Réciprocité de MAXWELL Considérons une poutre horizontale reposant sur des appuis parfaits (sans frottement) soumise à deux actions mécaniques : F 1 et F 2 :  force F 1 appliquée en A et de support  1.  force F 2 appliquée en B et de support  2. F2F2 F1F1  22 AB

Notation de déplacements des points A et B d A = d A1 + d A2 d B = d B1 + d B2 Allure de la déformée F2F2 F1F1 dAdA dBdB A B 11 22

1-Généralités : Energie interne d’une poutre : Le travail produit par un système d’actions mécaniques F 1 et F 2 quelconque est emmagasiné par la poutre sous forme de potentiel interne W. Si cette poutre ne repose que sur des appuis sans frottement, le travail de F 1 et F 2 lui est restitué intégralement. Il ne dépend que de l’état final ( poutre chargée) et de l’initial ( poutre avant chargement).

Travail d’une force : Le travail d’une force F de support   est égale au produit : F * d  d  déplacement du point d ’application de F suivant la direction .

2- Energie potentiel emmagasinée par la poutre : Déterminons l’énergie potentielle emmagasinée par la poutre sur laquelle est appliquée les deux actions F 1 et F 2 en appliquant successivement F 1 puis F 2 dans un premier temps et F 2 puis F 1 dans un second temps.

2-1 Application de F 1 puis F 2. d A1 F1F1 A F 1 seul W = T ravail (F 1 seul) F2F2 F1F1 d A2 d B2 A B F 2 seul W = T ravail (F 1 seul) + F 1 * d A2 + T ravail (F 2 seul) +

2-2 Application de F 2 puis F 1. W = T(F 2 seul) + F 2 * d B1 + T(F 1 seul) F1F1 A1A1 F2F2 A2A2 d B1

2-3 Conclusion. Conclusion : F 1 * d A2 = F 2 * d B1 Avec : d  = Déplacement du point A suivant la direction  1 sous l’effet de F 2 d  = Déplacement du point B suivant la direction  2 sous l’effet de F 1 F2F2 F1F1 d B1 A1A1 A2A2 d A2

3 Application - Détermination d ’une flèche. Détermination du déplacement vertical f de la section médiane sous l’effet de l’action F 1 : F1F1 A1A1 f

3 Application - Détermination d ’une flèche. Conclusion : F 1 * d A2 = 1 * f Appliquons une action verticale unitaire au droit de la section centrale. 1 F1F1 A1A1 d A2 f

Détermination d’une flèche (suite). Donc : f = F 1 * d A2

Détermination d’une flèche (suite). F 1 * d A2 correspond au travail de F 1 quand la force unitaire est appliquée, ce travail équivaut au potentiel emmagasiné par la poutre. Le moment fléchissant au droit d’une section quelconque de la poutre correspond à M f1 et subit une rotation sous l’action de la charge unitaire de : Mf E. I Gz. dx

Conclusion. F1F1 A1A1 f M f1. Mf E. I Gz dx f =