dans la figure ci-dessous. y F2 F1 => ( 12 N ; 30o ) F1 Situation 55o F2 => ( 16 N ; 145o ) 30o 65o x F3 => ( 7 N ; 245o ) F3 Problème Déterminez la force résultante exercée sur le disque par la méthode algébrique ? Écrivez le résultat en utilisant les vecteurs unitaires.

2.3 B - Addition algébrique des vecteurs Déterminez la force résultante exercée sur le disque par la méthode algébrique ? Écrivez le résultat en utilisant les vecteurs unitaires. F1 => ( 12 N ; 30o ) F2 => ( 16 N ; 145o ) F3 => ( 7 N ; 245o ) F1 F2 F3 55o 30o 65o x y Situation Problème Autrement dit : Je cherche

F1 F2 F3 55o 30o 65o x y 2.3 B - Addition algébrique des vecteurs Solution possible: J’utilise la somme vectorielle des trois vecteurs x y F1 F2 F3 FR

F1 F2 F3 55o 30o 65o x y 2.3 B - Addition algébrique des vecteurs Solution possible: J’utilise la somme vectorielle des trois vecteurs Écrivons d’abord les vecteurs forces en fonction des vecteurs unitaires :

F1 F2 F3 55o 30o 65o x y 2.3 B - Addition algébrique des vecteurs Solution possible: J’utilise la somme vectorielle des trois vecteurs Écrivons d’abord les vecteurs forces en fonction des vecteurs unitaires : x y F1 10,392 6,000 F2 - 13,106 9,177 F3 - 2,958 - 6,344 FR - 5,669 + 8,333

FR => ( 10,5 N ; 123o ) 2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires Résultat probable : J’obtiens une force résultante donnée par b) Exprimez la force résultante dans la notation polaire Ou 123o Solution possible : J’utilise les transformations Résultat probable: J’obtiens FR => ( 10,5 N ; 123o )

FR = ( 10,5 N ; 123o ) 2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires y F2 x F3 Autres exemples Vectors operations Hyperphysics

2. 4 et 2. 5 Nous reviendrons plus tard sur ces 2.4 et 2.5 Nous reviendrons plus tard sur ces sections après la relâche Résumé : Qu’avez-vous appris de nouveau? Que devez-vous bien comprendre? Quels liens pouvez-vous avec des applications pratiques? Complétez le résumé à la fin du chapitre 2.

Chapitre 2 Les vecteurs Schéma des concepts Grandeurs physiques scalaire vectorielle Algèbre vectorielle avec des opérations mathématiques spéciales Algèbre ordinaire pour les opérations mathématiques Opérations, transformations et utilisation des méthodes géométrique et analytique. Notation polaire, cartésienne et vecteurs unitaires.