ELEC 2670 cours n° 6 Caractérisation de l’éclairement

Introduction Nous avons constaté lors des leçons précédentes l’utilité d’effectuer des simulations temporelles d’installations photovoltaïques. La modélisation des différents composants a été examinée. Il reste pour pouvoir réaliser une simulation à connaître l’évolution de l’éclairement du champ photovoltaïque en fonction du temps. Or, cet éclairement dépend de l’orientation et de l’inclinaison des modules. Il est rare que l’on dispose de mesures d’éclairement relative à l’orientation et l’inclinaison choisies, et que l’on n’envisage pas de modification de ces paramètres. Nous allons donc dans un premier temps voir comment l’on peut caractériser l’éclairement en un lieu donné de façon à pouvoir en déduire l’éclairement d’un module quelles que soient son orientation et son inclinaison. Un autre aspect qui sera abordé est de savoir comment caractériser les variations du spectre lumineux, puisque nous avons vu que ces variations ont une forte influence sur le courant photogénéré.

Le rayonnement solaire qui atteint un module photovoltaïque situé au sol peut avoir suivi différents chemins

Principe L’éclairement énergétique (irradiance en anglais) global G sur un plan est donné par l’intégrale où Iapp est la luminance énergétique (radiance en anglais) vue comme venant de la direction considérée.

Nous utilisons pour calculer cette intégrale des coordonnées sphériques q , j appelées coordonnées horizontales. Z : zénith N : Nadir (H) : grand cercle d’horizon (m) : grand cercle méridien du lieu Le nord et le sud se trouvent à l’intersection de ces deux grands cercles. En coordonnées sphériques dW = sin q dq dj Il n’est pas raisonnable de vouloir mesurer Iapp = Iapp (q, j) pour chaque direction ! On va donc supposer pour cette fonction une forme particulière ne dépendant que d’un petit nombre de paramètres.

On distingue le rayonnement direct du soleil, c'est-à-dire le rayonnement qui atteint le lieu considéré sans avoir subi de diffusion de la part de l'atmosphère les rayonnements diffus, qui proviennent du soleil indirectement après diffusions et réflexions. On considère que le rayonnement direct provient d’une seule direction. Cela revient à considérer le soleil comme un point de la voûte céleste, et la fonction correspondante comme un delta de Dirac. Attention ! Lors des mesures, on considère comme direct le rayonnement venant d’un angle solide non nul (donc à préciser). On englobe dans le rayonnement direct les rayons peu déviés.

La représentation du rayonnement diffus est plus discutée. On distingue le diffus du ciel et le diffus du sol, selon que la direction considérée pointe vers le ciel ou vers le sol. Les approximations classiques relatives au diffus du ciel contiennent des termes que l’on peut classer en diffus circumsolaire (ne pas confondre avec la partie incluse dans le rayonnement direct). Ce diffus concerne une zone importante du ciel. On le caractérise par le fait que sa luminance ne dépend que de l’angle séparant la direction considérée de la direction du Soleil. diffus hémisphérique du ciel. Ce diffus est caractérisé par le fait que sa luminance ne dépend que de l’angle séparant la direction considérée du zénith.

Rayonnement directionnel On considère habituellement que le rayonnement circumsolaire provient de la direction du Soleil. On peut alors le combiner avec le rayonnement direct. La somme des deux porte le nom de rayonnement directionnel. Il est facile de calculer l’effet de l’éclairement directionnel sur un plan quelconque. Pour cela, nous devons définir quelques angles.

Caractérisation de la position du Soleil M : direction du Soleil q0 : angle zénithal du Soleil j0 : angle azimutal du Soleil h : élévation du Soleil

Caractérisation de l’orientation et de l’inclinaison des modules Le vecteur est le vecteur normal au plan du module. L’orientation jp est définie de telle sorte que jp = - 90° pour une orientation Est jp = 0 pour une orientation Sud jp = 90° pour une orientation Ouest jp = 180° pour une orientation Nord L’inclinaison qp est définie de telle sorte que qp = 0° pour un plan horizontal tourné vers le haut qp = 90° pour un plan vertical qp = 180° pour un plan horizontal tourné vers le bas

L’éclairement directionnel (direct + diffus circumsolaire) vaut Hd’ = (Hd n + Hs d n ) cos i = Hd’ n cos i si i < 90° 0 si i > 90° Attention : ces expressions ne tiennent pas compte du FIAM . L’éclairement efficace correspondant est Hd’ n FIAM cos i si i < ilim 0 si i > ilim L’angle d’incidence est calculable par trigonométrie sphérique cos i = sin jp sin qp sin j0 cos h + cos jp sin qp cos j0 cos h + cos qp sin h ou cos i = = cos(jp – j0 ) sin qp cos h + cos qp sin h On choisit 0° < i < 180° On voit que cos i = 1 si le module est dirigé vers le Soleil cos i = sin( qp + h) = cos (qp – q0 ) si le module a la même orientation que le Soleil cos i = sin h si le module est horizontal tourné vers le haut

Le graphe ci-dessous montre que l’approximation obtenue en décomposant le rayonnement en une partie directionnelle (direct + diffus circumsolaire supposé ponctuel) une partie hémisphérique est raisonnable (les points expérimentaux sont tirés de la littérature) Nous espérons avoir d’autres données expérimentales similaires en mai (mise à la disposition du public des mesures faites à Daussoulx) On constate que l’éclairement hémisphérique croît avec l’inclinaison du panneau !

Diffus hémisphérique Le diffus hémisphérique du ciel est souvent considéré comme isotrope (même luminance dans tout le ciel). Cela contredit l’observation courante selon laquelle le ciel est plus brillant au voisinage de l’horizon. Par ailleurs, le diffus du sol, moins important, est pratiquement toujours considéré comme isotrope. Le traitement général du diffus hémisphérique consiste à exprimer la luminance apparente hémisphérique Ih app en fonction de l’angle zénithal q . On effectue alors l’intégrale où l’intégrale est prise uniquement sur les directions pour lesquelles i < 90° avec cos i = sin jp sin qp sin j sin q + cos jp sin qp cos j sin q + cos qp cos q ou cos i = = cos(jp – j ) sin qp sin q + cos qp cos q Nous verrons plus loin comment on peut obtenir la luminance hémisphérique Ih app (q) en utilisant un modèle de l’atmosphère.

Diffus hémisphérique où cos i = = cos(jp – j ) sin qp sin q + cos qp cos q Comme Ih app ne dépend pas de j , on peut faire le calcul en supposant jp = 0 Pour chaque valeur de q , il existe une valeur limite de jlim telle que i devient < 90° seulement lorsque – jlim < j < jlim . On peut donc écrire : A noter que, si qp < 90° (module tourné vers le haut !), jlim reste égal à p rad autour du zénith (sur tout l’intervalle 0 < q < 90° - qp ) . De même, dans le cas improbable où qp > 90° (module tourné vers le bas !), jlim resterait égal à 0 autour du zénith (sur tout l’intervalle 0 < q < qp – 90°) .

Diffus hémisphérique Pour réduire le nombre de paramètres, la fonction Ih app(q) est presque toujours simplifiée. Dans le modèle de Perez, on partage l’intervalle [0, 90°] en deux parties sur lesquelles la fonction est constante. On peut ainsi tenir compte du fait que le ciel est souvent plus lumineux au voisinage de l’horizon (parce que l’on « voit » dans cette direction une épaisseur d’atmosphère plus grande et plus riche en aérosols). A noter que, parfois, c’est l’inverse qui se produit, le ciel devenant plus sombre près de l’horizon. Pour aller plus loin, on peut considérer pour la partie proche de l’horizon un delta de Dirac. Autrement dit, on considère deux composantes pour le diffus hémisphérique : diffus du ciel isotrope, c'est la partie principale diffus du cercle d’horizon (plus rarement considéré). Ce terme est supposé pour le calcul provenir exclusivement de la ligne d'horizon (avec la même luminance tout le long de cette ligne). Cette façon de faire conduit cependant à un paradoxe théorique quand le diffus du cercle d'horizon est négatif, car un plan d'inclinaison proche de 180° reçoit alors du ciel un éclairement négatif ! Certains auteurs préfèrent considérer qu'il y a un delta de Dirac d'éclairement (le plus souvent négatif) au zénith, mais cela ne semble pas non plus très « naturel ».

Ainsi donc, selon les auteurs « classiques », on aura une décomposition du rayonnement diffus hémisphérique soit en deux composantes le rayonnement diffus isotrope du ciel le rayonnement diffus isotrope du sol soit en trois composantes le rayonnement diffus du cercle d'horizon (ou sa variante zénithale) Il faut remarquer que la seconde décomposition ne s'obtient pas toujours en ajoutant simplement un terme à la première : si on introduit une composante relative au cercle d'horizon, il faut en principe revoir la valeur du diffus isotrope du ciel. (non orthogonalité mathématique des composantes)

Éclairement correspondant à un rayonnement diffus isotrope du ciel Si on considère une luminance uniforme du ciel, soit Isky , on a pour l’éclairement correspondant (l’indice s vient de scattered = diffus) On obtient En prenant comme paramètre l’éclairement sur plan horizontal on obtient

Éclairement correspondant à un rayonnement diffus de cercle d’horizon Si on considère une « luminance linéique» constante Icircle du cercle d’horizon, on a On obtient En prenant comme paramètre l’éclairement correspondant sur un plan vertical on obtient Cette modélisation n’est pas très satisfaisante : point anguleux en qp = 0 on doit parfois considérer des valeurs négatives de Hsc90°

Éclairement correspondant à un rayonnement diffus isotrope du sol On considère le diffus du sol comme isotrope. Si on considère une luminance uniforme du sol, soit Ig, on a pour l’éclairement correspondant On obtient En prenant comme paramètre l’éclairement sur plan horizontal on obtient

Synthèse : les facteurs de forme Les facteurs qui interviennent dans les différentes fractions de l’éclairement des modèles simplifiés sont donc cos i ou 0 selon que i est inférieur ou supérieur à 90° 0.5 (1 + cos qp ) sin qp éventuellement 0.5 (1 – cos qp ) Ces facteurs sont appelés « facteurs de forme ». Les expressions ci-dessus ne tiennent pas compte du FIAM .

Modélisation du sol On peut fixer un des degrés de liberté (le diffus du sol) si on connaît l’albédo local du sol. où car le diffus du cercle d’horizon n’atteint pas un plan horizontal.

Note relative à la répartition spectrale Le spectre lumineux n’est pas constant. Le rayonnement direct « tire » vers le jaune, voire le rouge en début et fin de journée. Le rayonnement diffus du ciel « tire » vers le bleu par temps clair. Le rayonnement diffus du sol est à dominante verte si le sol est couvert de végétation. En principe, il faudrait faire la décomposition en plusieurs composantes (directionnel, circumsolaire …. ) pour chaque longueur d’onde séparément ! Un objectif plus réaliste est de faire l’analyse par bandes de longueur d’onde.

Position du Soleil

Introduction En principe, il est inutile de mesurer la position du Soleil car le calcul astronomique de cette position peut être fait avec une précision suffisante sans consommer beaucoup de moyens informatiques. (On utilise cependant des appareils de mesures de l’éclairement qui s’orientent automatiquement vers le Soleil pour éviter les erreurs de positionnement des appareils.)

Coordonnées horaires Les coordonnée horizontales ne sont pas les plus indiquées pour décrire le mouvement du Soleil. On utilise ordinairement dans ce but les coordonnées horaires définies comme indiqué sur cette figure. Le plan équatorial fait avec le plan de l’écliptique un angle constant d0 = 23.44° (l’obliquité). Au cours de l’année, la déclinaison d varie dans l’intervalle – d0 < d < d0 . L’angle horaire HA est mesuré par rapport au grand cercle méridien du lieu. Le temps solaire vrai en un lieu vaut RST = 12 + (HA/15) où HA est en degrés et RST en heures.

Dépendance vis-à-vis de la date On trouvera sur le site Internet SOLAIRE un programme de calcul des angles d et H pour un instant quelconque, avec une précision largement supérieure aux besoins photovoltaïques. Le calcul n’est pas très long, mais on peut préférer une version plus simplifiée. En voici une qui nous semble un compromis intéressant Calcul de la déclinaison. sin d(N) = 0.398 sin { 2 p [ N – 82 + 2 sin (2 p (N-2) / 365 ) ] / 365 } où N est le numéro du jour de l’année. On trouve des formules encore plus simplifiées, mais à quoi bon simplifier à outrance si le calcul est assisté par ordinateur.

Dépendance vis-à-vis de la date Calcul de l’angle horaire La vitesse de rotation de la terre autour du Soleil ne s’effectue pas à vitesse constante (cf. lois de Kepler). Le RST ne progresse donc pas à vitesse constante. On définit l’équation du temps Et = RST – MST où MST est le temps solaire moyen DU LIEU. On a approximativement Et (N) = 9.87 sin 2 N’ – 7.53 cos N’ – 1.5 sin N’ en minutes avec N’ = 360 (N-81) / 365 en degrés. Le MST n’est pas égal au temps légal. Il est relié au temps universel UT (temps MST de Greenwich ) par le biais de la longitude (long) . UT = MST – ( (long) / 15 ) Le temps légal est lié à UT par un décalage horaire qui dépend du pays. TL = UT + DE Hélas, DE change 2 fois par an ! On peut donc trouver HA en fonction du temps légal

Dépendance vis-à-vis de la date Une curiosité mathématique : l’analemme C’est la déclinaison en fonction de Et . L’échelle de la figure ci-contre est correcte (5° = 20 minutes). C’est la figure que l’on observerait sur une plaque photographique si on faisait un cliché par jour à heure fixe.

Dépendance vis-à-vis de la date Calcul des angles h (ou q0 ) et j0 . Le passage des coordonnées horaires aux coordonnées horizontales est fortement conseillé, bien qu’il soit possible de calculer directement l’angle d’incidence en coordonnées horaires. En effet, la valeur de l’angle h permet de savoir s’il fait jour ou nuit, et donc d’annuler l’éclairement solaire dans le second cas. Par ailleurs, ces angles sont nécessaires s’il y a un problème d’ombre à prendre en compte. Le passage dépend des coordonnées du lieu La longitude (long) est définie à partir du méridien de Greenwich et la latitude (lat) à partir de l’équateur de telle sorte que (long) < 0 pour les longitudes Ouest (W) (long) > 0 pour les longitudes Est (E) (lat) > 0 pour les latitudes Nord (N) (lat) < 0 pour les latitudes Sud (S)

Dépendance vis-à-vis de la date Calcul des angles h et j0 (suite) On a sin hastr = cos HA . cos d . cos (lat) + sin d . sin (lat) sin j0 . cos hastr = sin HA . cos d cos j0 . cos hastr = cos HA . cos d . sin (lat) – sin d . cos (lat) En utilisant les deux dernières équations SIMULTANEMENT, on peut déterminer l’angle j0 sans ambiguïté (par exemple en utilisant la fonction ATAN2(x , y) si elle est disponible dans le langage de programmation).

Dépendance vis-à-vis de la date Hauteur apparente du Soleil Il existe une petite différence entre la hauteur vraie du Soleil, que l’on peut obtenir comme expliqué par un calcul astronomique, et la hauteur apparente du Soleil. La différence est due à la réfraction atmosphérique. La différence est souvent négligée car elle est petite. De plus, c’est en début et en fin de journée qu’elle est la plus grande, alors que l’énergie photovoltaïque est petite à ce moment. Les programmes disponibles sur les site SOLAIRE en tiennent compte pour pouvoir calculer les heures de lever et du coucher du Soleil avec une précision comparable à celle des éphémérides… ce qui offre une vérification du programme de calcul. Le lever et le coucher du Soleil ont lieu quand h’  - 32’/2 (rayon apparent du Soleil). A ce moment, h’  h – 34’