Comportement statique et élastique des solides

I But de la RDM La résistance des matériaux est l'étude de la résistance et de la déformation des solides (arbres de transmission, bâtiments, fusées). Cela permet donc de : Suite Déterminer les dimensions fonctionnelles de la pièce Choisir le matériau constituant la pièce Vérifier la résistance à la "casse" de la pièce : (Dépassement de la limite à la résistance élastique du matériau) Vérifier la résistance à la "déformation" de la pièce Vérifier la résistance à la "fatigue" de la pièce : (Rupture après un certain nombre de cycles de déformation) Optimiser le coût de la pièce par changement des formes, des dimensions, des matériaux,...

I But de la RDM Suite Contraintes subies par l’aile d’avion Déformations subies par l’aile d’avion

I But de la RDM Suite Vérification de la résistance d’un aile d’avion

I But de la RDM Suite Répartition des contraintes dans une pièce sous charges

II Les hypothèses de la RDM Suite 2.1 La géométrie de la pièce : Pour tous les calculs RDM, on utilise le modèle « Poutre » (solides dont une dimension est très supérieure aux deux autres). Si la pièce à étudier ne peut pas être modélisée par une poutre, on utilise le calcul par éléments finis qui ne peut-être que logiciel.

II Les hypothèses de la RDM Suite 2.2 Les matériaux étudiées: Ils doivent être : Isotropes : on admet que les matériaux ont, en un même point, les mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions.. Elle n'est pas vérifiée pour les matériaux tels que le bois, les matériaux composites...etc. Homogènes : On admet que les matériaux ont les mêmes caractéristiques (composition) en tout point. Continus : pas de fissure, pas de creux...

III Différentes sollicitations simples Suite Une poutre peut être soumise à plusieurs sollicitations qui dépendent de la nature et de la direction des actions mécaniques.

III Sollicitations simples Suite x y Traction Exemples: Tirant Biellette Courroie N N NN N>0

Suite Compression Exemples: Tirant Biellette Ressort x y NN N<0 N N III Sollicitations simples

Suite Cisaillement Exemples: Axe Clavette Goupille Rivet x y T T T T/2 III Sollicitations simples

Suite Torsion Exemples: Arbre de transmission Tuyauterie x y Mt III Sollicitations simples

Suite Flexion Exemples: Arbre Axe Plongeoir Aile d’avion x y T T d III Sollicitations simples

IV Traction Suite 4.1 Essai de Traction: L’essai de traction est une expérimentation qui a pour objet la détermination des caractéristiques de résistance du matériau testé.

IV Traction Suite On applique progressivement et lentement à une éprouvette, de formes et de dimensions normalisées, un effort de traction croissant dont l’intensité varie de 0 à F jusqu’à la rupture.. Le tableau ci-contre montre l’évolution de la déformation de l’éprouvette en fonction de la charge appliquée

IV Traction Suite Résultats de l’essai Allongement en mm F(N) Zone de déformation élastique Zone de déformation plastique Point de rupture F Fe Charge limite élastique e r F Fr : Charge limite à la rupture Graphe de l’allongement en fonction de la charge appliquée

IV Traction Suite Résistance élastique Re avec R e en MPa, F e en N, S o section de la pièce en mm 2 avec R r en MPa, F r en N, S o section de la pièce en mm Résistance à la rupture Rr

IV Traction Suite Coefficient d’allongement A% avec Lu longueur ultime après rupture, Lo longueur initiale. avec  L allongement total de la poutre; Lo longueur d’origine;  L allongement relatif suivant l’axe Allongement relatif 

IV Traction Suite Coefficient de Poisson Pour les matériaux élastiques, la diminution des sections droites est proportionnelle à l’allongement relatif, ce coefficient est noté et appelé coefficient de Poisson. Ce coefficient caractérise la déformation transversale. en notant on obtient

IV Traction Suite 4.2 Contrainte Définition du vecteur contrainte : Une coupure est effectuée au niveau de la surface  (le plan de coupe peut ne pas être perpendiculaire à la ligne moyenne). Considérons un point M de cette surface et d  un élément de section droite aussi petit que possible entourant le point M. Soit l’effort élémentaire transmis par d  exercé par la matière de la partie droite sur la partie gauche de la poutre. On appelle vecteur contrainte au point M pour la coupure de normale le vecteur : Unités : en MPa ou N/mm 2. La contrainte est homogène à une pression.

IV Traction Suite Contrainte normale et contrainte tangentielle : Soit le repère local affecté à la coupure suivant la section droite  de normale. Projetons le vecteur contrainte Cm dans le repère (G x y z) : : Contrainte normale (projection du vecteur contrainte sur la normale à la coupure). : Contrainte tangentielle (projection du vecteur contrainte dans le plan YZ).

IV Traction Suite Contrainte en traction: Lorsqu’une poutre est sollicitée en traction la contrainte tangentielle est nulle et la contrainte normale vaux : L’expérience montre qu’il y a proportionnalité dans la zone élastique entre la contrainte  et l’allongement relatif . Loi de Hooke : avec  en N/mm²(MPa), F en N, S en mm². avec E module de Young en N/mm². (aciers E = Mpa)

Résultat : courbe de traction - Courbe représentant l'effort F exercé en fonction de l'allongement  ou de la déformation  - Courbe contrainte – déformation F  O A B OA : élastique linéaire (réversible) AB : plastique (irréversible, non linéaire) Déformation vraie :  réelle = ln (1+  ) Contrainte vraie :  réelle =  (1+  )   O vraie conventionnelle

Caractéristiques mécaniques conventionnelles obtenues - limite d'élasticité : généralement la limite conventionnelle à 0,2 ou 0,02 % - résistance à la traction - allongement à la rupture - coefficient de striction - module d'Young - coefficient de Poisson Paramètres influençant les résultats température, raideur de la machine, vitesse de déformation E = k 0 S0S0  %= SS S0S0

IV Traction Suite 4.3 Condition de résistance Pendant toute la durée de son service, une pièce doit conserver un comportement élastique. Cette condition s'exprime par l'inégalité suivante : Les problèmes d'incertitude sur la valeur de Re, de la contrainte, de la modélisation de l'étude…, nous amènent donc à exprimer la condition de résistance par : avec Re: résistance limite élastique en MPa s: coefficient de sécurité (s>1) Rpe: résistance pratique de limite élastique en Mpa

IV Traction Suite 4.4 Coefficient de concentration de contraintes : Kt La plupart des pièces industrielles ne sont pas cylindriques, elles possèdent des singularités de formes (perçages, gorges, rainures, filetages…). On définit un coefficient de concentration de contrainte appelé Kt tel que : La contrainte maximale a pour valeur : Avec : = contrainte atteinte au voisinage de la singularité = contrainte moyenne nominale calculée

IV Traction Suite 4.4 Coefficient de concentration de contraintes : Kt

IV Traction Suite 4.4 Coefficient de concentration de contraintes : Kt Les valeurs de K t sont expérimentales. Exemple 1 : Pour un filetage triangulaire ISO : K t = 2.5 Exemple 2 : Arbre de section circulaire épaulé.

V - Essai de torsion Principe de l'essai - Appliquer un moment de torsion et mesurer l'angle de rotation d'une extrémité à l'autre de la barre Intérêt de l'essai - Sollicitation non uniforme sur la section - Permet obtenir le module de Coulomb (cisaillement)  = M tx IXIX r G = k 0 IXIX

VI - Essais de dureté Principe de l'essai - Plusieurs types : Indentation, rayure, rebondissement… - Pénétrateur enfoncé dans le matériau sous l'effet d'une force constante - Mesure de la taille de l'empreinte ou de sa profondeur - Peu destructifs  employés dans l'industrie - Liée à la limite d'élasticité et résistance en traction Essai Meyer – Essai Brinell - Pénétrateur : bille polie (acier trempé ou carbure de tungstène) - Mesure du diamètre de l'empreinte

- Expressions de la dureté : Essai Vickers - Même principe que Brinell et Meyer avec pénétrateur pyramidal (136°) - Nécessite un très bon état de surface HV = 2×0,102 F sin (68°) d2d2 HM = d2d2 4F HB = 2F  D (D - D 2 -d 2 ) (surface apparente)(surface calotte sphérique)

a b c e = a-c F0F0 F 0 + F 1 F0F0 HRC = e 0,002 HRB (ou F) = e 0,002 Essai Rockwell - Mesure de l'enfoncement rémanent du pénétrateur après une surcharge (profondeur de l'empreinte) - Plusieurs types de pénétrateur : cône diamant ou bille d'acier

VII - Essais de choc Principe de l'essai - Rompre par un choc une éprouvette entaillée - Mesure de l'énergie nécessaire à cette rupture / section au droit de l'entaille CharpyIzod Energie mesurée relative au type d'essai employé

Dispositif expérimental - Dispositif classique : mouton pendule - Mesure de la différence entre l'angle au départ et à l'arrivée Position de départ Percuteur Éprouvette Cadran appuis

Caractéristiques obtenues - Estimation de la résistance aux chocs : énergie / unité de surface - Observation des faciès de rupture → comportement du matériau - Paramètre important : température → Observation de la transition fragile / ductile Entaille Rupture fragileRupture ductile KVKV Température FragileDuctile

VIII - Essais de fatigue Principe de l'essai - Solliciter un échantillon avec des cycles d'efforts répétés - Application à la traction, compression, torsion, flexion, fissuration - Pas de forme générale d'éprouvette étant donné la variété d'essais Contraintes alternéesContraintes répétéesContraintes ondulées t t t 

Caractéristiques obtenues - Diagramme de Wöhler  log(N) Limite d'endurance : plus grande contrainte pour laquelle la durée de vie est infinie - Aspect statistique : pour N donné, valeur de  correspondant à une probabilité de survie (ou de rupture) de 0,5 - Influence de la fréquence, et de l'environnement

IX - Essais de ténacité - Essais sur éprouvettes entaillées pour déterminer K 1C - 2 géométries : traction compacte (CT) ou flexion - B : épaisseur, W : largeur, Y : fonction de la longueur d'entaille

X - Essais de fluage Principe de l'essai - Fluage : déformation plastique évoluant avec le temps, dans un matériau soumis à une contrainte constante (rupture possible) - Application d'un effort constant, mesure de l'allongement Machines et éprouvettes - Essais à haute température → sélection des appareils de mesure

 t 00  t  t  00 t Mise en charge Courbes réellesCourbes théoriques  temps Fluage primaire Fluage secondaire Fluage tertiaire tRtR Rupture

Caractéristiques obtenues - Durée de vie pour une contrainte donnée, ou contrainte pour une durée de vie de 1000 h, h… - Loi de comportement Exemple : Loi Puissance Essai de relaxation - Souvent associé au fluage - Déformation constante imposée, mesure de la contrainte (fonction du temps)  Temps 

Conclusions Grande variété de propriétés → nombreux essais possibles Difficulté de mettre en pratique les conditions théoriques Nécessité des normes d'essais Importance des paramètres extérieurs