Dynamique des solides

Détermination du centre de gravité Cinétique - Méthode intégrale : - Méthode barycentrique : - Méthode dite de Guldin : G d’une courbe (1er th de Guldin) : S = (2 π rG) . L G d’une surface (2ème th de Guldin) : V = (2 π rG) . S (C) rG G  P) (S) rG G  P) Toujours commencer par l’étude des symétries !

Moments d’inertie d’un solide Cinétique  u par rapport à un axe  : M dm (S) O H d par rapport à un point A : Exemple : soit M un point de coordonnées (x, y, z) dans un repère Déterminer pour un cylindre d’axe , de rayon R, de hauteur h et de masse m. Déterminer le moment d’inertie d’une sphère de rayon R et de masse m par rapport à son centre O puis par rapport à un diamètre quelconque.

Matrice d’inertie Propriétés : Cinétique Propriétés : Exercice : déterminer la matrice d’inertie en G d’un cylindre de rayon R, de hauteur h, de masse m et d’axe (G,z) déterminer la matrice d’inertie en G d’un parallélépipède de masse m et de côtés a, b, c. Si l’axe est axe de révolution alors la matrice s’écrit : Si le plan est plan de symétrie alors la matrice s’écrit :

Théorème de Huygens Pour un moment d’inertie : Cinétique G u (S) A d Pour un moment d’inertie : Pour une matrice d’inertie :

Torseur cinétique Cinétique ou torseur des quantités de mouvement d'un système matériel E par rapport à R Résultante cinétique ou quantité de mouvement Moment cinétique en A par rapport à R Cas particuliers : Si A = G, alors : Si A fixe dans R, alors :

Torseur dynamique Cinétique ou torseur des quantités d’accélération d'un système matériel E par rapport à R Résultante dynamique Moment dynamique en A par rapport à R Si A = G, alors : Cas particuliers : Si A fixe dans R, alors : Si S est en translation /R, alors :

Énergie cinétique En G seulement ! Cas particuliers : S/R : rotation d’axe S/R : translation de direction

Énergie cinétique Dimensions nulles ! Cas particuliers : Si masse ponctuelle mi : Si la masse est négligée :

Éléments cinétiques d’un ensemble E Soit E un ensemble de n solides Si en mouvement par rapport à R Attention d’exprimer les moments au même point avant de les sommer !

Puissance des efforts extérieurs sur E / R Définition : Champ de forces au point M Cas particulier du solide indéformable : Exemple : Champ de forces de contact Champ de pression d’un fluide Champ de pesanteur Le comoment ne dépend pas du point choisi pour le calcul des deux torseurs (même point pour les deux !) mais du repère R.

Puissance des efforts intérieurs à E Remarque : cette puissance est indépendante du repère R dans lequel elle est calculée. Cas des liaisons parfaites : Deux solides S1 et S2 ont une liaison parfaite si, quel que soit le mouvement autorisé par la liaison, la puissance développée par les actions mutuelles entre S1 et S2 est nulle (pas de frottement) :

Principe Fondamental de la Dynamique Énoncé : Il existe au moins un espace-temps galiléen tel que, pour tout ensemble matériel E, le torseur dynamique de E dans cet espace est constamment égal au torseur des efforts extérieurs appliqués à E : PFD Théorème de la Résultante Dynamique : Théorème du Moment Dynamique : Remarque : en un point A fixe dans Rg ou au centre de gravité G

Théorème de l’énergie cinétique (ou théorème de l’énergie – puissance) La dérivée, par rapport au temps, de l’énergie cinétique galiléenne d’un solide S est égale à la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures à S. Si E est un ensemble matériel : Th. de l’Ec Remarques : l’équation obtenue à partir du théorème de l’énergie cinétique n’est pas indépendante des équations fournies par le principe fondamental de la dynamique, le principe fondamental de la dynamique donne 6 équations et le théorème de l’énergie cinétique une seule, donc suffisant seulement pour les problèmes à un degré de mobilité, pour un système de solides, il faut tenir compte des inter-efforts, contrairement au PFD, ce théorème n’est intéressant que si on peut intégrer facilement la puissance (ie si la puissance "dérive d’un potentiel" et si les liaisons sont parfaites).

Équations du mouvement En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique, on obtient des relations entre les paramètres de position du système, leurs dérivées 1ères et 2ndes et les efforts s'exerçant sur E. On appelle équation du mouvement une équation différentielle du 2nd ordre traduisant les théorèmes généraux, dans laquelle ne figure aucune composante inconnue d'action mécanique. Éq. du mvt En général le théorème de l’énergie cinétique est à privilégier pour déterminer l’équation du mouvement : méthode plus rapide. Il y a autant d’équations de mouvement que de mobilités utiles.

Équilibrage dynamique Étude dynamique : Efforts de liaison dans (x, y ,z0) ? x0 x y0 z0 (S) O G  dépendent de θ en projection dans R0 ! vibrations dans la liaison pivot 2 conditions d’équilibrage : Équilibrage - Équilibrage statique : le centre de gravité doit appartenir à l’axe de rotation - Équilibrage dynamique : l’axe de rotation doit être axe principal d’inertie

Équilibrage dynamique x0 x y0 z0 (S) O G  Réalisation pratique : P1 (m1) Soient Si deux masselottes de masse mi fixées en Pi de coordonnées xi, yi, zi dans R. Posons : S' = S + S1 + S2 P2 (m2) Équilibrage statique : Équilibrage Équilibrage dynamique :

Rendement Définitions : Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit :

Résolution d’un problème de dynamique 4 - Détermination des équations de mouvement : s’il y a une seule mobilité, donc une seule équation à écrire, et pas de frottement, on peut utiliser le théorème de l’énergie cinétique appliqué à l’ensemble du mécanisme pour déterminer la loi « entrée-sortie » mais on n’obtient pas de relation linéaire (liaison parfaite entre Si et Sj  P(Si  Sj / Si ) = 0). S'il y roulement sans glissement (avec frottement non négligé et résistance au roulement négligée c-à-d le cas le plus fréquent) entre deux solides, la puissance des inter-efforts est nulle. en cas de doute, préférer le PFD (attention: choisir un repère galiléen !) en projection sur l’axe du mouvement (th. de la résultante pour une translation et du moment dynamique ...ou cinétique suivant les auteurs ... pour une rotation). ne calculer la (ou les) composante(s) du torseur dynamique dont on aura besoin qu’à partir de cet instant : déterminer la projection du moment cinétique si possible au centre de gravité ou en un point fixe dans Rg (attention à exprimer le vecteur rotation et la matrice d’inertie dans la même base !), dériver pour obtenir le moment dynamique (attention si l'axe de projection n'est pas fixe !) et le transporter si nécessaire en un autre point. 5 - Détermination des efforts inconnus : appliquer le PFD à un solide (ou groupe de solides) judicieusement choisi (faisant apparaître ces efforts comme actions extérieures) en projection sur les seuls axes concernés par les composantes à déterminer. pour dimensionner un actionneur (couple pour moteur, pression pour vérin), on peut utiliser le théorème de l’énergie cinétique. 3 - Inventaire des efforts appliqués : bien définir le solide ou système de solides étudié Si faire le bilan des actions extérieures appliquées à Si (schéma pour les pb plan et torseurs pour les pb spatiaux). 1 - Modélisation du système mécanique : identifier les classes d’équivalence. définir les liaisons entre ces différents groupes en faisant l’inventaire de toutes les mobilités permises par la liaison, indépendamment des mouvements autorisés par le mécanisme. établir le graphe de structure du mécanisme. 2 – Paramétrage : lier un repère Ri à chaque groupe Si définir les paramètres de position permettant de situer ces repères entre eux (une longueur par translation et un angle par rotation permises par chaque liaison) sur des projections planes. pour chaque classe d’équivalence Si, donner la masse, la position du centre de gravité et la matrice d’inertie dans Ri Résolution