électronique analogique transformation de Fourier signal périodique signal non périodique systèmes linéaires amplification amplificateur amplificateur opérationnel filtrage oscillateurs électronique analogique

électronique analogique transformation de Fourier : x(t) somme de signaux sinusoïdaux TF si x(t) est périodique, sa TF est discrète : si x(t) est non périodique, sa TF est continue : électronique analogique

électronique analogique transformation de Fourier d'un signal périodique : x(t) t T M TF amplitude n électronique analogique

électronique analogique transformation de Fourier d'un signal périodique : T t T/2 reconstruction de x(t) : la courbe rouge est la somme des 4 premières harmoniques électronique analogique

électronique analogique transformation de Fourier d'un signal non périodique : x(t) t T/2 M -T/2 TF f X(f) tracé de X(f) pour M=1 et T=1, T=4 et T=0,4 électronique analogique

électronique analogique transformation de Fourier la TF est linéaire dualité temps/fréquence temps "brefs" fréquences élevées temps "longs" fréquences faibles enjeu : augmentation des débits de traitement de l'information fréquences élevées électronique analogique

électronique analogique transformation de Fourier signal périodique signal non périodique systèmes linéaires amplification amplificateur amplificateur opérationnel filtrage oscillateurs électronique analogique

électronique analogique systèmes linéaires x(t) y(t) S.L. la relation reliant y(t) à x(t) est une équation différentielle linéaire à coefficients constants : exemple : R i(t) x(t) y(t) C électronique analogique

électronique analogique systèmes linéaires exemple : R i(t) x(t) y(t) C si x(t) est sinusoïdal : x(t)=Xsin(wt), alors y(t) est aussi sinusoïdal : y(t)=AXsin(wt+j) électronique analogique

électronique analogique systèmes linéaires exemple : R i(t) x(t) y(t) C x(t) y(t) pour RCw=0,1 X y(t) pour RCw=10 2p wt y(t) pour RCw=1 électronique analogique

électronique analogique systèmes linéaires donc Aejwt A G(w) ejwt S.L. exemple : R I X(w) Y(w) 1/jCw G(w) = électronique analogique

électronique analogique systèmes linéaires lien avec la transformation de Fourier x(t) y(t) S.L. TF TF-1 X(w) X(f) Y(w) = G(w) X(w) Y(f) = G(f) Y(f) G(w) les signaux harmoniques sont les fonctions propres des systèmes linéaires électronique analogique

électronique analogique systèmes linéaires exemple : R x(t) t T M x(t) y(t) ? C |G(w)|dB 1 10 100 103 104 w(rd/s) électronique analogique

électronique analogique systèmes linéaires exemple : 1 10 100 103 104 w(rd/s) t t t électronique analogique

électronique analogique transformation de Fourier signal périodique signal non périodique systèmes linéaires amplification amplificateur amplificateur opérationnel filtrage oscillateurs électronique analogique

électronique analogique amplification système linéaire caractérisé par G(f)>1  apport d'énergie  amplificateur idéal: i=0 Ve(w) A(w) Vs(w) le courant d'entrée est nul la sortie est une source de tension parfaite électronique analogique

électronique analogique amplification  amplificateur non idéal (modèle linéaire): ie is Rs Ve(w) Vs(w) A(w).Ve(w) Re ie is Rg Rs Eg Vs Rc Ve A.Ve Re électronique analogique

électronique analogique amplification  cascade d'amplificateurs: ie Rs R's Ve V'e Vs A.Ve A'.V'e Re R'e amplificateur d'entrée : Re élevée amplificateur de sortie : Rs faible électronique analogique

amplificateur opérationnel électronique analogique  amplificateur opérationnel idéal: v+ ie + Rs vs  v+-v- A.(v+-v-) v- Re - A   Re   Rs  0 v+-v-  0 is  0 électronique analogique

amplificateur opérationnel électronique analogique  exemples de montages linéaires : + - R2 ve R1 vs + - ve ve R2 R1 vs électronique analogique

amplificateur opérationnel électronique analogique  exemples de montages linéaires : C R R' R + - + - ie ve vs vs électronique analogique

électronique analogique transformation de Fourier signal périodique signal non périodique systèmes linéaires amplification amplificateur amplificateur opérationnel filtrage oscillateurs électronique analogique

électronique analogique filtrage  réduction du bruit: V(f) s f  antirepliement: V(f) fe 2fe f électronique analogique

électronique analogique filtrage  sélection (ou élimination) d'une bande fréquentielle dans le spectre d'un signal : V(f) s1 s2 s3 fp1 fp2 fp3 f sélection d'un signal modulé en amplitude électronique analogique

électronique analogique filtrage  sélection (ou élimination) d'une bande fréquentielle dans le spectre d'un signal : v(t) V(f) TF t f V(f) réjection de parasites f électronique analogique

électronique analogique filtrage Système linéaire: Les signaux harmoniques sont fonctions propres de l ’opérateur linéaires. Fonction de transfert: Stabilité: p  k et pôles à parties réelles négatives électronique analogique

électronique analogique filtrage est décomposable en Les pôles sont réels ou complexes conjugués 1er ordre 2éme ordre Un filtre d ’ordre quelconque peut être réaliser par la cascade de filtres du premier et du deuxième ordre. électronique analogique

électronique analogique filtrage Filtre du 2éme ordre normalisé: Q=0,707 Butterworth Q=0,577 Bessel Q=1,128 Chebyshev électronique analogique

électronique analogique filtrage Gabarit d ’un filtre: critère de " gain plat "dans la bande passante  H(w) sélectivité phase linéaire Transposition de fréquence: s=w0/s Exemple: Filtre PB normalisé Filtre PH s=w0/s Filtre Passe-Bas Filtre Passe-Haut s=s+w02/s Filtre Passe-Bas Filtre Passe-Bande électronique analogique

électronique analogique filtrage Filtres de Butterworth: Filtre maximally flat: si N est pair, les pôles sont les racines de s2N=ejp, donc sk=ekjp/2N. Ex: N=4 x x x x x si N est impair, les pôles sont les racines de s2N=ej2p, donc sk=ekjp/N. Ex: N=3 x x x x x x électronique analogique

électronique analogique filtrage Filtres de Chebychev: Plus sélectif que B.: Les polynômes de C. sont définis par: TN+1(x)=2xTN(x)-TN-1(x) avec, T0(x)=1 et T1(x)=x. électronique analogique

électronique analogique filtrage Filtres de Bessel: Pour qu’un signal ne soit pas déformé par un système linéaire, il faut qu ’il subisse un retard pur: s(t)=A.e(t-t).  S(f)=A.E(f).exp(-j2pft) Le gain du système est donc G(f)=A.exp(-j2pft). La phase du filtre varie linéairement avec la fréquence. Un tel filtre est non causal donc non physique, le filtre de Bessel est celui qui approche le mieux un filtre à phase linéaire. BN est un polynôme de Bessel défini par: BN(s)=(2N-1)BN-1(s)+s2BN-2(s) avec B0=1 et B1(s)=s+1 électronique analogique

électronique analogique filtrage Comparaison des fonctions de transfert (filtres d ’ordre 3) Phase comparée des filtres de Butterworth et de Bessel électronique analogique

électronique analogique filtrage Filtres actifs: construits autour d ’un composant actif (amplificateur) non nécessairement stables comportement fréquentiel limité par les éléments actifs Exemple: R R C A ve vs stabilité A<4 C R Passe-bande du 2ème ordre électronique analogique

électronique analogique filtrage Cellules prédéfinies: filtre de Sallen-Key (1965) C1 R1 R2 A ve vs C2 stabilité Passe-bas du 2ème ordre Les cellules de Sallen-Key permettent de réaliser tous les filtres polynomiaux électronique analogique

électronique analogique filtrage Cellules prédéfinies: cellule de Rauch (2ème ordre) R2 C2 R1 R3 - + ve vs C1 Stabilité inconditionnelle Y4 Généralisation: Y5 Y1 Y3 - + Y2 ve vs électronique analogique

électronique analogique filtrage Circuits à capacités commutées: principe f1 f2 R C électronique analogique

électronique analogique filtrage Circuits à capacités commutées: principe f1 f2 C E E ’ Q(t0)=C.E électronique analogique

électronique analogique filtrage Circuits à capacités commutées: principe T DQ=C.(E ’-E) f1 f2 I = DQ/Dt = C/T.(E ’-E ) R I E E ’ C E E ’ Q(t0)=C.E Q(t0+Dt)=C.E ’ R=T/C électronique analogique

électronique analogique filtrage Circuits à capacités commutées: principe f1 f2 C E Ca Q=C.E électronique analogique

électronique analogique filtrage Circuits à capacités commutées: principe f1 f2 Q0=CE Conservation de la charge: CE=CV1+CaV1 V1 C E Ca V1=CE/(C+Ca) Q=C2.E/(C+Ca) Q=C.E Q=CCa.E/(C+Ca) électronique analogique

électronique analogique filtrage Circuits à capacités commutées: principe f1 f2 Q0=CE Q1=CE[1+Ca/(Ca+C)] V1 C E Ca V1=CE/(C+Ca) Q=C2.E/(C+Ca) Q=C.E Q=CCa.E/(C+Ca) électronique analogique

électronique analogique filtrage Circuits à capacités commutées: principe f1 f2 Q0=CE Q1=CE[1+Ca/(Ca+C)] V2 V1 C E Ca V1=CE/(C+Ca) V2=CE(1+Ca)/(C+Ca) Q=C2.E/(C+Ca) Q=C.E Q=CCa.E/(C+Ca) Q=C2.E(1+Ca)/(C+Ca) Q=CCa.E(1+Ca)/(C+Ca) électronique analogique

électronique analogique filtrage Circuits à capacités commutées: principe Relation de récurrence: V0=0 V1=CE/(C+Ca) V2= [CE+CaV1] /(C+Ca) … Vn= [CE+CaVn-1] /(C+Ca) R=T/C électronique analogique

électronique analogique filtrage Circuits à capacités commutées: mise en oeuvre C 0 f1 f2 ve vs C R=T/C C 0 f1 f2 ve vs f2 f1 électronique analogique

électronique analogique transformation de Fourier signal périodique signal non périodique systèmes linéaires amplification amplificateur amplificateur opérationnel filtrage oscillateurs électronique analogique

électronique analogique Génération de signaux Principe ! x(t) y(t) G(f) X(f) Y(f)=G(f).X(f) ie is amplificateur ve vs Le gain du système est dépendant:  des tolérances sur les composants actifs  de la température  du vielillissement électronique analogique

électronique analogique Génération de signaux Système bouclé: stabilité ! yr=G.H.e x e y + G(f) e=x- yr - yr H(f) Instabilité pour GH=-1 Pour IGHI >1, le gain du système ne dépend que de H Conditions d ’instabilité: IGHI=1 et Arg(GH)=p électronique analogique

électronique analogique Génération de signaux Système bouclé: stabilité ! saturation y - x + e G(f) yr H(f) IGHI>1 électronique analogique

électronique analogique Génération de signaux Oscillateurs sinusoïdaux: systèmes bouclés fonctionnant à la limite de l ’instabilité En général la chaîne de retour est passive. e y G(f) - yr Condition d ’accrochage: kG(f)=-1 k e y G(f) Condition d ’accrochage: kG(f)=1 k électronique analogique

électronique analogique Génération de signaux Oscillateurs sinusoïdaux: exemple oscillateur de Colpitts Condition d ’accrochage: kG(f)=1 L C C is=gve ve R électronique analogique

électronique analogique Génération de signaux Oscillateurs sinusoïdaux HF: un circuit résonnant fixe la fréquence des oscillations l ’amplificateur compense les pertes du circuit résonnant C C ’ L L Oscillateur de Hartley is=gve ve R électronique analogique

électronique analogique Génération de signaux Oscillateurs sinusoïdaux HF: Oscillateur de Clapp is=gve C ve L R C1 C2 électronique analogique

électronique analogique Génération de signaux Oscillateurs à quartz L C R Cs Q Ex: R= 30W Cs=10fF L=1H C0=10pF Z(W) fp=10,005 Mrd/s fs=10 Mrd/s w(Mrd/s) électronique analogique

électronique analogique Génération de signaux Oscillateurs à quartz: résonance série principe: instabilité pour Q résistif foscfs Q Re Q ve G.ve vs Oscillateur à portes CMOS électronique analogique

électronique analogique Génération de signaux Oscillateurs à réseau déphaseur (BF) principe: Réseau RC Re ve G.ve vs Amplificateur (en général à A.Op.) électronique analogique

électronique analogique Génération de signaux Oscillateurs à réseau déphaseur (BF) Exemple: R R R -A v1 v2 C C C v2/v1 doit être réel électronique analogique

électronique analogique Génération de signaux Oscillateurs à réseau déphaseur (BF) Exemple: oscillateur à pont de Wien R C A C R v1 v2 v2/v1 doit être réel électronique analogique