SUITES ARITHMETIQUES

ACTIVITE PREPARATOIRE Un bureau d’étude a en charge le projet de construction d’une pyramide du style de celle du Louvre (base carrée). Combien de plaques de verre, toutes identiques, et ayant la forme de triangles équilatéraux sont-elles nécessaires pour la réalisation de la base d’une telle pyramide ?

ACTIVITE PREPARATOIRE Un comptage systématique des plaques s’avérant long et fastidieux, nous vous proposons une méthode de calcul. Pour cela, on note : u1 , le nombre de plaques constituant le niveau le plus haut ; u2 , le nombre de plaques du niveau suivant (le 2ème) ; u3 , le nombre de plaques du niveau suivant (le 3ème) ; un , le nombre de plaques du niveau suivant (le nème).

ACTIVITE PREPARATOIRE 1°) Déterminer u1 , u2 , u3 , u4 , u5 .

ACTIVITE PREPARATOIRE 1°) Déterminer u1 , u2 , u3 , u4 , u5 . 2°) Quelle est la relation permettant de calculer u2 à partir de u1 ? u3 à partir de u2 ... ?

+ 2 + 2 + 2 + 2

ACTIVITE PREPARATOIRE 1°) Déterminer u1 , u2 , u3 , u4 , u5 . 2°) Quelle est la relation permettant de calculer u2 à partir de u1 ? u3 à partir de u2 ... ? 3°) Exprimer le nombre de plaques un du niveau n en fonction de un-1 .

ACTIVITE PREPARATOIRE 4°) Exprimer u2 en fonction de u1 ; u3 en fonction de u1 ; un en fonction de u1 …

ACTIVITE PREPARATOIRE 5°) Calculer le nombre de plaques constituant le niveau de base, sachant que la pyramide est constituée de 12 niveaux. Il faut donc 234 = 92 triangles pour former la base de la pyramide.

A RETENIR Une suite arithmétique est une suite de nombres dont chaque terme est obtenu à partir du précédent en ajoutant un nombre constant appelé raison r. Chacun des termes est désigné par un n indiquant le rang dans la suite.

EXEMPLES Les premiers termes d’une suite de nombres sont : 2; 5; 8; 11; 14;... Montrer que cette suite est arithmétique La différence entre les termes consécutifs est constante et égale à 3 donc la suite est arithmétique Déterminer u1 et la raison r u1= 2 et r = 3 Calculer u6 u6 = u5 + r = 14 +3 =17 Calculer u20 u20 = u1 +19 r = 2 +193 = 59

APPLICATION

CHUTE D’UNE BILLE Lors de la chute libre d’une bille, la distance parcourue d est relevée en fonction de la durée t de la chute.

t = 0 t = 1 s t = 2 s t = 3 s t = 4 s

t = 0 4,9 m t = 1 s 19,6 m 44,1 m t = 2 s t = 3 s 78,4 m t = 4 s

a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1

t = 0 u1 4,9 m t = 1 s t = 2 s t = 3 s t = 4 s

a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1

a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1 - La deuxième seconde soit u2

t = 0 u1 4,9 m t = 1 s 19,6 m u2 t = 2 s t = 3 s t = 4 s

a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1 - La deuxième seconde soit u2

a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1 - La deuxième seconde soit u2 - La troisième seconde soit u3

t = 0 u1 4,9 m t = 1 s 19,6 m u2 44,1 m t = 2 s u3 t = 3 s t = 4 s

a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1 - La deuxième seconde soit u2 - La troisième seconde soit u3

a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1 - La deuxième seconde soit u2 - La troisième seconde soit u3 - La quatrième seconde soit u4

t = 0 u1 4,9 m t = 1 s 19,6 m u2 44,1 m t = 2 s u3 t = 3 s 78,4 m u4 t = 4 s

a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1 - La deuxième seconde soit u2 - La troisième seconde soit u3 - La quatrième seconde soit u4

b) Montrer que les nombres u1 , u2 , u3 , u4 forment une suite arithmétique; en préciser la raison : La différence entre les termes consécutifs est constante et égale à 9,8 donc la suite est arithmétique de raison r = 9,8.

c) Calculer dans ses conditions u5 : d) En déduire la distance totale parcourue par la bille au cours d’une chute de cinq secondes :