Synthèse Problème Ouvert Verre à moitié plein?

Le volume de liquide est-il proportionnel à la hauteur de liquide dans ce verre ? Dans quel type de verre, y a-t-il proportionnalité entre le volume de liquide et la hauteur de liquide dans le verre?

𝑀𝑁 𝐴𝐵 = 𝐶𝑀 𝐶𝐵 Si CM=3 alors MN=1,5 𝑀𝑁 3 = 𝐶𝑀 6 𝑀𝑁= 1 2 𝐶𝑀 Pour trouver le volume du liquide, il faut chercher le rayon de la base du liquide. Faire remarquer aux élèves que pour des exercices de géométrie dans l’espace, il est souvent intéressant de se ramener à une situation de géométrie plane en extrayant les informations nécessaires à la résolution du problème. Certains élèves n’effectuent pas de tracés, d’autres surchargent la figure proposée dans l’énoncé. Dans cette activité, il s’agissait d’extraire des configurations de Thalès. Peu d’élèves réalisent des figures correctes complètes (longueurs connues, nom de points) La plupart des élèves ont trouvé que la longueur MN est égale à 1,5 lorque CM=3. Ils ont naturellement utilisé la proportionnalité entre les longueurs CM et MN. « Si je divise la hauteur de liquide par 2, je divise le rayon de la base du liquide par 2 » On pourra leur faire remarquer que le théorème de Thalès n’est rien d’autre qu’un théorème énonçant la proportionnalité entre des longueurs de segments (MN=1/2 CM) Si CM=3 alors MN=1,5

𝐶𝑀 𝐶𝐵 = 𝑀𝑁 𝐴𝐵 donc ℎ 6 = 𝑀𝑁 3 donc MN= ℎ 2 Dans la suite du problème, on cherche la hauteur h de liquide telle que le volume de liquide soit égale à la moitié de celui du verre. On exprime le volume du liquide en fonction de la hauteur h . Pour cela, il faut d’abord déterminer le rayon de la base du liquide en fonction de h 𝐶𝑀 𝐶𝐵 = 𝑀𝑁 𝐴𝐵 donc ℎ 6 = 𝑀𝑁 3 donc MN= ℎ 2

𝑉 ℎ = 1 3 π× ℎ 2 2 ×ℎ= 1 3 π× ℎ² 4 ×ℎ= π ℎ 3 12 Le volume est exprimé en fonction de h. On le note V(h) !

Chercher la hauteur h de liquide telle que le volume de liquide soit égal à la moitié de celui du verre se traduit mathématiquement par: Je cherche la valeur h telle que V(h)= 18𝜋 2 C’est-à-dire telle que 𝜋 ℎ 3 12 =9𝜋

𝜋 ℎ 3 12 =9𝜋 ℎ 3 = 9𝜋×12 𝜋 ℎ 3 =108

On cherche une valeur approchée de la solution à 0,01 près. Avec un tableur Avec Algobox (seconde) Les élèves ont trouvé une valeur approchée avec la calculatrice par une méthode dichotomique.

Cliquer sur l’image pour ouvrir le fichier GeoGebra (initialiser h à 0 et activer la trace du point M). Notions abordées dans cette dernière partie: Fonction Volume – représentation graphique – discussion sur la croissance de la fonction V – résolution graphique de V(h)=9pi

Avec Geoplan-Geospace (j’ai mis les deux fichiers dans le dossier)

Feuille d’algébrisation 1 Contrôle Feuille d’algébrisation 2 (pour les meilleurs) A l’issue de ce travail, on peut donner les feuilles suivantes à préparer.