La fonction RACINE CARRÉE

Définition La racine carrée d’un nombre x  détermine le nombre dont le carré donne x . On note la racine carrée de x . Attention ! - 5 = Ø Exemples : car 3 x 3 = 9 ou (3)2 = 9 car 7 x 7 = 49 ou (7)2 = 49 Propriétés :

Rationalisation du dénominateur Lorsqu’une fraction comporte un nombre irrationnel au dénominateur, la rationalisation consiste à le rendre rationnel. 1 2 Exemple #1 : Rationnaliser . 1 2 1 2 2 2 ( 2 )2 2 = x = = Irrationnel Rationnel

Exemple #2 : Rationnaliser . Irrationnel Rationnel 6 4 + 7 6 4 + 7 6 4 + 7 Exemple #2 : Rationnaliser . 6 4 + 7 6 4 + 7 4 – 7 = x 6 x ( 4 – 7 ) ( 4 + 7 ) x ( 4 – 7 ) = Irrationnel 24 – 6 7 16 – 4 7 + 4 7 – ( 7 )2 = 24 – 6 7 16 – 7 = 24 – 6 7 9 = Rationnel 8 – 2 7 3 =

Exemple #3 : Rationnaliser . Irrationnel Rationnel 10 11 – 7 10 11 – 7 11 – 7 Exemple #3 : Rationnaliser . 10 11 – 7 10 11 – 7 11 + 7 = x 10 x ( 11 + 7 ) ( 11 – 7 ) x ( 11 + 7 ) = Irrationnel 10 11 + 10 7 ( 11 )2 + 11 7 – 11 7 – ( 7 )2 = 10 11 + 10 7 ( 11 )2 – ( 7 )2 = 10 11 + 10 7 11 – 7 = Rationnel 10 11 + 10 7 4 = 5 11 + 5 7 2 =

Équations et graphique f(x) = x (forme générale de BASE) f(x) = a b ( x – h ) + k (forme générale TRANSFORMÉE) f(x) = a x – h + k (formes CANONIQUES) f(x) = a - ( x – h ) + k Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction), l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet (h, k). a = - 2 Exemple : f(x) = -2 3 ( x – 1 ) + 4 b = 3 h = 1 a b h k k = 4

Équations et graphique f(x) = x (forme générale de BASE) x f(x) car f(0) = 0 = 0 1 1 car f(1) = 1 = 1 2 1,41 car f(2) = 2 = 1,41 4 2 car f(4) = 4 = 2 9 3 car f(9) = 9 = 3 16 4 car f(16) = 16 = 4 -1 Ø car f(-1) = -1 = Impossible

Équations et graphique 1 f(x) = x (forme générale de BASE) x f(x) 1 4 2 9 3 16 25 5 36 6 Sommet Sommet (0, 0)

Équations et graphique f(x) = - x (forme générale TRANSFORMÉE où a = -1) 1 x f(x) 1 -1 4 -2 9 -3 16 -4 25 -5 36 -6 Sommet Sommet (0, 0)

Équations et graphique 1 f(x) = -x (forme générale TRANSFORMÉE où b = -1) x f(x) -1 1 -4 2 -9 3 -16 4 -25 5 -36 6 Sommet Sommet (0, 0)

Équations et graphique f(x) = - 2 x – 3 + 4 1 x f(x) Sommet (3, 4) Ø 1 2 3 4 7 12 -2 Sommet

Équations et graphique f(x) = a b ( x – h ) + k (forme générale TRANSFORMÉE) 1 (h, k) = sommet a : + b : – a : + b : + Sommet (h, k) a : – b : – a : – b : +

Forme canonique <---> générale Exemple #1 : Écrire l’équation f(x) = - 3 4x + 8 – 2 sous la forme canonique. 1 f(x) = - 3 4x + 8 – 2 f(x) = - 3 4 (x + 2) – 2 f(x) = - 3 4 x + 2 – 2 f(x) = - 3 (2) x + 2 – 2 f(x) = -6 x + 2 – 2 Sommet (-2, -2)

Écrire l’équation f(x) = 12 – 4x + 6 sous la forme canonique. Exemple #2 : Écrire l’équation f(x) = 12 – 4x + 6 sous la forme canonique. f(x) = 12 – 4x + 6 f(x) = - 4x + 12 + 6 f(x) = - 4 (x – 3) + 6 1 f(x) = 4 - (x – 3) + 6 f(x) = 2 - (x – 3) + 6 Sommet (3, 6)

Écrire l’équation f(x) = - 6 10 – 5x + 3 sous la forme canonique. Exemple #3 : Écrire l’équation f(x) = - 6 10 – 5x + 3 sous la forme canonique. f(x) = - 6 - 5x + 10 + 3 f(x) = - 6 - 5 (x – 2) + 3 1 f(x) = - 6 5 - (x – 2) + 3 f(x) = - 13,4 - (x – 2) + 3 Sommet (2, 3)

Recherche de l’équation Exemple : Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette fonction. Esquisse du graphique 2 P(-1, 7) S(8, -5)

Exemple : Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver l’équation de cette fonction. f(x) = a x – h + k (formes CANONIQUES) f(x) = a - ( x – h ) + k S(8, -5) Esquisse du graphique 2 P(-1, 7) 7 = a - (-1 – 8 ) – 5 a : + b : – 7 = a - (-9) – 5 7 = a 9 – 5 7 = a (3) – 5 12 = 3a 4 = a Réponse : f(x) = 4 - ( x – 8 ) – 5

Résolutions d’équations Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 x – 3 – 4 . Esquisse du graphique 0 = 2 x – 3 – 4 Il faut que x – 3 ≥ 0 Alors que x ≥ 3 1 Sommet (3, -4) 4 = 2 x – 3 2 = x – 3 VALIDATON (2)2 = ( x – 3 )2 0 = 2 (7) – 3 – 4 4 = x – 3 0 = 2 4 – 4 7 = x 0 = 4 – 4 Réponse : x  { 7 } 0 = 0

Exemple #2 : Résoudre 4 5 – 2x = 12 . 5 – 2x = 3 ( 5 – 2x )2 = (3)2 Il faut que 5 – 2x ≥ 0 Alors que x ≤ 5/2 ( 5 – 2x )2 = (3)2 5 – 2x = 9 Esquisse du graphique 1 Sommet (5/2, 0) - 2x + 5 = 3 - 2 (x – 5/2) = 3 y = 3 - 2x = 4 x = - 2 VALIDATON 4 5 – 2(-2) = 12 4 5 – -4 = 12 4 9 = 12 4 (3) = 12 12 = 12 Réponse : x  { - 2 }

Lorsque x = nombre négatif, il n’y a pas de solution ! Exemple #3 : Résoudre 2 x + 4 = 0 . 2 x = - 4 Il faut que x ≥ 0 x = - 2 ( x )2 = (- 2)2 Esquisse du graphique 1 Sommet (0, 4) x = 4 À rejeter VALIDATON 2 4 + 4 = 0 2 (2) + 4 = 0 4 + 4 = 0 8  0 Réponse : x  {  } Lorsque x = nombre négatif, il n’y a pas de solution !

Résolutions d’inéquations Exemple #1 : Résoudre f(x)  g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x Esquisse du graphique 1 Sommet (-1, 0)

Résoudre f(x)  g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x Exemple #1 : Résoudre f(x)  g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x f(x) = g(x) x + 1 = 2x Il faut que x + 1 ≥ 0 Alors que x ≥ -1 ( x + 1 )2 = (2x)2 Esquisse du graphique 1 Sommet (-1, 0) x + 1 = 4x2 0 = 4x2 – x – 1 -b  b2 – 4ac 2a x = -1  (-1)2 – 4(4)(-1) 2(4) x = -3  17 8 x = x1 ≈ -0,39 et x2 ≈ 0,64

Résoudre f(x)  g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x Exemple #1 : Résoudre f(x)  g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x f(x) = g(x) x + 1 = 2x Il faut que x + 1 ≥ 0 Alors que x ≥ -1 ( x + 1 )2 = (2x)2 Esquisse du graphique 1 Sommet (-1, 0) x + 1 = 4x2 0 = 4x2 – x – 1 -0,39 ≈ x1 0,64 ≈ x2 À rejeter VALIDATON de x1 VALIDATON de x2 (-0,39) + 1 = 2(-0,39) (0,64) + 1 = 2(0,64) 0,61 = -0,78 1,64 = 1,28 0,78  -0,78 1,28 = 1,28 Réponse : x  ] 0,64, + ∞ 23

Résoudre f(x) ≥ g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x Exemple #2 : Résoudre f(x) ≥ g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x f(x) = g(x) x + 1 = 2x Il faut que x + 1 ≥ 0 Alors que x ≥ -1 ( x + 1 )2 = (2x)2 Esquisse du graphique 1 x + 1 = 4x2 0 = 4x2 – x – 1 Sommet (-1, 0) -0,39 ≈ x1 0,64 ≈ x2 À rejeter Réponse : x  [ -1 ; 0,64 ]