S. Briot1 and V. Arakelian2 1 IRCCyN – Nantes 2 INSA – Rennes Planification de Mouvements Optimaux Permettant aux Robots Parallèles de Franchir les Singularités de Type 2 S. Briot1 and V. Arakelian2 1 IRCCyN – Nantes 2 INSA – Rennes

Introduction Robots parallèles : Inconvénients : espace de travail réduit, singularités à l’intérieur Trois grands types de singularités liées à l’actionnement des robots parallèles Type 1 (sérielles) : perte d’un (ou plusieurs) ddl Type 2 (parallèles) : gain d’un (ou plusieurs) ddl => augmentation des efforts liaisons Type 3 (sérielles parallèles) : perte/gain simultané d’un (ou plusieurs) ddl Sébastien Briot

Introduction Etude des singularités de Type 2, modélisations : Géométrique / Cinématique Cinétostatique (transmission des efforts) Dynamique => planification de trajectoires Sébastien Briot

Planification de trajectoires Solution la plus couramment utilisée : Redondance d’actionnement Cher et compliqué Autre solution Utiliser la masse et l’inertie pour passer à travers des singularités Analyse expérimentale, pas d’approche généralisée Pas d’interprétation physique du phénomène Question : Est-il possible de définir des conditions de passage à travers les singularités de Type 2 qui peuvent être interprétées physiquement ? Sébastien Briot

Modélisation dynamique Eqs. de Lagrange avec multiplicateurs Wp : vecteur des efforts transmis sur la plate-forme Wp est exprimé dans une base quelconque (pas forcément orthogonale) Sébastien Briot

Etude du modèle dynamique On exprime Wp dans une base orthogonale On peut alors réécrire t est la vis cinématique de la plate-forme avec J tel que : Sébastien Briot

Etude du modèle dynamique Par définition, on est en singularité de Type 2 ssi : Si det(A) = 0, alors les colonnes de A sont dépendantes linéairement : Ri définit la direction des efforts appliqués sur la plate-forme par les chaînes cinématiques Sébastien Briot

Etude du modèle dynamique Par définition, ts = [a1, a2, …, a6]T est la vis cinématique réciproque à Ri (le déplacement gagné dans la sing.) Dans les équations précédentes, on a vu que En singularité de Type 2, on peut écrire : Pour que l’équation de la dynamique soit consistante, il faut donc que : Produit scalaire entre : vis cinématique ts du déplacement libre de la plate-forme en singularité vis des efforts Wp appliqués sur la plate-forme => optimiser les paramètres dynamiques (trajectoire + distribution des masses) Sébastien Briot

Exemple simple Sébastien Briot

Application au PAMINSA 2 cas de figure Paramètres dynamiques non optimisés Paramètres dynamiques optimisés Condition pour passer Sébastien Briot

Création de la trajectoire Définition du polynôme temporel 6 conditions « classiques » Positions initiales et finales fixées Vitesses/accélérations initiales et finales nulles + 3 Condition pour passer la singularité À tf/2, on doit passer la singularité + vitesse > 0 Condition de passage en dynamique => Polynôme de degré 8 Sébastien Briot

Cas 1 : Paramètres dynamiques non optimisés Sébastien Briot

Validation expérimentale Cas 1: planification de trajectoire non-optimale Sébastien Briot

Cas 2 : Paramètres dynamiques optimisés Sébastien Briot

Validation expérimentale Cas 2: planification de trajectoire optimale Sébastien Briot

Mais… Modèle rigide => et pour les robots réels ? Il faut ajouter des hypothèses supplémentaires Flexibilité des éléments + système d’actionnement Modèle dynamique d’un tel système qa : variables d’actionnement qe : paramètres élastiques x, v : coordonnées et vitesses Cartésiennes Sébastien Briot

Analyse du modèle dynamique Définition des matrices Ri les efforts appliqués sur la plate-forme par les jambes Dans une singularité de Type 2: Par définition, ts = [a1, a2, …, a6]T est la vie réciproque à Ri (le déplacement gagné dans la singularité) Sébastien Briot

Analyse du modèle dynamique Le système ne dégénère pas si l a une valeur finie Dans la singularité de Type 2 D’où on trouve que Pour passer à travers la singularité de Type 2, les efforts transmis par les jambes sur la plate-forme doivent être orthogonaux au déplacement libre de la plate-forme Sébastien Briot

Exemple Robot 5-barres flexible Energie potentielle Energie cinétique Quatre ressorts virtuels Energie potentielle Energie cinétique Sébastien Briot

Equations des ressorts Modèle dynamique Avec En développant, on trouve Modèle itératif !!! Impossible d’avoir des équations linéaires pour définir le polynôme pour la trajectoire Utilisation d’un algorithme d’optimisation Equations des ressorts Equations des couples Sébastien Briot

Application Déplacement désiré Critère physique ts = [0, 1]T Critère physique 17 conditions pour définir le polynôme Sébastien Briot

Simulations 3 cas A l’intérieur de la singularité Déplacement entre C0 et C’f (pas de singularités) Déplacement entre C0 et Cf (passage à travers les singularités) Déplacement entre C0 et Cf (passage à travers les singularités) A l’intérieur de la singularité Effort moteur infini dans le cas non optimal Effort moteur fini dans le cas optimal Poly. de degré 13 Poly. de degré 16 Sébastien Briot

Conclusions Définition de trajectoires optimales pour traverser les singularités de Type 2 Définition d’un condition de passage identique (interprétation physique) Pour les robots rigides Pour les robots flexibles Différences entre les hypothèses Robot rigide : loi polynomiale de degré 8 Robot flexible : loi polynomiale de degré 16 !! Travaux futurs Prise en compte des incertitudes de modélisations Sébastien Briot