Méthode Taguchy Analyse de la variance Anavar Plans d'expérience Méthode Taguchy Analyse de la variance Anavar

La méthode Objectif : Proposer une méthode plus rigoureuse de sélection des paramètres influents. Certitude/risque Moyen : On compare la variance de la sortie liées au réglage d'un paramètre à la variance naturelle de la sortie.

1) Principe T° Condition série Pression Vitesse Constat : La sortie est variable même pour des valeurs de paramètres supposées constante

1) Principe Action sur T° 30° T° Condition série Pression Vitesse 60° Constat : La sortie varie de manière plus significative si on modifie le réglage de la température

1) Principe Action sur VITESSE 20 t/min T° Condition série Pression Vitesse 5 t/min Constat : La sortie varie de manière sensiblement équivalente lorsque l'on modifie le réglage de vitesse.

1) Principe Action sur PRESSION 20 bars T° Condition série Pression Vitesse Constat : La sortie varie de manière plus significative si on modifie le réglage de la pression. 10 bars

Certains paramètres interviennent plus que d'autres 1) Principe Action sur PRESSION Action sur T° Action sur VITESSE 20 bars 30° 20 t/min T° Condition série Pression Vitesse 5 t/min 60° Constat : Certains paramètres interviennent plus que d'autres 10 bars

1) Définitions Population Grandeur Echantillon X Moyenne x σ NF -X06-006 Variance : Ecart type au carré Population Grandeur Echantillon X Moyenne x σ Ecart type s σ2 variance s2 Caractère N Effectif n

Loi Normale Loi de GAUSS 3) Rappels loi normale NF -X06-006 Loi Normale Loi de GAUSS 99,73% Moyenne de la population : Ecart-type de la population : - 3 σ + 3 σ

4) Calcul de la somme des carrés pour un paramètre Y N lignes r répétitions na modalités a2 a1 X1 X2

4) Calcul de la somme des carrés pour une interaction Sur le même principe N lignes r répétitions na modalités de X nb modalité de Y

Construction du Test des Variances Considérons le rapport des variances avec = Variance estimée du paramètre et = Variance estimée du processsus ( sans les effets des paramètres) Fc est défini comme le nombre de FISHER calculé

Le Test consiste à choisir entre deux hypothèses Hypothèse H0 : Fc = 1 => Variances égales. Hypothèse H1 : Fc # 1 => Variances différentes. Pratiquement le Test compare : la valeur de Fc (calculé) à la valeur de Ft (tabulé), obtenue par lecture de la table de FISHER - SNEDECOR en fonction du seuil de signification et du nombre de degrés de liberté des échantillons.

DECISIONS Le Paramètre n'est pas influent si : Fc < Ft La différence des Variances n'est pas significative. Le paramètre est influent si : Fc > Ft La différence des Variances est significative.

Table de Fisher Snedecor TEST DE FISHER-SNEDECOR 3 variables en entrée = Ddl du paramètre = Ddl du résidu = Risque de se tromper

Table de Fisher Snedecor DDL des facteurs (Paramètres ou interactions) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 DDL Intervalle de confiance à 1% et 5% résidu 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 1 161,4 4052 199,5 4999 215,7 5403 224,6 5625 230,2 5764 2 18,51 98,49 19,00 99,00 19,16 99,17 19,25 99,25 19,30 99,30 3 10,13 34,12 9,55 30,81 9,28 29,46 9,12 28,71 9,01 28,24 4 7,71 21,20 6,94 18,00 6,59 16,69 6,39 15,98 6,26 15,52 5 6,61 16,26 5,79 13,27 5,41 12,06 5,19 11,39 5,05 10,97 6 5,99 13,74 5,14 10,91 4,76 9,78 4,53 9,15 4,39 8,75 7 5,59 12,25 4,74 9,55 4,35 8,45 4,12 7,86 3,97 7,45 8 5,32 11,26 4,76 8,65 4,07 7,59 3,84 7,01 3,69 6,63 9 5,12 10,56 4,26 8,02 3,86 6,99 3,63 6,42 3,48 6,06 10 4,96 10,04 4,10 7,56 3,71 6,55 3,48 5,99 3,33 5,64 11 4,84 9,65 3,98 7,20 3,59 6,22 3,36 5,67 3,20 5,32 12 4,75 9,33 3,88 6,93 3,49 5,95 3,26 5,41 3,11 5,06 13 4,67 9,07 3,80 6,70 3,41 5,74 3,18 5,20 3,02 4,86 14 4,60 8,86 3,74 6,51 3,24 5,56 3,11 5,03 2,96 4,69 15 4,54 8,68 3,68 6,36 3,29 5,42 3,06 4,89 2,90 4,56 16 4,49 8,53 3,63 6,23 3,24 5,29 3,01 4,77 2,85 4,44 17 4,45 8,40 3,59 6,11 3,20 5,18 2,96 4,67 2,81 4,34 18 4,41 8,28 3,55 6,01 3,16 5,09 2,93 4,58 2,77 4,25 19 4,38 8,18 3,52 5,93 3,13 5,01 2,90 4,50 2,74 4,17 20 4,35 8,10 3,49 5,85 3,10 4,94 2,87 4,43 2,71 4,10 Infini 3,84 6,64 2,99 4,60 2,60 3,78 2,37 3,32 2,21 3,02

Table de Fisher Snedecor TEST DE FISHER-SNEDECOR REMARQUE IMPORTANTE Les DDL du dénominateur seront ceux attribués au résidu lors de l'analyse de Variance. En pratique, il faut se réserver au moins 3 DDL pour le résidu.

Calcul de la variance d'un paramètre = Somme des carrés des écarts ddl du paramètre

Calcul de la variance des residus Lorsque les résultats sont issus de l'expérience, le Résidu n'est pas connu au départ. L'approche TAGUCHI consiste à appréhender la variance du résidu par la relation : Somme carrée du Plan - Somme carrée des Facteurs = Somme carrée du Résidu.

Exercice Essai Injection Culasse Altitude Temperature Resultats 1 203 199 2 204 209 3 214 212 4 215 210 5 172 173 6 181 183 7 202 201 8 205 199,0625

Tableau d'analyse de la variance Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Ft Fc %contrib I I1 = I2 C C1 C2 A A1 A2 T T1 T2 IC I1C1 I1C2 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu Plan

ddl du plan - somme des ddl des facteurs et des interactions Moyenne du plan - ddl Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Ft Fc %contrib I I1 = 1 I2 C C1 C2 A A1 A2 T T1 T2 IC I1C1 I1C2 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu 10 Plan 15 nb modalites - 1 Produit des ddl des actions qui composent l'interaction ddl du plan - somme des ddl des facteurs et des interactions nb essais - 1

Moyenne générale 199,06 Moyenne générale 199,06 Effet des facteurs Effet de X au niveau i = moyenne des sorties ou X est au niveau i - moyenne générale des sorties Moyenne générale 199,06 Paramètre I C A T niveau 1 2 Moyenne 208,25 189,87 190,5 207,63 197 201,125 199,875 198,25 Effet 9,19 -9,19 -8,56 8,56999999999999 -2,06 2,065 0,814999999999998 -0,810000000000002 Moyenne générale 199,06 Paramètre I C A T niveau 1 2 Moyenne Effet

Interactions Xi.Yj = moyenne des sorties des essais ou X est au niveau i Y au niveau j - (moyenne générale+Effet de X au niveau i+Effet de Y au niveau j) Moyenne générale 199,06 Facteur1 I niveau 1 2 Effets 9,19 -9,19 Facteur2 C Effet -8,56 8,56 moyenne 203,75 212,75 177,25 202,5 Interaction 4,06 -4,06 4,06999999999999 Moyenne générale 199,06 Facteur1 I niveau 1 2 Effets 9,19 -9,19 Facteur2 C Effet -8,56 8,56 moyenne Interaction

Analyse de la variance I 1 C A T IC I 1 C A T IC Moyenne = 199,06 Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Ft Fc %contrib I I1 = 9,19 1 I2 -9,19 C C1 -8,56 C2 8,56 A A1 -2,06 A2 2,06 T T1 0,81 T2 -0,81 IC I1C1 4,06 I1C2 -4,06 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu 88,62 10 Plan 2954,93 15 Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Ft Fc %contrib I I1 = 1 I2 C C1 C2 A A1 A2 T T1 T2 IC I1C1 I1C2 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu 10 Plan 15

Paramètre et interaction Somme des carrés Plan Somme des écarts à la moyenne ² de tous les résultats du Plan. Paramètre et interaction Somme des effets moyens carre * Nb de résultats par modalité ou combinaison dans le cas des interactions Résidu S² TOTAL - S² Paramètres & Interactions

Somme des carrés 8*2*(9,182+9,182)/2 Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Ft Fc %contrib I I1 = 9,18 1348,3584 1 I2 -9,18 C C1 -8,56 1172,3776 C2 8,56 A A1 -2,06 68,06 A2 2,06 T T1 0,81 10,56 T2 -0,81 IC I1C1 4,06 264,06 I1C2 -4,06 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu 88,62 10 Plan 2954,93 15 Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Ft Fc %contrib I I1 = 9,18 1 I2 -9,18 C C1 -8,56 C2 8,56 A A1 -2,06 A2 2,06 T T1 0,81 T2 -0,81 IC I1C1 4,06 I1C2 -4,06 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu 10 Plan 15 8*2*(9,182+9,182)/2 8*2*(4,062+4,062+4,062+4,062)/(2*2) (2954.93-(1348,35+1173,06+68,06+10,56+264,06) ((203-199,1)2+ (199-199,1)2+ (209-199,1)2+ (199-199,1)2+......+ (205-199,1)2+ (202-199,1)2)

Variance S²I / DDLI Parametre I Residu S²r / DDLr

Calcul de la variance d'un paramètre Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Ft Fc %contrib I I1 = 9,18 1350,56 1 I2 -9,18 C C1 -8,56 1173,06 C2 8,56 A A1 -2,06 68,06 A2 2,06 T T1 0,81 10,56 T2 -0,81 IC I1C1 4,06 264,06 I1C2 -4,06 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu 88,62 10 8,862 Plan 2954,93 15 Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Ft Fc %contrib I I1 = 9,18 1350,56 1 I2 -9,18 C C1 -8,56 1173,06 C2 8,56 A A1 -2,06 68,06 A2 2,06 T T1 0,81 10,56 T2 -0,81 IC I1C1 4,06 264,06 I1C2 -4,06 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu 88,62 10 Plan 2954,93 15

Nombre de fisher calculé Fc(I) VI / Vr

Nombre de fisher 1350/8,862 I 1350,56 1 C 1173,06 A 68,06 T 10,56 IC Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Ft Fc %contrib I I1 = 9,18 1350,56 1 I2 -9,18 C C1 -8,56 1173,06 C2 8,56 A A1 -2,06 68,06 A2 2,06 T T1 0,81 10,56 T2 -0,81 IC I1C1 4,06 264,06 I1C2 -4,06 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu 88,62 10 8,862 Plan 2954,93 15 Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Ft Fc %contrib I I1 = 9,18 1350,56 1 152,40 I2 -9,18 C C1 -8,56 1173,06 132,37 C2 8,56 A A1 -2,06 68,06 7,68 A2 2,06 T T1 0,81 10,56 1,19 T2 -0,81 IC I1C1 4,06 264,06 29,80 I1C2 -4,06 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu 88,62 10 8,862 Plan 2954,93 15

α Table de fisher (3 variables d'entrée) v1 DDL du paramètre (numérateur) v2 DDL du résidu (dénominateur) α Risque de se tromper

Table de fisher DDL des facteurs (Paramètres ou interactions) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 DDL Intervalle de confiance à 1% et 5% résidu 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 1 161,4 4052 199,5 4999 215,7 5403 224,6 5625 230,2 5764 2 18,51 98,49 19,00 99,00 19,16 99,17 19,25 99,25 19,30 99,30 3 10,13 34,12 9,55 30,81 9,28 29,46 9,12 28,71 9,01 28,24 4 7,71 21,20 6,94 18,00 6,59 16,69 6,39 15,98 6,26 15,52 5 6,61 16,26 5,79 13,27 5,41 12,06 5,19 11,39 5,05 10,97 6 5,99 13,74 5,14 10,91 4,76 9,78 4,53 9,15 4,39 8,75 7 5,59 12,25 4,74 9,55 4,35 8,45 4,12 7,86 3,97 7,45 8 5,32 11,26 4,76 8,65 4,07 7,59 3,84 7,01 3,69 6,63 9 5,12 10,56 4,26 8,02 3,86 6,99 3,63 6,42 3,48 6,06 10 4,96 10,04 4,10 7,56 3,71 6,55 3,48 5,99 3,33 5,64 11 4,84 9,65 3,98 7,20 3,59 6,22 3,36 5,67 3,20 5,32 12 4,75 9,33 3,88 6,93 3,49 5,95 3,26 5,41 3,11 5,06 13 4,67 9,07 3,80 6,70 3,41 5,74 3,18 5,20 3,02 4,86 14 4,60 8,86 3,74 6,51 3,24 5,56 3,11 5,03 2,96 4,69 15 4,54 8,68 3,68 6,36 3,29 5,42 3,06 4,89 2,90 4,56 16 4,49 8,53 3,63 6,23 3,24 5,29 3,01 4,77 2,85 4,44 17 4,45 8,40 3,59 6,11 3,20 5,18 2,96 4,67 2,81 4,34 18 4,41 8,28 3,55 6,01 3,16 5,09 2,93 4,58 2,77 4,25 19 4,38 8,18 3,52 5,93 3,13 5,01 2,90 4,50 2,74 4,17 20 4,35 8,10 3,49 5,85 3,10 4,94 2,87 4,43 2,71 4,10 Infini 3,84 6,64 2,99 4,60 2,60 3,78 2,37 3,32 2,21 3,02

Tableau d'analyse de la variance Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Ft Fc %contrib I I1 = 9,18 1350,56 1 4,96 152,40 I2 -9,18 C C1 -8,56 1173,06 132,37 C2 8,56 A A1 -2,06 68,06 7,68 A2 2,06 T T1 0,81 10,56 1,19 T2 -0,81 IC I1C1 4,06 264,06 29,80 I1C2 -4,06 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu 88,62 10 8,862 Plan 2954,93 15 Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Ft Fc %contrib I I1 = 9,18 1350,56 1 152,399006996163 I2 -9,18 C C1 -8,56 1173,06 132,369668246445 C2 8,56 A A1 -2,06 68,06 7,67998194538479 A2 2,06 T T1 0,81 10,56 1,19160460392688 T2 -0,81 IC I1C1 4,06 264,06 29,7968855788761 I1C2 -4,06 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu 88,62 10 8,862 Plan 2954,93 15

Pourcentage de contribution SOMME CARREE DU FACTEUR X 100 SOMME CARREE DU PLAN

Pourcentage de contribution Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Ft Fc %contrib I I1 = 9,18 1350,56 1 4,96 152,40 I2 -9,18 C C1 -8,56 1173,06 132,37 C2 8,56 A A1 -2,06 68,06 7,68 A2 2,06 T T1 0,81 10,56 1,19 T2 -0,81 IC I1C1 4,06 264,06 29,80 I1C2 -4,06 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu 88,62 10 8,862 Plan 2954,93 15

< < < > < Réponse 1350/2954,93 I 1350,56 1 4,96 152,40 Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Ft Fc %contrib I I1 = 9,18 1350,56 1 4,96 152,40 45,71 I2 -9,18 C C1 -8,56 1173,06 132,37 39,70 C2 8,56 A A1 -2,06 68,06 7,68 2,30 A2 2,06 T T1 0,81 10,56 1,19 0,36 T2 -0,81 IC I1C1 4,06 264,06 29,80 8,94 I1C2 -4,06 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu 88,62 10 8,862 Plan 2954,93 15 < < < > <

Réponse Parametre Effet moyen Somme carrés ddl variance Prob %contrib I I1 = 9,18 1350,56 1 100 % 45,71 I2 -9,18 C C1 -8,56 1173,06 99,9 % 39,70 C2 8,56 A A1 -2,06 68,06 95 % 2,30 A2 2,06 T T1 0,81 10,56 68 % 0,36 T2 -0,81 IC I1C1 4,06 264,06 97 % 8,94 I1C2 -4,06 I2C1 I2C2 Moyenne = 199,06 Residu 88,62 10 8,862 Plan 2954,93 15

Le Pooling Certains paramètres peuvent avoir un effet négligeable. Il est alors intéressant de les inclure dans le résidu pour gagner sur le nombre de DDL du résidu. La variance du résidu augmente. (S²  et DDL résidu  ) Pour les Plans saturés au départ, l'analyse de Variance devient possible.

Le Pooling Avant regroupement (POOLING) Après regroupement (POOLING)

Rapport Signal/bruit Permet de mettre en évidence les paramètres robustes insensibles aux variations extérieures (bruits) A un sens que s'il y a répétition(s) !

Rapport Signal/bruit Utilisation en Electronique S B Signal Bruit Ce rapport est max. quand B est petit =

Rapport Signal/bruit S/B 12 Graphique signal/bruit SIGNAL 1 2 Performance moyenne de la modalité 2 1 2 Graphique et dispersion 12 Graphique signal/bruit 77 BRUIT Dispersion (répétabilité de la combinaison) Modalité 1 = S/B max 52 1 2 C'est la modalité 1 qui est robuste

Dans sa forme la plus simple le ratio S/B Rapport Signal/bruit Dans sa forme la plus simple le ratio S/B est le rapport entre : Performance d'une Modalité (Signal) Dispersion de cette Modalité (Bruit)

Rapport Signal/bruit 3 formules utilisant la fonction log permettent de mettre en évidence la robustesse d'un paramètre suivant que l'objectif ciblé est un maxi, mini ou nominal. La combinaison optimale est toujours celle qui représente le rapport S/B le plus élevé quelle que soit la formule.

Rapport Signal/bruit A B C ESSAIS 1 ESSAIS 2 S/B 1 1 1 1 200 100 42.0 1 1 1 1 200 100 42.0 2 1 2 2 1000 3000 62.5 3 1 2 3 2670 2000 67.5 4 1 1 4 400 200 48.1 5 2 1 3 1600 1500 63.8 6 2 2 4 4500 5000 73.5 7 2 2 1 3700 4500 72.1 8 2 1 2 920 900 59.2

Rapport Signal/bruit GRAPHIQUE SIGNAL/BRUIT 2 3 S/B S/B S/B 5000 cycles 1000 cycles 1 2 1 2 1 2 3 4 70 S/B S/B S/B 40 1 2 1 2 1 2 3 4

Les PLANS CROISES permettent : Plans croisés Les PLANS CROISES permettent : de tester une combinaison de paramètres maitrisés robustes, insensibles aux bruits extérieurs, quelques soient leurs combinaisons.

Plans croisés L8xL4 Facteurs maitrisés N° colonne 1 2 3 paramètre I C 5 6 7 8 Facteurs maitrisés

Plans croisés L8xL4 2 T -10 25 1 A 1500 Bruits Extérieurs

Plans croisés L8xL4 N° colonne 1 2 paramètre I C 3 4 5 6 7 8 2 T -10 25 1 A 1500 201 199 198 202 203 215 218 220 205 190 210 195 196 250 255 260 245 265 263 256 275 280