Les Systèmes asservis

Structure générale Fonction de transfert H(p) = S(p) E(p) A(p) B(p) Généralité (t) correcteur e(t) s(t) Système capteur consigne S(p) A(p) B(p) E(p) Fonction de transfert H(p) =

Abaque de Hall FTBO isophase isomodule dans le plan de Black 0dB Abaque de Hall dans le plan de Black FTBO Abaque de Hall -10° Pour une pulsation  donnée isomodule isophase M -30° M' -2dB

En général, on prend le temps de réponse à 5%. Rapidité Elle est définie par le temps de réponse du système soumis à un échelon d'amplitude e0. En général, on prend le temps de réponse à 5%. Rapidité  5% 95% de la valeur finale tr 5% tr 5%

tr 5% = 3 T avec T : constante de temps Rapidité Pour un 1er ordre : tr 5% = 3 T avec T : constante de temps Rapidité Pour un 2nd ordre : tr 5% mini pour m = 0,69 si dépassements autorisés pour m = 1 sinon. Si m = 0,69 alors tr 5% = 3 / ω0

(p) = E(p) – B(p).S(p) Précision statique s v Écart statique en position notée s e(t) = e0 u(t) (p) = E(p) – B(p).S(p) en régime permanent Précision e(t) t v s(t) Écart statique en vitesse notée v e(t) = a t u(t) (p) = E(p) – B(p).S(p)

et est liée à la présence d'intégrateurs dans la BO. Précision statique La précision est caractérisée par l'écart entre la consigne et la sortie en régime permanent : elle augmente avec le gain statique de la FTBO et est liée à la présence d'intégrateurs dans la BO. Précision Classe de la FTBO e(t) E(p) écart statique  = 0  = 1   2 u(t) 1/p s (en position) 1/(1+K) t.u(t) 1/p2 v (en vitesse)  1/K

Condition sur les pôles de la FTBF Dans le cas d’une réponse impulsionnelle, l’équation de la sortie peut s’écrire :   . avec pi les pôles et zi les zéros Soit dans le domaine temporel : Stabilité avec pi les pôles réels et ai ± j bi les pôles complexes conjugués La partie réelle des pôles doit donc être strictement négatives pour que la réponse converge vers 0.

soit D(p) = an pn + … + a0 : dénominateur de la FTBF Critère de Routh soit D(p) = an pn + … + a0 : dénominateur de la FTBF Condition n°1 : Pour que le système soit stable, il faut que tous les ai soient de même signe. Condition n°2 : Le système est stable si tous les coefficients de la colonne des pivots sont positifs. pn an an-2 an-4 … pn-1 an-1 an-3 an-5 pn-2   colonne des pivots + - + - Stabilité + - ?

Critère de Revers GdB instable K Le système est stable  GdB K instable Le système est stable en boucle fermée si, en parcourant le lieu de transfert de la FTBO dans le sens des  croissants, on laisse le point critique à droite. stable -180° Stabilité Plan de Black

Critère de Revers GdB K instable  stable  Le système est stable en boucle fermée si, pour la pulsation correspondant à  = -180°, -180° stable la courbe de gain de la FTBO passe au dessous du niveau 0 dB. Stabilité -180° Plan de Bode

On prend en général une marge de gain de 6 à 15dB. Mg = - 20 log |H(j -180°)| Re(H(j)  GdB  Im(H(j) Bode Black Nyquist 1/Mg -180° -180° Mg -180° -1 Mg Stabilité  On prend en général une marge de gain de 6 à 15dB.

M = 180° + arg (H(j1)) avec 1 telle que | H(j1)| = 1 Marge de phase M = 180° + arg (H(j1)) avec 1 telle que | H(j1)| = 1 Re(H(j)  GdB  Im(H(j) Bode Black Nyquist -180° 1 -180° -1 M M Stabilité M  On prend en général une marge de phase de 45°.

Influence des pôles sur la réponse Dans le cas d’une réponse impulsionnelle, l’équation de la sortie peut s’écrire :   avec pi les pôles réels et ai ± j bi les pôles complexes conjugués Les parties réelles des pôles (réels ou complexes) se retrouvent dans les termes exponentiels, et elles permettent de caractériser l’amortissement,    Les parties imaginaires des pôles complexes conjugués se retrouvent dans les pulsations des termes oscillants, et elles permettent de caractériser la rapidité (fréquence des oscillations). Influence des pôles

Influence des pôles sur la réponse

Influence des pôles sur la réponse La réponse d’un système linéaire est donc déterminée par la position de ses pôles dans le plan complexe : un système du 10ème ordre a 10 pôles, sa réponse comporte au maximum 10 termes. Zone d’influence des pôles dominants e0 t s(t) Influence des pôles Zone d’influence de tous les pôles Les réponses lentes sont pénalisantes, elles imposent donc la forme de la réponse globale.

Influence des pôles Un système d’ordre élevé a en général un ou deux pôles dominants et se comporte donc comme un 1er ou un 2nd ordre ; on peut donc simplifier la transmittance d’un système d’ordre élevé en ne conservant que le ou les pôles dominants.

Structure générale 3 types de correction sont au programme : Les trois performances sont en général incompatibles : il faut donc faire des compromis. On corrige les systèmes asservis en ajoutant un correcteur (de fonction de transfert C(p)) dans la boucle ouverte. (t) correcteur e(t) s(t) Système capteur consigne 3 types de correction sont au programme : - Correction proportionnelle : - Correction intégrale : Correction - Correction dérivée :

Correction proportionnelle Pour augmenter la rapidité et la précision, K > 1. Pour augmenter la stabilité, K < 1. K n'influe pas sur la phase de la FTBO, ce correcteur génère une translation de la courbe de gain de 20 logK.  M donnée:  = - 180° + M    |K.H(j)| = 1 d'où K Correction  Mg donnée:  = - 180°    20 log ||K.H(j)| = - Mg d'où K

Correction intégrale Comment augmenter la précision d'un système ? en introduisant un intégrateur dans la BO mais on risque ainsi de déstabiliser le système (en diminuant la phase de 90°)  on choisit un correcteur qui modifie la phase uniquement pour les basses fréquences GdB   -90° 1/ Il faut faire attention à ne pas diminuer la phase à la pulsation critique  éloigner 1/ de cette pulsation critique En général, on place le correcteur une décade avant c soit : Correction En général, ce correcteur diminue la rapidité du système.

ensuite on détermine a pour avoir une marge de phase correcte Correction dérivée Quand on diminue le gain de la BO pour stabiliser le système, on diminue la rapidité et la précision en général. Pour améliorer la stabilité, on peut aussi augmenter la phase donc ajouter un correcteur à phase positive (action dérivée). Un dérivateur pur n'étant pas physiquement réalisable, on utilise un correcteur à avance de phase : GdB   a < 1 20 log K 1/a 90° 1/ 20 log (K/a) 1/ a maxi maxi pour n tel que : log n = (log (1/) + log (1/a))/2 maxi = arc tan n - arc tan an Correction Il faut modifier la FTBO au voisinage du point critique donc choisir n proche de c, ensuite on détermine a pour avoir une marge de phase correcte

Correcteur PID Le correcteur PID théorique a une fonction de transfert : En pratique, on prend : avec a < 1. Correction

Compensation par retours dérivés Les techniques de compensation par retours dérivés consistent à créer des boucles internes sur les grandeurs dérivées de la grandeur commandée ; par exemple, le système ci-dessus permet de réguler : en position, en vitesse, en courant (puissance moteur)  Correction

Influence des perturbations sur la précisions ᵋentrée ᵋperturbation Poursuite Régulation Perturbation

Influence des perturbations sur la précisions Besoin d’un intégrateur en amont de la perturbation Perturbation