Angle inscrit – Angle au centre – Angle tangentiel

DEFINITIONS

Angle inscrit : définition Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés sont des cordes du cercle. Ici, l’angle inscrit est l’angle bleu.

Angle au centre : définition Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre de ce cercle. Ici, l’angle au centre est l’angle mauve.

Angle tangentiel: définition Un angle tangentiel à un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont un côté est tangent au cercle, tandis que l’autre côté est sécant au cercle. Ici, l’angle tangentiel est l’angle rose.

Propriétés

Propriété n°1: Dans tout cercle, l’amplitude d’un angle inscrit est égale à la moitié de celle de l’angle au centre interceptant le même arc de cercle.

Trois cas sont à envisager: 1er cas: Le centre O du cercle est sur un des côtés de l’angle inscrit. 2ème cas: Le centre O du cercle est à l’intérieur de l’angle inscrit. 3ème cas: Le centre O du cercle est à l’extérieur de l’angle inscrit.

1er cas: Le centre O du cercle est sur un des côtés de l’angle inscrit. Hypothèses: BAC est un angle inscrit; BOC est un angle au centre. Démonstration: AOB est un triangle isocèle. Donc, l’angle A = l’angle B. L’angle BOC est un angle extérieur du triangle AOB. Donc, l’angle O= l’angle A + l’angle B OU L’angle O = 2 x l’angle A Conclusion: L’angle A = ½ de l’angle O Thèse: BAC = ½ BOC

2ème cas: Le centre O du cercle est à l’intérieur de l’angle inscrit. Hypothèses: BAC est un angle inscrit; BOC est un angle au centre. Démonstration: On trace le diamètre [AD]. On a: - l’angle A1 = ½ de l’angle O1 - l’angle A2 = ½ de l’angleO2 On additionne ces deux égalités membre à membre: A1 + A2 = ½ O1 + ½ O2. Conclusion: L’angle A = ½ de l’angle O Thèse: BAC = ½ BOC

3ème cas: Le centre O du cercle est à l’extérieur de l’angle inscrit. Hypothèses: BAC est un angle inscrit; BOC est un angle au centre. Démonstration: On trace le diamètre [AD]. On a: - L’angle A3 = ½ de l’angle O3 - L’angle A2 = ½ de l’angle O2. On soustrait les deux égalités membre à membre: A3 – A2 = ½ O3 – ½ O2 Conclusion: L’angle A = ½ de l’angle O Thèse: BAC = ½ BOC

Propriété n°2: Dans tout cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont la même amplitude.

Thèse: Hypothèses: Démonstration: Donc B = ½ O Conclusion: L’angle A = l’angle B Hypothèses: L’angle A est un angle inscrit; L’angle B est un angle inscrit; L’angle O est un angle au centre. Démonstration: L’angle A est un angle inscrit et l’angle O est un angle au centre. Donc A = ½ O L’angle B est un angle inscrit et l’angle O est un angle au centre Donc B = ½ O Conclusion: L’angle A = l’angle B

Propriété n°3: Dans tout cercle, l’amplitude d’un angle tangentiel égale la moitié de celle de l’angle au centre interceptant le même arc de cercle.

Hypothèses: Démonstration: Conclusion: Thèse: AB est une tangente au cercle en A; L’angle A1 est un angle tangentiel; L’angle O est un angle au centre. Démonstration: Le triangle AOC est isocèle. Donc, l’angle A2 = l’angle C Dans le triangle AOC: O + A2 + C = 180° Or, A1 + A2 = 90° On en déduit que: O + A2 + C = 2 . (A1 + A2) OU O + 2A2 = 2A1 + 2A2 OU O = 2A1 Conclusion: L’angle A = ½ de l’angle O Thèse: L’angle A1 = ½ de l’angle O

Fin