Vecteurs géométriques Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Nous présentons ici la notion de vecteur géométrique ainsi que l’addition de tels vecteurs et la multiplication d’un vecteur géométrique par un scalaire. Nous utiliserons les opérations et leurs propriétés pour décrire des lieux géométriques.

Vecteur géométrique DÉFINITION Vecteur géométrique , où A est l’origine et B l’extrémité du vecteur. Un vecteur géométrique est un segment de droite orienté, noté AB Il possède les caractéristiques suivantes : • une longueur, appelée le module du vecteur, et notée AB ; • une direction, définie par la droite ∆s, qui lui sert de support, ou par toute droite qui lui est parallèle, par exem-ple ∆d; • un sens, indiqué par une pointe de flèche à l’extrémité du segment de droite.

Équipollence et parallélisme DÉFINITIONS Vecteurs équipollents (égaux) On appelle vecteurs égaux (ou équipollents) des vecteurs ayant même direction, même sens et même module. On utilise le signe d’égalité usuel : w = u Vecteurs parallèles On appelle vecteurs parallèles des vecteurs ayant même direction. On utilise le symbole // : v // u

Vecteur nul et vecteur opposé DÉFINITIONS Vecteur nul On appelle vecteur nul tout objet de la forme : AA . On le note 0. Ce vecteur n’a ni direction, ni sens. Son module est 0 et, par convention, il est parallèle à tout vecteur : // u pour tout u Vecteur opposé On appelle vecteur opposé à AB tout vecteur de même longueur et de même direction que , mais de sens opposé. On le note : – AB AB. En particulier, – = AB BA.

Addition S DÉFINITION Addition de vecteurs géométriques , deux vecteurs géométriques libres. Le vecteur somme ou vecteur résultant, noté Soit u et v , peut être obtenu par deux méthodes, que l’on appelle méthode du parallélogramme et méthode du trian-gle. + Méthode du parallélogramme Méthode du triangle Les vecteurs étant libres, on peut faire coïncider leurs origines. Le vecteur somme est alors donné par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux vecteurs en partant de l’origine commune. Les vecteurs étant libres, on peut faire coïncider l’origine de l’un avec l’extrémité de l’autre. Le vecteur somme a alors la même origine que le premier et même extrémité que le second. De plus, u – v = u + (– v) S

Relation de Chasles THÉORÈME Relation de Chasles Pour tout point A, B et X du plan ou de l’espace , l’égalité : AX + XB = AB est vérifiée.

Exercice En considérant les sommets de la figure ci-contre, trouver des vecteurs égaux à : a) CA + AB = CB On peut déterminer les vecteurs égaux dans cette figure : CB = DA = EF = HG b) DA – BA Puisque – BA = AB , on a : DA – BA = DA + AB = DB = EG S S S S c) FE + AB + GB Par l’égalité des vecteurs, on a : FE + AB + GB = FE + EH + HC = FC Dans cette figure, il n’y a pas d’autre vecteur égal à FC.

Angle entre deux vecteurs DÉFINITION Angle entre deux vecteurs , deux vecteurs géométriques libres. On appelle angle entre ces vecteurs le plus petit angle formé par les vecteurs ramenés à une origine commune. Soit u et v sera noté L’angle entre les vecteurs u et v et, s’il n’y a pas de confusion possible, nous le symboliserons par la lettre grecque q (thêta). ( ) ,

Angles et triangles (rappel de trigonométrie) LOIS Loi des sinus Soit ABC, un triangle quelconque de côtés a, b et c. Alors : a sin A b sin B c sin C = = Loi des cosinus Soit ABC, un triangle quelconque de côtés a, b et c. Alors : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

Module du vecteur somme THÉORÈME Module du vecteur somme , deux vecteurs géométriques libres tels que : Soit u et v u v ( ) , = q , = a et = b alors u + v 2 = a2 + b2 – 2ab cos (180° – q)

Exercice , les deux vecteurs géométriques de l’illustration ci-contre qui font entre eux un angle de 37°. Soit u et v Trouver le module du vecteur somme et l’angle qu’il fait avec le vecteur u. Par la loi des cosinus, on a : 2 = 72 + 52 – 2´7´5 cos 143° ≈ 129,90. u + v Le module du vecteur somme est : u + v = 129,90 ≈ 11,40. sin a 5 sin 143° 11,40 5 sin 143° 11,40 Par la loi des sinus, on a : = , d’où sin a = 5 sin 143° 11,40 et : a = arcsin ≈ 15,12°. S S Le module est d’environ 11,40 unités et l’angle entre les vecteurs est d’environ 15,12°.

Multiplication par un scalaire DÉFINITION Multiplication d’un vecteur géométrique par un scalaire , un vecteur géométrique non nul et p, un scalaire non nul. La multiplication du vecteur par le scalaire p donne un nouveau vecteur, noté p Soit u u, dont les caractéristiques sont : sa direction est la même que u; son module est p u = p u soit le produit de la valeur absolue de p et du module du vecteur u; son sens est : – le même que u , si p > 0; – opposé à celui de u , si p < 0; De plus, p = pour tout p , et 0 u = pour tout u.

Exemple 7.1.4 , les deux vecteurs géométriques de l’illustration ci-contre. Soit u et v Représenter graphiquement des vecteurs équipollents à 3 u – v. 2 + v et , on fait d’abord coïncider les origines des deux vecteurs, puis on prolonge le vecteur Pour construire un vecteur équipollent à 2 u + v pour doubler sa lon-gueur. On forme alors le parallélogramme dont la diagonale donne la longueur, la direction et le sens de 2 u + v. On procède de façon analogue pour construire un vecteur équipollent à 3 u – v. S S

Exercice Les arêtes du parallélépipède ci-contre sont sur les droites supports des vecteurs , v et w. u Représenter graphiquement des vecteurs équipollents à 2 v + 2 w. u + 3 w et Pour construire un vecteur équipollent à 2u + 3w, on prolonge le vecteur u pour doubler sa longueur et on prolonge le vecteur w pour tripler sa longueur. On forme alors le parallélogramme dont la diagonale donne la longueur, la direction et le sens de 2 u + 3 w. On procède de façon analogue pour construire 2 v + 2 w. S S

Multiplication par un scalaire THÉORÈME Intégrité de la multiplication par un scalaire , et pour tout scalaire p, Pour tout vecteur u p u = si et seulement si p = 0 ou Démonstration On a : p u = 0 p u = p u = 0 , par la définition de multiplication par un scalaire; p = 0 ou u = 0 , par l’intégrité des nombres réels; p = 0 ou u = , par la définition du vecteur nul. S

Propriétés des opérations Î  G, l’ensemble des vecteurs géométriques, et pour tout scalaire p et q Î  R, les propriétés suivantes s’appliquent : Pour tout vecteur u, v et w 1. Fermeture de l’addition sur l’ensemble des vecteurs Î  G u + v 2. Commutativité de l’addition des vecteurs = u + v 3. Associativité de l’addition des vecteurs    = u ( + ) + v + ( + ) w 4. Existence d’un élément neutre pour l’addition des vecteurs Il existe, dans G, un vecteur nul, noté  , tel que :  = u + 5. Existence d’un élément opposé ( symétrique) pour l’addition des vecteurs   Pour tout vecteur Î G, il existe, dans G, un vecteur opposé, noté – u tel que : u + (– ) = (– ) + =

Propriétés des opérations Î  G, l’ensemble des vecteurs géométriques, et pour tout scalaire p et q Î  R, les propriétés suivantes s’appliquent : Pour tout vecteur u, v et w 6. Fermeture de la multiplication par un scalaire sur l’ensemble des vecteurs p Î  G u 7. Distributivité de la multiplication d’un vecteur sur une somme de scalaires   (p + q) = p + q u 8. Distributivité de la multiplication par un scalaire sur une somme de vecteurs  p( + ) = p + p u v 9. Associativité de la multiplication d’un vecteur avec le produit de scalaires  (pq) = p (q ) u 10. Élément neutre pour la multiplication d’un vecteur par un scalaire 1 = u

Parallélisme Nous verrons maintenant quelques théorèmes relatifs au paral-lélisme des vecteurs. Dans la démonstration de l’un de ces théorèmes, nous aurons besoin de la notion de vecteur unitaire dont voici la définition. DÉFINITION Vecteur unitaire u 1 , un vecteur non nul. Alors, Soit u est un vecteur unitaire (son module est 1) ayant même direction et même sens que u.

Vecteurs parallèles S S THÉORÈME Vecteurs parallèles , sont parallèles si et seulement s’il existe un scalaire k non nul tel que : Deux vecteurs non nuls u et v u = k v Démonstration , deux vecteurs tels qu’il existe un scalaire non nul k pour lequel : Soit u et v , deux vecteurs parallèles non nuls. Les vecteurs : Soit u et v u v et u = k v ont alors même direction et même longueur, car ce sont des vecteurs unitaires parallèles. Alors, par la définition de la multiplication par un scalaire, les vecteurs ont la même direction. Ils sont donc parallèles. u et v u v = u v = et k = S’ils sont de même sens, , d’où Cela complète la preuve. u v = – u v = – S’ils sont de sens contraire, , d’où S S u v et k = –

Vecteurs parallèles S THÉORÈME Parallélisme et unicité du scalaire , deux vecteurs parallèles non nuls. Alors, le scalaire k pour lequel : Soit u et v = k est unique. Démonstration Supposons qu’il existe deux scalaires k1 et k2 tels que : et u = k1 v = k2 Montrons que ces scalaires sont nécessairement égaux. Puisque et u = k1 v = k2 , on a : k1 v = k2 k1 v – k2 = , par la définition des opérations; (k1 – k2) v = , par la distributivité sur l’addition des scalaires; k1 – k2 = 0, puisque v est non nul. D’où k1 = k2 et le scalaire est unique. S

Conclusion Nous avons défini de nouveaux objets d’étude, les vecteurs géométriques. Notre premier souci a été de déterminer à quelles conditions deux vecteurs géométriques sont égaux, puis, nous avons défini deux opérations sur ces vecteurs : l’addition et la multiplication par un scalaire. Nous avons également présenté les propriétés des opérations dont nous nous sommes servies pour manipuler des expressions algébriques comportant des vecteurs. On remarque que les propriétés de ces deux opérations sont les mêmes que celles des opérations d’addition et de multiplication par un scalaire dans l’ensemble des matrices.

Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 7.1, p.199 à 205. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 7.2, p. 206 et 207.