Plans d’expériences: Plans de mélanges Réalisé par: Nada BENDAHMANE Sarah BELIDAN 2GC2 Encadré par: Pr. LAHLOU

Plan Généralités sur les plans de mélanges Représentation des mélanges Modélisation et interprétation des plans de mélanges Etude de cas: Formulation des coulis d’injection à base de ciment

Généralités sur les plans de mélanges Terminologie d’un plan d’expérience Plans de mélanges Plans d’expériences Objectifs Structurer les expériences d’une recherche Obtenir le maximum de renseignements Orienter la réflexion sur les résultats attendus Optimiser le nombre d’essais -> gain en temps et en coût Etude d’un phénomène : Y=f(x1,x2,…,xn) avec y : la réponse xi : les facteurs

Notions Généralités sur les plans de mélanges Plans d’expériences Terminologie d’un plan d’expérience Notions Espace expérimental Facteurs Niveaux Surface de réponse Domaine d’étude Point expérimental

Généralités sur les plans de mélanges Plans d’expériences Terminologie d’un plan d’expérience Plans de mélanges Qu’est ce qui caractérise un plan de mélange ? La réponse dépend des proportions des constituants du mélange. Les facteurs sont dépendants entre eux. Contrainte fondamentale des mélanges : Xi est la teneur en constituant i

Représentation des mélanges Représentation par tableaux Plans de mélanges sans contraintes Plans de mélanges avec contraintes Représentation géométrique Mélanges à deux constituants Mélanges à trois constituants Mélanges à quatre constituants

Représentation des mélanges Représentation géométrique Plans de mélanges sans contraintes Plans de mélanges avec contraintes Représentation par tableaux N° d’essai Produit A Produit B Produit C ………. Produit M 1 X1a X1b X1c X1m 2 X2a X2b X2c X2m 3 X3a X3b X3c X3m 4 X4a X4b X4c X4m …… n Xna Xnb Xnc Xnm Tableau représentant une série de n mélanges à m composantes

Représentation des mélanges Représentation géométrique Représentation par tableaux Plans de mélanges avec contraintes Plans de mélanges sans contraintes Selon la disposition des points dans le domaine d’étude, on distingue 3 types de plans : Plan en réseaux Plan centré Plan centré augmenté

Représentation des mélanges Représentation géométrique Représentation par tableaux Plans de mélanges sans contraintes Plans de mélanges avec contraintes Hautes teneurs interdites Basses teneurs interdites Basses et hautes teneurs interdites

Représentation des mélanges Représentation géométrique Représentation par tableaux Plans de mélanges sans contraintes Plans de mélanges avec contraintes Contraintes relationnelles Contrainte de somme constante: k1≤x1+x2 ≤k2 Contrainte de rapport constant: k1≤x1/x2 ≤k2

Modélisation et interprétation des plans de mélange Expérimentation et interprétation des résultats Qualité de prévision du modèle Validité du modèle Modélisation mathématique Principe: Choix d’une fonction mathématique reliant la réponse aux facteurs : Intérêt: Calculer toutes les réponses du domaine d'étude sans recourir obligatoirement aux expériences.

Modélisation et interprétation des plans de mélange Modélisation mathématique Qualité de prévision du modèle Validité du modèle Expérimentation et interprétation des résultats Détermination des essais expérimentaux à réaliser. Réalisation des mélanges choisis et calcul des réponses correspondantes. Calcul des coefficients du modèle. Importance de l’utilisation de logiciels spécialisés : NERMODW, COROCADO … etc

Modélisation et interprétation des plans de mélange Modélisation mathématique Expérimentation et interprétation des résultats Validité du modèle Qualité de prévision du modèle Méthode: Utilisation de tests statistiques, les plus utilisés sont: Le coefficient R² ajusté. Le coefficient F de Fisher. Intérêt: Vérifier que les effets mesurés des facteurs sont plus importants que le manque d’ajustement et les erreurs expérimentales.

Modélisation et interprétation des plans de mélange Modélisation mathématique Expérimentation et interprétation des résultats Qualité de prévision du modèle Validité du modèle Validation du modèle  Comparaison des réponses calculées à celles mesurées. Représentation graphique des résultats Exemple de courbes d’isoréponses

Constituants Contraintes Réponses Etude de cas: Formulation des coulis d’injection à base de ciment Analyse des données Exploitation des résultats Paramètres du problème Constituants Contraintes Réponses Ciment Eau Adjuvant E+C+A=1 0.56<C<0.65 0.35<E<0.43 0<A<0.011 Viscosité apparente (s) Décantation (%) Résistance fc28 Optimisation économique et technique d’un problème multiparamétrique et multicritère

Etude de cas: Formulation des coulis d’injection à base de ciment Paramètres du problème Exploitation des résultats Analyse des données Essai Ciment Eau Adjuvant Viscosité (s) Décantation(%) Résistance ( MPA) 1 0.564 0.429 0.007 30 1.2 36.0 2 29 1.4 35.0 3 0.582 0.407 0.011 0.7 30.2 1.0 29.0 4 5 0.594 0.404 0.002 34 19.1 33 1.5 20.0 6 7 0.600 0.390 34.9 8 32 34.0 Matrice d’expérience

Etude de cas: Formulation des coulis d’injection à base de ciment Paramètres du problème Exploitation des résultats Analyse des données Test statistique de fiabilité des modèles: Source R² R² ajusté R² prédit Linéaire 0.9280 0.9170 0.8808 Quadratique 0.9726 0.9589 0.9193 Spécial Cubique 0.9743 0.9572 0.9127 Cubique 0.9797 0.9620 0.9190  Le modèle quadratique est le plus valide pour modéliser la viscosité Modélisation mathématique pour la réponse « viscosité » : Viscosité (s) = 288 × Ciment + 417 × Eau + 811 × Adjuvant - 1267 × Ciment × Eau

Etude de cas: Formulation des coulis d’injection à base de ciment Paramètres du problème Analyse des données Exploitation des résultats Délimitation de la plage de formulations admissibles Courbes iso-viscosité du coulis

Etude de cas: Formulation des coulis d’injection à base de ciment Paramètres du problème Analyse des données Exploitation des résultats Pour les exigences du CPS (y compris les considérations économiques) et par la méthode de Simplex, la solution optimale est: Ciment Eau Adjuvant Viscosité Décantation Résistance 0.562 0.430 0.008 29 1.1 35

Bibliographie GOUPY Jacques «Introduction aux Plans d'expériences». Dunod. Paris. 303 pages. (2001). GOUPY Jacques. "Plans d'expériences : les mélanges". Dunod. Paris. 285 pages. (2000). « Les plans d’expériences ». Revue MODULAD 2006. Numéro 34. Article : « Démarche de formulation et d’optimisation des coulis d’injection à base de ciment » par K. Lahlou , M. Boufous et A. Bouda. (2007).