Chapitre 7: L’algèbre des vecteurs MCV4U

7.1: Les vecteurs algébriques

Ce vecteur a une longueur de 5,7 unités et un azimut de 45° Ce vecteur a une longueur de 5,7 unités et un azimut de 45°. De quelle autre façon pourrait- on le décrire?

Vecteur position: 𝑢 = 4,4 En fonction de 𝑖 et 𝑗 : 𝑢 =4𝑖+4𝑗

À ton tour! Pour chacun des 2 vecteurs suivants: Détermine son vecteur position. Exprime-le en fonction de 𝑖 et 𝑗 .

Quelle est la grandeur du vecteur suivant?

La grandeur d’un vecteur algébrique * Utiliser Pythagore: La grandeur du vecteur 𝑣 = 𝑣 1 , 𝑣 2 est 𝑣 = 𝑣 1 2 + 𝑣 2 2 Exercice: Quelle est la grandeur du vecteur 2,7 ?

L’addition des vecteurs algébriques * La somme des vecteurs 𝑢 = 𝑢 1 , 𝑢 2 et 𝑣 = 𝑣 1 , 𝑣 2 est 𝑢 + 𝑣 = 𝑢 1 + 𝑣 1 , 𝑢 2 + 𝑣 2 Exercice: Quelle est la somme des vecteurs 1,2 et 3,4 ?

Multiplication d’un vecteur algébrique par un scalaire * Le produit d’un vecteur 𝑢 = 𝑢 1 , 𝑢 2 et d’un scalaire k est k 𝑢 = 𝑘 𝑢 1 ,𝑘 𝑢 2 . Exercice: Trouve 4 𝑎 si 𝑎 = 8,−2 .

Soustraction des vecteurs algébriques * La différence des vecteurs 𝑢 = 𝑢 1 , 𝑢 2 et 𝑣 = 𝑣 1 , 𝑣 2 est 𝑢 − 𝑣 = 𝑢 1 − 𝑣 1 , 𝑢 2 − 𝑣 2 Exercice: Quelle est la différence des vecteurs 1,2 et 3,4 ?

Exemple #1 (p.362) RA: Pratiquer les opération sur des vecteurs algébriques. Soit les vecteurs 𝑎 = 5,−7 et 𝑏 = 2,3 . Détermine: Une expression qui représente 𝑎 en fonction de ses composantes horizontale et verticale. Une expression qui représente 𝑏 en fonction de 𝑖 et de 𝑗 . 3 𝑎 𝑎 + 𝑏 2 𝑎 −4 𝑏 Deux vecteurs unitaires colinéaires à 𝑎 . 𝑎 − 𝑏

À ton tour! p.368 #1 à 4

Vecteur algébrique entre 2 points * Les coordonnées du vecteur entre les points 𝑥 1 , 𝑦 1 et 𝑥 2 , 𝑦 2 sont 𝑥 2 − 𝑥 1 , 𝑦 2 − 𝑦 1 .

Exemple #2 (p.364) RA: Déterminer les composantes et la grandeur du vecteur algébrique entre 2 points. Détermine les composantes et la grandeur de chaque vecteur. 𝐴𝐵 , compris entre A(1,3) et B(7,2). 𝐶𝐷 , compris entre C(-10,0) et D(0,10). 𝐸𝐹 , compris entre E(4,-3) et F(1,-7).

À ton tour! p.368 #5 à 7

Exemple #3 (p.365) RA: Calculer la représentation algébrique d’une force. Représente algébriquement une force de 200 N à 20° par rapport à l’horizontale.

Exemple #4 (p.365) RA: Calculer la vitesse vectorielle et les azimuts. Un bateau se déplace à 23 km/h par rapport à l’eau, selon un cap de 040°. Un courant de 8 km/h se déplace depuis un azimut de 160°. Représente chaque vecteur algébriquement. Détermine la vitesse vectorielle résultante du bateau.

À ton tour! p.368 #9-10

7.2: Le produit scalaire

Exemple #1 (p.370) RA: Déterminer le travail effectué. Maxime tire son traîneau jusqu’au sommet d’une colline. Il utiliser une force de 120 N à un angle de 20° par rapport à la surface de la colline. La pente a 100 m de longueur. Détermine le travail que Maxime effectue. Voir manuel pour l’image.

Le produit scalaire * 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃 B * portion de a qui est dans la même direction que B.

Exemple #2 (p.371) RA: Calculer des produits scalaires. Détermine le produit scalaire de chaque paire de vecteurs.

Propriétés du produit scalaire * Si 𝑢 et 𝑣 sont des vecteurs non nuls et que 𝑢 ∙ 𝑣 =0, ces vecteurs sont perpendiculaires. 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢

Le produit scalaire des vecteurs algébriques * Que faire si les vecteurs sont définis de façon algébrique? Si 𝑎 = 𝑎 1 , 𝑎 2 et 𝑏 = 𝑏 1 , 𝑏 2 , alors 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 1 𝑏 1 + 𝑎 2 𝑏 2 .

Exemple #4 (p.374) RA: Déterminer le produit scalaire de vecteurs. 𝑢 = 5,−3 et 𝑣 = 4,7 𝑢 = −2,9 et 𝑣 = −1,0

À ton tour! p.375 #1, 2, 4

7.3: Les applications du produit scalaire

Exemple #1 (p.378) RA: Déterminer le travail effectué. Angela va participer à un marathon dans la catégorie des athlètes en fauteuil roulant. À l’entraînement, elle grimpe une colline de 300 m avec une force constante de 500 N à un angle de 30 ° par rapport à la surface de la colline. Détermine le travail effectué par Angela, aux 100 J près.

Démonstration Voici les vecteurs 𝑎 et 𝑏 , exprimés chacun de façons algébrique et de façon géométrique. Trouve leur produit scalaire des 2 façons. Compare-les. 𝑎 = 1,2 =2,24 𝑐𝑚 à 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑑𝑒 63,43 ° 𝑏 = 3,4 =5 𝑐𝑚 à 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑑𝑒 53,13 °

Exemple #2 (p.378) RA: Déterminer l’angle formé par 2 vecteurs. Détermine l’angle formé par les vecteurs de chaque paire. 𝑔 = 5,1 et ℎ = −3,8 𝑠 = −3,6 et 𝑡 = 4,2 Rappel: Nous avons défini 2 manières de calculer le produit scalaire: 𝑔 ∙ ℎ = 𝑔 ℎ cos 𝜃 𝑔 ∙ ℎ = 𝑔 1 ℎ 1 + 𝑔 2 ℎ 2

La projection d’un vecteur * Projection de 𝑣 sur 𝑢 = ombre projetée par 𝑣 sur 𝑢 . Si 𝑢 et 𝑣 sont perpendiculaire, projection = 0. Si 𝑢 et 𝑣 ont un angle plus grand que 180°, la projection est dans le sens inverse de 𝑢 .

Exemple #3 (p.380) RA: Déterminer la projection d’un vecteur sur un autre. Détermine la projection de 𝑣 sur 𝑢 si 0<𝜃<90°. Détermine 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢 𝑣 si 90°<𝜃<180°.

La projection de 𝒗 sur 𝒖 * Longueur + angle Coordonnées algébriques 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢 𝑣 = 𝑣 cos 𝜃 1 𝑢 𝑢 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢 𝑢 ∙ 𝑢 𝑢

Exemple #4 (p.381) RA: Déterminer la projection d’un vecteur ou d’un autre. Détermine la projection de 𝑢 sur 𝑣 . Détermine la projection de 𝑝 sur 𝑞 . Détermine la projection de 𝑑 = 2,−3 sur 𝑐 = 1,4 .

Exemple #5 (p.383) RA: Le produit scalaire et la vente. Un magasin vend 350 paires de chaussures Excalibur et 275 paires de chaussures Camelot en un an. Une paire de chaussures Excalibur se vend 175 $ et une paire de chaussures Camelot se vend 250 $. Définis un vecteur algébrique, 𝑠 , qui représente le nombre de paires de chaussures vendues. Définis un vecteur algébrique, 𝑝 , qui représente les prix des chaussures. Détermine le produit scalaire 𝑠 ∙ 𝑝 . Que représente-t-il ?

À ton tour P.384 #1 à 8

7.4: Les vecteurs dans l’espace tridimensionnel

Démonstration

Exemple #1 (p.388) RA: Décrire les octants d’un repère cartésien tridimensionnel. Décris l’octant dans lequel chaque point se situe. A(1, 2, 3) B(-3, 2, 1) C(-3, -2, -1) D(1, 2, -3)

Exemple #2 (p.389) RA: Situer des points dans l’espace tridimensionnel. Situe les points A(2, 6, 1), B(0, 0, -6), C(2, 3, 0) et D(-1, -3, 4). Décris la position de chaque point.

Si on relie le point A à l’origine, on obtient un vecteur

Les vecteurs unitaires * Chaque vecteur unitaire a une longueur de 1. Chaque vecteur unitaire est le long d’un axe. Le long de x: 𝑖 = 1, 0, 0 Le long de y: 𝑗 = 0, 1, 0 Le long de z: 𝑘 = 0, 0, 1

La grandeur d’un vecteur algébrique * La grandeur du vecteur 𝑣 = 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 est 𝑣 = 𝑣 1 2 + 𝑣 2 2 + 𝑣 3 2 .

Exemple #3 (p.392) RA: Travailler avec des vecteurs dans l’espace tridimensionnel. Pour chaque cas: Esquisse le vecteur position; Exprime le vecteur sous la forme 𝑎 𝑖 +𝑏 𝑗 +𝑐 𝑘 ; Détermine la grandeur du vecteur. 𝑢 = 3, −1, 2 𝑣 = −2, 0, 1

À ton tour ! p.399 #1 à 6

La multiplication d’un vecteur par un scalaire * Si 𝑢 = 𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 , alors k 𝑢 = 𝑘𝑢 1 , 𝑘 𝑢 2 , 𝑘 𝑢 3 . 𝑢 et k 𝑢 sont colinéaires.

Exemple #4 (p.393) RA: Déterminer des vecteurs colinéaires. Détermine la valeur de a telle que 1, 2, 3 et 2, 𝑎, 6 sont colinéaires. Détermine la valeur de b et de c telles que −2, 𝑏, 7 et 𝑐, 6, 21 sont colinéaires.

Autres règles * Addition: 𝑢 + 𝑣 = 𝑢 1 + 𝑣 1 , 𝑢 2 + 𝑣 2 , 𝑢 3 + 𝑣 3 Soustraction: 𝑢 − 𝑣 = 𝑢 1 − 𝑣 1 , 𝑢 2 − 𝑣 2 , 𝑢 3 − 𝑣 3 Vecteur entre 2 points: 𝑃 1 𝑃 2 = 𝑥 2 − 𝑥 1 , 𝑦 2 − 𝑦 1 , 𝑧 2 − 𝑧 1 Grandeur d’un vecteur entre 2 points: 𝑃 1 𝑃 2 = 𝑥 2 − 𝑥 1 2 + 𝑦 2 − 𝑦 1 2 + 𝑧 2 − 𝑧 1 2

Exemple #5 (p.394) RA: Interpréter des vecteurs algébriques. Soit les points A(3, 6, -1) et B(-1, 0, 5). Exprime 𝐴𝐵 sous forme d’un triplet. Puis, exprime 𝐴𝐵 en fonction de 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 . Détermine la grandeur de 𝐴𝐵 . Détermine un vecteur unitaire 𝑢 , de même direction et de même sens que 𝐴𝐵 .

Le produit scalaire dans l’espace 3D * 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 1 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑣 2 + 𝑢 3 𝑣 3

Exemple #6 (p.395) RA: Effectuer des opérations sur les vecteurs 3D. Soit les vecteurs 𝑢 = 2, 3, −5 , 𝑣 = 8, −4, 3 et 𝑤 = −6, −2, 0 . Simplifie chaque expression. −3 𝑣 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 𝑢 − 𝑣 𝑢 ∙ 𝑣

Exemple #7 (p.396) RA: Les vecteurs colinéaires et le produit scalaire. Détermine si les vecteurs 𝑎 = 6, 2, 4 et 𝑏 = 9, 3, 6 sont colinéaires.

Exemple #8 (p.396) RA: Déterminer un vecteur orthogonal. Détermine un vecteur orthogonal à 3, 4, 5 .

À ton tour ! p.399 #7 à 17

7.5: Le produit vectoriel et ses propriétés

Produit vectoriel Vidéo Khan Academy: https://www.khanacademy.org/science/physics/magnetic-forces- and-magnetic-fields/magnets-magnetic/v/cross-product-1

Produit vectoriel * 2 interprétations: Vecteur perpendiculaires aux 2 autres Aire du parallélogramme formé par les 2 vecteurs 𝑢 × 𝑣 = 𝑢 𝑣 sin 𝜃 𝑛

Exemple #1 (p.405) RA: Déterminer le produit vectoriel Détermine chaque produit si 𝑢 =30 et 𝑣 =20, si l’angle formé par 𝑢 et 𝑣 est de 40° et si 𝑢 et 𝑣 sont dans le plan de la page. 𝑢 × 𝑣 𝑣 × 𝑢 * Note: 𝑢 × 𝑣 ≠ 𝑣 × 𝑢 .

Maintenant… Géométrique Algébrique Produit scalaire 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 1 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑣 2 + 𝑢 3 𝑣 3 Produit vectoriel 𝑢 × 𝑣 = 𝑢 𝑣 sin 𝜃 𝑛 ???

Maintenant… Géométrique Algébrique Produit scalaire 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 1 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑣 2 + 𝑢 3 𝑣 3 Produit vectoriel 𝑢 × 𝑣 = 𝑢 𝑣 sin 𝜃 𝑛 ??? 𝑎 × 𝑏 = 𝑎 2 𝑏 3 − 𝑎 3 𝑏 2 , 𝑎 3 𝑏 1 − 𝑎 1 𝑏 3 , 𝑎 1 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑏 1 𝑎 × 𝑏 = 𝑎 2 𝑏 3 − 𝑎 3 𝑏 2 𝑖 + 𝑎 3 𝑏 1 − 𝑎 1 𝑏 3 𝑗 + 𝑎 1 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑏 1 𝑘 Truc: voir au tableau !

Exemple #2 (p.406) RA: Explorer les propriétés du produit vectoriel. Soit les vecteurs 𝑎 = 7, 1, −2 et 𝑏 = 4,3,6 . Détermine 𝑎 × 𝑏 . Confirme que 𝑎 × 𝑏 est orthogonal à 𝑎 et à 𝑏 .

Exemple #4 (p.409) RA: Se servir du produit vectoriel. Détermine l’aire du parallélogramme défini par les vecteurs 𝑢 = 4,5,2 et 𝑣 = 3,2,7 . Détermine l’angle formé par les vecteurs 𝑢 et 𝑣 .

À ton tour ! p.410 #1 à 4

Chapitre 8: Les droites et les plans

8.1: Les équations d’une droite dans le plan et l’espace tridimensionnel

Exploration L’équation de cette droite est −𝑥+2𝑦−10=0. Trace un vecteur parallèle à la droite. Nomme-le 𝑚 . Combien de vecteurs 𝑚 parallèles peux-tu dessiner ? Explique ta réponse. Trace un vecteur position qui relie l’origine à la droite. Nomme ce vecteur 𝑟 0 . Combien de vecteurs 𝑟 0 pourrais-tu dessiner pour cette droite ? Explique ta réponse. Dans l’équation 𝑦=𝑚𝑥+𝑏, la pente, m, modifie l’orientation de la droite et l’ordonnée à l’origine, b, modifie sa position. Comment les rôles de 𝑚 et 𝑟 0 se comparent-ils à m et b ?

Exploration (suite) Trace le vecteur 𝑎 = −1, 2 . Compare-le avec l’équation de la droite et avec sa représentation graphique. Dans un autre plan, représente la droite définie par 3𝑥+4𝑦−20=0. Dans ce même plan, trace le vecteur 𝑏 = 3, 4 . Compare ce vecteur avec l’équation de la droite et avec sa représentation graphique. Décris les ressemblances entre tes réponses aux étapes 4 et 5. Donne un exemple d’une autre droite et d’un autre vecteur qui ont la même propriété que ceux des étapes 4 et 5.

…

𝒓 = 𝒓 𝟎 + 𝒔

𝒓 = 𝒓 𝟎 + 𝒔 = 𝒓 𝟎 +𝒕 𝒎

L’équation vectorielle d’une droite dans le plan * 𝒓 = 𝒓 𝟎 +𝒕 𝒎 ou 𝑥,𝑦 = 𝑥 0 , 𝑦 0 +𝑡 𝑚 1 , 𝑚 2 𝑟 = 𝑥,𝑦 est un vecteur position d’un point inconnu sur la droite 𝒓 𝟎 = 𝑥 0 , 𝑦 0 est un vecteur position d’un point connu sur la droite 𝑚 = 𝑚 1 , 𝑚 2 est une vecteur directeur parallèle à la droite

Exemple #1 (p.430) RA: Déterminer l’équation vectorielle d’une droite dans le plan. Écris une équation vectorielle de la droite qui passe par les points A(1,4) et B(3,1). Détermine le vecteur position de 3 autres points sur la droite. Représente graphiquement la droite. À l’aide des points A et B, dessine une triangle qui représente l’équation vectorielle. Détermine si le point (2, 3) est sur la droite.

À ton tour! p.437 #1-3, 5

Équations paramétriques * Si 𝑥,𝑦 = 𝑥 0 , 𝑦 0 +𝑡 𝑚 1 , 𝑚 2 , alors: 𝑥= 𝑥 0 +𝑡 𝑚 1 𝑦= 𝑦 0 +𝑡 𝑚 2

Exemple #2 (p.432) RA: Les équations paramétriques d’une droite dans le plan. Soit la droite d1. 𝑑 1 : 𝑥=3+2𝑡 𝑦=−5+4𝑡 Détermine les coordonnées de 2 points sur la droite. Écris une équation vectorielle de la droite. Écris l’équation cartésienne de la droite (Ax+By+C=0). Détermine si la droite d1 est parallèle à la droite d2. 𝑑 2 : 𝑥=1+3𝑡 𝑦=8+12𝑡

À ton tour ! P.437 #6-7

Exemple #3 (p.433) RA: L’équation cartésienne d’une droite dans le plan. Soit la droite définie par l’équation cartésienne 4𝑥+5𝑦+20=0. Trace cette droite. Détermine un vecteur position perpendiculaire à la droite. Comment le vecteur position en b) se compare-t-il avec l’équation cartésienne ? Écris une équation vectorielle de la droite.

À ton tour ! p.437 #8 à 12

Vecteur normal * Un vecteur normal à une droite d est perpendiculaire à cette droite. Si 𝑑:𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0, alors 𝑛 = 𝐴, 𝐵 .

L’équation vectorielle et paramétrique d’une droite dans l’espace 3D * 𝒓 = 𝒓 𝟎 +𝒕 𝒎 ou 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 +𝑡 𝑚 1 , 𝑚 2 , 𝑚 3 𝑥= 𝑥 0 +𝑡 𝑚 1 𝑦= 𝑦 0 +𝑡 𝑚 2 𝑧= 𝑧 0 +𝑡 𝑚 3

Exemple #4 (p.434) RA: Déterminer l’équation d’une droite en 3D. Une droite passe par les points A(2, -1, 5) et B(3, 6, -4). Écris une équation vectorielle de cette droite. Écris les équations paramétriques correspondantes. Détermine si le point C(0, -15, 9) est sur la droite.

À ton tour !

La fin