2.2 PRODUIT SCALAIRE ET CALCUL D’ANGLES Cours 5 Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe
Au dernier cours, nous avons vu La longueur d’un vecteur. La distance entre deux points. Les lieux géométriques.
Le produit scalaire entre deux vecteurs. La façon de trouver l’angle entre deux vecteurs. Projection orthogonale
Définition: Soit un espace vectoriel pour lequel on fixe une base ordonnée . Le produit scalaire de deux vecteurs est l’«opération» définie comme suit:
Remarque: Étant donné que le produit scalaire est défini à partir des composantes de deux vecteurs, le résultat dépend de la base utilisée. Nous allons voir que le produit scalaire nous permet d’obtenir des informations intéressantes si la base est orthonormée. Malheureusement, si la base n’est pas orthonormée, le produit scalaire est presque sans intérêt.
Dans
Loi des cosinus
Angle entre deux vecteurs
Exemple:
Faites les exercices suivants p.67 #1, 7 et 4
Théorème: Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors Preuve: alors Si et donc, Si , mais donc et d’où
Dans le cas particulier du plan, si on cherche un vecteur perpendiculaire à un vecteur donné, on a l’embarras du choix! Aussi bien en prendre un de même longueur. On note lui Mais si on prend donc, de même pour et
Propriétés du produit scalaire 1. 2.
3. 4.
Faites les exercices suivants p.67 # 5 et 8
Projections orthogonales La projection orthogonale de sur est Très loin Ce vecteur est tel que 1. 2.
Vecteur unitaire Hum... c’est presque le produit scalaire ça!
Exemple:
Faites les exercices suivants p. 69, # 12
Mais dans , c’est une tout autre histoire. Si on est dans , on a vu qu’on pouvait trouver un vecteur perpendiculaire à un vecteur donné. Mais dans , c’est une tout autre histoire. Il y en a trop! Il faut donc être un peu plus précis.
Trouver un vecteur perpendiculaire à et dans le plan défini par et . D’où est à et dans le même plan que et .
Faites les exercices suivants p. 69 # 13 et 15
Le produit scalaire entre deux vecteurs. La façon de trouver l’angle entre deux vecteurs. Projection orthogonale
Devoir: 2.2 #1 à 13, 15, 16, 18, 19, 20, 23 et 25