Chap4- Calcul littéral et identités remarquables è

Chap 4- Calcul littéral et identités remarquables Rappel: Réduire une expression : C’est regrouper les termes semblables. On additionne « les x² avec les x² », « les x avec les x », les nombres entre eux, « les y avec les y », etc… Lorsqu’on réduit, il faut penser ordonner les termes suivant les puissances décroissantes.   5x x 6x = 7x + 5x = 3x +45+5x² –4+2x² = 30x² 12x 7x² + 3x + 41

Chap 4- Calcul littéral et identités remarquables Réduire une expression : Ex4p112 a) Réduire si possible A= 6x + 2x B= 6 x 2x C= 6 + 2x D=6x² + 2x² E= 6x + 2x² F= 6x x 2x G=(3x)² H= -5x² + 7x – 3 + 2x² – 3x – 8 > Calculer A, B,…H pour x=3

I / Développer un produit Développer un produit, c’est le transformer en somme.   1) Distributivité simple : Quels que soient les nombres k, a et b, on a : k (a + b) = k (a – b) = 3(x + 2 ) = -2(1 – 4x) =  2) Distributivité double :Quels que soient les nombres a, b, c et d, on a :   (a + b)(c + d) = (x + 3)(5 – 4x)= ka + kb ka – kb 3x+ 6 -2 + 8x ac + ad + bc + bd 5x – 4x² + 15 – 12x = -4x² – 7x + 15

I / Développer un produit Ex4p112 b) Développer et réduire A= 3(2x+5) B= 2(6 – 3x) C= -4(-2x +5) D= 3(2x+4) + 5(4x+2) E= 4(2x – 3) – 3(5 – 6x) F= (5x+6) + (4x - 2) G= (2x – 5) – (5x + 3) H= (2x+4)(4x+2) I= (-4x+6)(2x – 3) J= (2x+3) (2x+3) K= (3x – 4) (3x – 4)

Ex5p112 Dans chacun des cas, les expressions A et B sont-elles égales? A= (6x+4)(2x–3) B= (4x–6)(3x+2) A= 5(2x+3)+4x B= 7(2x+1)+8 Exercice: Développer les expressions suivantes: (a+b)² (a–b)² (a+b)(a–b)

II / Identités remarquables Quels que soient les nombres a et b, on a : (a + b)² = Le terme « 2ab » s’appelle le double produit (2 x a x b). (3x + 2)² = (5 + 2y)² = (a – b)² = (x – 3)² = (-2x – 5)²= (a + b)(a – b) = (x+ 2)(x – 2) = (10 – 3x)(10 + 3x) = a² + 2ab + b² (3x)² + 2x3xx2 + 2² 5² + 2x5x2y + (2y)² 9x² + 12x + 4 25 + 20y + 4y² a² – 2ab + b² x² – 6x + 9 (-2x)² – 2x(-2x)x5 +5² 4x² + 20x + 25 a² – b² x² – 2² 10² – (3x)² = x² – 4 = 100 – 9x²

II / Identités remarquables Ex55p122: Développer A= (6+x)² B= (6 – x)² C=(6 x x)² D= (3+x)² E= (3 – x)² F=(3 x x)² Ex56p122: Développer A= (5+3x)² B= (5 – 3x)² C=(5 x 3x)² D= (4+2x)² E= (4 – 2x)² F=(4 x 2x)²

Ex62p122: Développer A= (2x+5)(2x – 5) B= (x – 3)(x+3) C=(5a+2)(5a – 2) D= (3+5b)(3 – 5b) Ex66p122: Développer A= (5x+7)² B= (4x – 3)(6x+2) C=(2 – 6x)² D= (9x – 3)(9x+3) E= (1+2x)² F= (4 – 7x)(4+7x)

Ex68p122: Développer et Réduire A= 5x+ 3(5x+3) B= 4x² + (3x+4)² C= 6x² - (3x +2)² D= 2x - (3x+4)(4x+3) Ex69p122: Développer et Réduire E= 4x² + (x+5)² F= -8x – (2x – 2)² G= 5x + 4(5x+4) H= 10x² – (4x+3)(4x – 3)

III - Factoriser une somme:  Rappel : (a+b)² = (a–b)² = (a+b)(a–b)=   Reconnaître des identités . 9x² + 12x + 4 = 49 – 4x² = 16 – 40x + 25x² = x² + x + 1/4= y² – 81 = -81 + 100x² = III - Factoriser une somme:  Factoriser une somme, c’est la transformer en produit.   Pour cela il faut : - soit trouver un facteur commun ; - soit trouver une identité remarquable. C’est le procédé « inverse » du développement.

Exemples: Factoriser avec un facteur commun A = x² + 4x = x x x + 4 x x = x( x + 4) B = 4(x +5) + 4(2x+3) = 4[ (x +5) + (2x+3) ] = 4(3x + 8) C = (2x + 1)(x – 2) + 6(2x + 1) = (2x + 1) ( x – 2 + 6 ) = (2x + 1) (x + 4) D= (x + 4)² – (1 – 5x)(x + 4) = (x + 4) [ (x + 4) – (1 – 5x) ] = (x + 4) ( x + 4 – 1 + 5x ) = (x + 4) ( 6x + 3 ) On repère le facteur commun : x On le met en facteur et on regroupe les autres termes. On repère le facteur commun : 4 On le met en facteur et on regroupe les autres termes. Même principe, attention au signe « - » devant la parenthèse !  et (x + 4)² = (x + 4)(x + 4)

Ex5p117 : Factoriser A= (2x+5)(9x+6) – (2x+5)(5x-3) Ex6p117 : Factoriser B= (6x+2)(4x+3) + (5x+7)(4x+3) Ex7p117 : Factoriser C= (3x+6)(3x+5) – (3x+6)(-7x+4) Ex8p117 : Factoriser D= (4 -7x)(-3x -8) – (4 -7x)(-6x -2)

Ex1p117 : Factoriser A= Ex2p117 : Factoriser C= Ex3p117 : Factoriser E= Ex4p117 : Factoriser F=

Exercice  : Factoriser A= 2x+10 B= 3x – 12 C= 6x² – 30 D= 28x + 4x² E= 15x² + 25 F= 20x² – 30x G= 7x² + 7 H= 9x – 3

Ex50p121  : Factoriser F= (4x+5)(2x –3) – (4x+5)(5x+2) G= (3x+2)² – (3x+2)(5x –4) H= (4x+5)² – (4x+5)

Exemples: Factoriser avec les identités remarquables « a² + 2ab + b² » D = 4x² – 12x + 9 = (2x)² – 2 x 2x x 3 + 3² = (2x – 3)² On reconnaît l’identité remarquable : a² – 2ab + b² = (a – b)² Avec a= 2x et b=3 Ex9p118 : Factoriser avec l’identité remarquable a²+2ab+b² A= 4x² +12x +9 B= 9x² + 6x +4

Ex10p118 : Factoriser si possible C= 9 + 24x + 16x² D= x² +6x +9 Ex11p118 : Factoriser si possible E= 9x² - 30x +25 F= 36x² - 12x +1

Exemples: Factoriser avec l’identité remarquable « a² – b² » = (5x + 4)(5x – 4) F = (3x + 2)² – 25 = (3x + 2)² – 5² = (3x+2 + 5)(3x+2 – 5) = (3x+ 7)(3x – 3) G = (x + 6)² – (2x + 1)² = ((x+6) + (2x+1))((x+6) – (2x+1)) = ( x+6 + 2x+1)( x+6 –2x–1) = ( 3x+7 )( -x+5 ) C’est une différence de deux carrés a²–b² cela se factorise en (a + b)(a – b) ; (3x + 2)  a 5  b a²–b² = (a + b)(a – b) ; (x + 6)  a (2x + 1)  b attention au signe « - » devant la parenthèse !  Ex13p118 : Factoriser avec l’identité remarquable a² - b² A= 81x² - 16 B= 25 – 4x²

Ex14p118 : Factoriser C= (4x+5)² - 49 D= 25 – (3x-4)² Ex15p118 : Factoriser E= (8x+6)² - (6x+2)² F= (5x - 3)² - (2x - 4)²

Ex 54p122 – Factoriser si possible: A=9x² - 36 B= 17x² +3x C= 9 – 6x + x² D= 25x² + 30x + 9 E= (4x-5)(8x+7) + (4x-5)(3x-5) F=(3x-5)(6x+7) - (3x-2)(6x+7) G= (3x-9)² - (3x-9)(8x+4) H= (7x-9)² - (2x-3)² I= (9x-2)² +(9x-2) J=(4x+3)² - 64

Ex82p123: Au Brevet Soit D= (2x+3)² + (2x+3)(7x -2) a) Développer, puis réduire D. b) Factoriser D. c) Calculer D pour x=-4 d)Développer l’expression trouvée en b). Comparer avec l’expression de la question a).

Ex100p125: Au Brevet Soit E= 4x² + 8x – 5 Calculer E pour x=0,5 Soit F= (2x+2)² - 9 (1) Développer et réduire F. (2) Factoriser F. Sans faire de calcul, trouver combien vaut F pour x=0,5

a) Quel nombre écrire en A1? Quelle formule entrer dans la cellule A2? Ex18p119: Soit F= -x² + 12x – 20 On veut calculer F pour toutes les valeurs entières de x de 1 à 20. On va afficher dans la colonne A les valeurs de x et dans la colonne B les valeurs correspondantes de F. a) Quel nombre écrire en A1? Quelle formule entrer dans la cellule A2? b) Quelle formule entrer dans la cellule B1 pour effectuer le calcul souhaité? c)Pour quelle valeur de x, F semble-t-il atteindre son maximum?

Ex80p123: Au Brevet Pour chaque expression suivantes: (1) Développer, puis réduire (2) Factoriser (3) Contrôler que l’expression développée est bien égale à l’expression factorisée. A= (2x - 1)² + (2x -1)(4x +5) B= (x - 1)(4x +5) – (x - 1)² C= (8x+2)² - 9

Ex98p125: Démontrer que PAS est un triangle rectangle.

Ex92p124: Voici 2 programmes de calcul. a) Appliquer le programme A au nombre 3: A(3)= b) Appliquer le programme B au nombre 3: B(3)= c) Appliquer les programmes A et B au nombre de votre choix: Quelle conjecture peut-on faire? La démontrer. d) A(x) = B(x) = Programme A: Choisir un nombre Lui ajouter 2 Calculer le carré du résultat Retrancher 4 au nombre obtenu. Programme B: Choisir un nombre Calculer son carré Ajouter au résultat le quadruple du nombre choisi.

a) Ecrire en fonction de x l’aire du triangle ABD Ex110p126: a) Ecrire en fonction de x l’aire du triangle ABD b) Ecrire en fonction de x l’aire du triangle ABC c) En déduire l’aire du triangle ACD. d) Calculer directement l’aire ACD. A B D 2x + 4 2x - 4 C 8

Utiliser ces formules quand x=3. Ex97p125: Ecrire une formule développée et réduite pour calculer le volume du pavé. Ecrire une formule développée et réduite pour calculer l’aire totale du pavé. Utiliser ces formules quand x=3. 3 x + 5