Exercice 5 : 2x+1 Soit la fonction f définie par f(x) = 3-x 1°) Déterminez son ensemble de définition. 2°) Déterminez la forme de sa courbe et tracez-la. 3°) Déterminez les points d’intersection avec l’axe des abscisses. Déduisez en le tableau de signes de f. 4°) Selon la forme de la courbe, quel semble être le signe de (3-x) pour les points de la courbe placés en-dessous de la droite d d’équation y = - 4 ? Déterminez les abscisses de ces points. 5°) Démontrez que ( 3x – 2 )×( x – 2 ) = 3x² - 8x + 4. Selon la forme de la courbe, quel semble être le signe de (3-x) pour les points de la courbe placés au-dessus de la droite d’ d’équation y = 3x – 1 ? Déterminez les abscisses de ces points, et ajoutez les droites d et d’ au graphe.

f(x) = (2x+1)/(3-x) 1°) Déterminez son ensemble de définition. On ne peut diviser par 0, donc 3 – x ≠ 0, donc x ≠ 3 Df = ] - ∞ ; 3 [ U ] 3 ; + ∞ [

f(x) = (2x+1)/(3-x) 1°) Déterminez son ensemble de définition. On ne peut diviser par 0, donc 3 – x ≠ 0, donc x ≠ 3 Df = ] - ∞ ; 3 [ U ] 3 ; + ∞ [ 2°) Déterminez la forme de sa courbe. f(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = - d/c = - (3)/(-1) = 3 Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 2/(-1) = - 2

f(x) = (2x+1)/(3-x) 1°) Déterminez son ensemble de définition. On ne peut diviser par 0, donc 3 – x ≠ 0, donc x ≠ 3 Df = ] - ∞ ; 3 [ U ] 3 ; + ∞ [ 2°) Déterminez la forme de sa courbe. f(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = - d/c = - (3)/(-1) = 3 Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 2/(-1) = - 2 f(0) = (0 + 1)/(3 – 0) = 1/3 > - 2 donc deux croissances.

f(x) = (2x+1)/(3-x) 3°) Déterminez les points d’intersection avec l’axe des abscisses. Déduisez en le tableau de signes de f. f(x) = 0 donne (2x+1)/(3-x) = 0 donc 2x + 1 = 0( 3 – x ) donc 2x + 1 = 0 donc 2x = - 1 donc x = - ½

f(x) = (2x+1)/(3-x) 3°) Déterminez les points d’intersection avec l’axe des abscisses. Déduisez en le tableau de signes de f. f(x) = 0 donne (2x+1)/(3-x) = 0 donc 2x + 1 = 0( 3 – x ) donc 2x + 1 = 0 donc 2x = - 1 donc x = - ½ Tableau de signes : x f(x)

f(x) = (2x+1)/(3-x) 3°) Déterminez les points d’intersection avec l’axe des abscisses. Déduisez en le tableau de signes de f. f(x) = 0 donne (2x+1)/(3-x) = 0 donc 2x + 1 = 0( 3 – x ) donc 2x + 1 = 0 donc 2x = - 1 donc x = - ½ Tableau de signes : x - ∞ - ½ 3 + ∞ f(x) - 0 + -

f(x) = (2x+1)/(3-x) 4°) Selon la forme de la courbe, quel semble être le signe de (3-x) pour les points de la courbe placés au-dessus de la droite d d’équation y = - 4 ? Tous les points qui conviennent appartiennent au 2ème morceau de la courbe, donc à droite de l’axe d’équation x = 3, donc x > 3, donc 3 – x < 0

f(x) = (2x+1)/(3-x) 2x+1 f(x) < - 4 < - 4 3-x 4°) Selon la forme de la courbe, quel semble être le signe de (3-x) pour les points de la courbe placés en-dessous de la droite d d’équation y = - 4 ? Tous les points qui conviennent appartiennent au 2ème morceau de la courbe, donc à droite de l’axe d’équation x = 3, donc x > 3, donc 3 – x < 0 Déterminez les abscisses de ces points. 2x+1 f(x) < - 4 < - 4 3-x 3-x est un négatif pour les x recherchés, donc 2x + 1 > - 4( 3 – x ) 2x + 1 > - 4( 3 – x ) 2x + 1 > - 12 + 4x 2x – 4x > - 12 – 1 - 2x > - 13 x < 13/2 Les solutions sont dans ] 3 ; 6,5 [.

f(x) = (2x+1)/(3-x) 5°) Selon la forme de la courbe, quel semble être le signe de (3-x) pour les points de la courbe placés au-dessus de la droite d’ d’équation y = 3x – 1 ? Tous les points qui conviennent appartiennent au 1er morceau de la courbe, donc à gauche de l’axe d’équation x = 3, donc x < 3, donc 3 – x > 0

f(x) = (2x+1)/(3-x) 5°) Selon la forme de la courbe, quel semble être le signe de (3-x) pour les points de la courbe placés au-dessus de la droite d’ d’équation y = 3x – 1 ? Tous les points qui conviennent appartiennent au 1er morceau de la courbe, donc à gauche de l’axe d’équation x = 3, donc x < 3, donc 3 – x > 0 Démontrez que ( 3x – 2 )×( x – 2 ) = 3x² - 8x + 4. ( 3x – 2 )×( x – 2 ) = 3x( x – 2 ) – 2( x – 2 ) = 3x² - 6x – 2x + 4 = 3x² - 8x + 4.

f(x) = (2x+1)/(3-x) Déterminez les abscisses de ces points. 2x+1 f(x) > 3x – 1 > 3x – 1 3-x puis, comme 3-x est un positif, 2x + 1 > ( 3x – 1 ) ( 3 – x ) 2x + 1 > 9x - 3x² - 3 + x 2x + 1 – 9x + 3x² + 3 – x > 0 3x² - 8x + 4 > 0 ( 3x – 2 ) ( x – 2 ) > 0

f(x) = (2x+1)/(3-x) Déterminez les abscisses de ces points. f(x) > 3x – 1 ( 3x – 2 ) ( x – 2 ) > 0 Réponse : tous les points dont les abscisses sont dans ] - ∞ ; ⅔ [ union ] 2 ; 3 [. Voir la question suivante pour la visualisation graphique. ] x - ∞ ⅔ 2 3 + ∞ 3x – 2 - 0 + + x – 2 - - 0 + produit + 0 - 0 +

f(x) = (2x+1)/(3-x) et ajoutez les droites d et d’ au graphe. ⅓ graphe non à l’échelle ⅓ 0 ⅔ 2 3 6,5 -2 - 4