INITIATION AU RAISONNEMENT ALGEBRIQUE AU DEBUT DU COLLEGE

Citations de la commission Kahane « Le passage du calcul numérique au calcul algébrique constitue une véritable révolution. » « Faire comprendre que le calcul algébrique n’est pas aveugle, qu’on en possède des modes de contrôle. » « Contrôler ce calcul impose de comprendre les règles qui gouvernent la formation et le traitement des expressions algébriques, et se démarquer d’une lecture de gauche à droite ... »

Citations de la commission Kahane « …lorsqu’on demande à des enseignants quelles sont les fonctions de l’algèbre au collège, la fonction d’outil de preuve n’est généralement pas identifiée. » « Faire percevoir la puissance que donne le calcul algébrique. » (Résoudre, formuler, généraliser, prouver) « Développer l’intelligence de calcul. » (Reconnaissance et choix de formes, calcul mental et réfléchi)

Citations de la commission Kahane Pistes Ne pas banaliser complètement les tâches de calcul. Aider les élèves à réagir en fonction du sens des expressions (formes factorisées…) Donner des tâches qui relèvent d’une certaine complexité technique.

La « révolution » en quelques points

Différents statuts des lettres Pour désigner un objet. Pour désigner une variable. Pour désigner une inconnue. Pour désigner une indéterminée.

Différents statuts du signe égal Annonce d’un résultat, déclencheur d’opérations. (EXE) Egalité sous conditions : équations. Egalité toujours vraie : identité. Un adressage, une affectation dans le cadre fonctionnel.

Les autres signes opératoires En arithmétique, les signes opératoires indiquent les procédures. Les résultats sont numériques. En algèbre, les écritures indiquent la procédure et le résultat. Exemple

Les principaux objectifs du calcul littéral Outil de généralisation et de preuve. Exemple Outil qui permet la justification ou l’explication des règles et des techniques de calcul. Exemple : Application au calcul mental.

Un apprentissage progressif En préambule, quelques réflexions à partir du texte « Le calcul au collège » Inspection Générale, Juin 2004 Contenus et exemples pour les classes du collège.

Préambule Un point sur les pratiques lors des activités numériques: Passage d’exemples au cas général. La place des techniques. La nature des justifications.

Préambule Du calcul numérique… Le calcul mental (réfléchi). La place des calculatrices. Le délicat équilibre : Réflexion - Technique

Préambule … au calcul algébrique. Les différents statuts sont abordés successivement. Le sens de l’égalité est précisé dans chaque cas. Les techniques de calcul peuvent être justifiées. Exemple.

En sixième La définition du quotient : Liens ultérieurs Justification des règles de calcul avec les écritures fractionnaires.

En sixième Développer les sens de l’égalité. Exemple Initiation aux écritures littérales : Tâches de substitution. Utilisation d’une expression littérale. Formulaire : aires et périmètre du cercle. Mise en jeu implicite de notions fonctionnelles.

En sixième Initiation à la résolution d’équations : égalités à trous. Absence de lettre pour marquer l’inconnue. Procédures en référence au sens et à la définition des opérations. Procédure utilisant un schéma. Exemple

En cinquième Travail sur les changements de cadre. Approche de la notion de fonction.

En cinquième Introduction de la lettre comme indéterminée : kx(a+b) = kxa + kxb. Exemple Conventions d’écriture.

En cinquième Suite de l’initiation à la résolution d’équations : Lettre pour marquer l’inconnue. Tests dans des égalités, des inégalités. Résolution basée sur le sens des opérations. Introduction des nombres relatifs.

En cinquième : quelques exemples Voir le document word atelier B2_exemples en 5e

Fin de la présentation

Exemple d’utilisation d’un schéma. Trouver la longueur manquante dans chaque cas : Longueur totale : 9 ? 7 10 2 ? 3

Exemple pour variable en 6éme Si 1,2 < t < 1,5 quel nombre peut-on mettre à la place de t ? Complète le tableau suivant : a 1 2,5 4 7 7xa

Outil de justification. Extrait du document de l’Inspection Générale, Le calcul au collège.

Exemples pour la lettre objet. La lettre désigne une unité : 4 m pour 4 mètres. La lettre désigne une abréviation d’un objet mathématique : A = L X l

Formule de distributivité Dans le cadre géométrique ou numérique, travailler des égalité du type : 3 x (x + 5) = 3 x x + 3 x 5 5 x (x + y) = 5 x x + 5 x y

Sens de l’égalité en 6ème Par des activités numériques du type : 23,52 =2x10+3+5x +2x Donner une écriture de montrant : que c’est un nombre plus grand que 3 que c’est un nombre plus petit que 4 que c’est un nombre décimal

Sens de l’égalité en 6ème Dans une formule, faire varier une grandeur en fonction d’une autre, toute autre variable étant fixée.

Les écritures en algèbre « x + 7 ». Procédure (addition) et / ou résultat (somme) Cette difficulté est à l’origine de transformations « non cohérentes » en 7x ou en x + 7 = 0…

Outil de généralisation Le professeur a écrit au tableau l’exercice suivant : Calculer 23 X 7 + 7 ; 23 X 8 + 7 ; 23 X 9 + 7 ; 23 X 10 + 7 23 X 11 + 7 ; 23 X 12 + 7 ; 23 X 13 + 7 ; 23 X 14 + 7 Un camarade est absent. Quelle consigne lui donner au téléphone, sans lui dicter tous les calculs. La consigne est bonne si le camarade sait exactement ce qu’il doit faire. (Manuel Triangle, édition Hatier)

Outil de preuve Lorsqu’on additionne trois entiers consécutifs, peut-on affirmer que la somme est toujours un multiple de 3 ? Choisis deux nombres dont la somme est 300 et fais leur produit. Ajoute 7 à chacun d’eux. De combien augmente le produit ?