Initiation à la M.E.F Sergio COCCO

Dimensionnement et mise en oeuvre Aspects pratiques de la M.E.F Principe de la M.E.F Dimensionnement et mise en oeuvre Éléments de validation d’un calcul EF Exemples d’application

Exemple 1 : Poutre en flexion simple ey A B ex L F effort tranchant moment fléchissant flèche en B Ty = F Mz = F(L-x) yB = FL3 3EI

Approximation : assemblage de poutres Exemple 2 : Pylône électrique F Flèche au sommet du pylône ? Approximation : assemblage de poutres Méthodologie connue ? temps de mise en oeuvre

Exemple 3 : Moteur 2 temps Évaluation du champ de température et du champ de contrainte induit Analyse expérimentale / étude numérique

Méthode des éléments finis Problématiques industrielles Lois ou modèles Physiques Pas de solution analytique Recherche de solutions approchées par des techniques numériques Abaqus Ansys Nastran / Marc Ideas Méthode des éléments finis - dimensionnement d ’une structure - amélioration des process de fabrication - réduction du nombre de prototypes

Principe de la M.E.F Règles de Dimensionnement Les outils numériques - Quelques exemples Organigramme général d’un code de calculs Données physiques du problème Type d’analyses Validité d’un calcul EF Conclusions Exemples d’application

Principe de la M.E.F Problèmes rencontrés dans les domaines de l’ingénieur Lois ou des modèles Physiques Mécanique du solide -------- Mécanique des fluides ----- Thermique ------------------ Électricité ------------------ PFS, PFD, loi de HOOKE Eq de Navier - Stokes Loi de Fourrier Eq Potentiel Éléments finis Lois fondamentales

Éléments finis Lois fondamentales Matériaux isotropes et anisotropes Comportements élastique, élastoplastique, plastique, viscoélastique Structure homogène ou composite Petites déformations, petits déplacements, grands déplacements Calculs stationnaires et transitoires Calculs statiques, thermiques, dynamiques, électromagnétiques Éléments finis Mécaniques des solides déformables

Base théorique de la M.E.F (1) Analyse expérimentale Détermination du champ de déformation Collage de jauges Objectif : Champ de déplacements U Champ de déformations e Champ de contraintes s

+ Base théorique de la M.E.F (2) Inconnue du problème Champ de déplacements U Inconnue du problème Mécanique des corps déformables + M.E.F Résoudre un problème mécanique avec la M.E.F, c’est chercher le champ de déplacement

Base théorique de la M.E.F (3) Comment déterminer les déplacements d’une pièce chargée ? Déterminer l’écrasement du ressort sous charge Appuyé et chargé Énergie de déformation Déplacements Déformations Contraintes Wd

Énergie = déplacement*effort = U*F = U*(F/U)*U = U*K*U = U*F Base théorique de la M.E.F (4) Rappel RDS : Méthodes énergétiques : théorème de CASTIGLIANO déplacement dans le sens de l’effort = Énergie = déplacement*effort = U*F = U*(F/U)*U = U*K*U = U*F Raideur K F = KU Système mécanique le plus simple qui soit : le ressort linéaire

Base théorique de la M.E.F (5) - Ressort linéaire isolé k F1 F2 1 2 U1 U2 F1 F2 U1 U2 K = matrice de rigidité - Assemblage de ressorts K1 K2 F1 ,U1 F2 ,U2 F3 ,U3 1 2 3 ASSEMBLAGE : (K) RESOLUTION : KU=F

Base théorique de la M.E.F (6) Conclusion Le champ de déplacement est l’inconnue d’un problème EF La M.E.F est une méthode basée sur l’énergie de déformation La M.E.F repose sur la notion de raideur d’une structure et la résolution d’un système matriciel du type F = K.U La M.E.F est une méthode d’approximation

Base théorique de la M.E.F (7) Au sens large : Mécanique du solide Thermique Mécanique des fluides Magnétisme Effort Flux Vitesse Charge magnétique Déplacement Température Pression Potentiel

un nombre finis d’éléments Base pratique de la M.E.F (1) Méthode de partitionnement M.E.F Modèle DISCRET Découpe la structure en un nombre finis d’éléments Discrétisation MAILLAGE Nœuds et les éléments du modèle Efforts, appuis : Conditions limites

Géométrie Maillage Modèle Base pratique de la M.E.F (2) EF Points Filaires Surfaces Volumes Maillage Discrétisation Nœuds Éléments Modèle Représentation des phénomènes physiques Exemple Forces nodales nœud EF Charge répartie Domaine continu Domaine discretisé Déplacements imposés

…. Base pratique de la M.E.F (3) EF Domaine discretisé nœud Forces nodales nœud …. EF Charge répartie Chaque élément fini possède sa propre RAIDEUR Déplacements imposés Domaine discretisé La structure discrétisée aura une RAIDEUR globale Forces nodales Déplacements imposés Charge répartie Efforts, appuis : Conditions limites

Base pratique de la M.E.F (4) Extension de la notion de rigidité à une structure ‘réelle’ structure complexe exploitation du type F = K.U ( 1 ) ( 2 ) Discrétisation de la structure - en éléments simples - en nombre finis Détermination de - l’énergie de déformation élémentaire - la rigidité élémentaire - assemblage - résolution

Base pratique de la M.E.F (5) - Schématisation

Dimensionnement : classification des structures Différents types de structure rencontrés structure 1D Structures poutres Dimensions transverses faibles devant la longueur Approximation fibre neutre Structures à paroi mince Épaisseur faible par rapport à la largeur et la longueur Approximation fibre neutre structure 2D Structures massives volumiques Aucune dimension n’est prépondérante structure 3D Aucune approximation

Dimensionnement : Hypothèses simplificatrice (1) Configuration initiale Approximation EF Modèle poutre Modèle coque

Dimensionnement : Hypothèses simplificatrice (2) Configuration initiale Approximation EF Modèle volumique

Dimensionnement : Familles d’éléments

Dimensionnement : Compatibilité d’éléments et gestion des DDL Gestion coque-volume Gestion poutre-volume Encastrement des coques Prolongement des poutres

éléments finis compatibles avec le type de problème Dimensionnement : mise en oeuvre Caractéristiques géométriques volumique aucune plaque / coque épaisseur poutre Section Inerties éléments finis compatibles avec le type de problème

s et e planes Dimensionnement : cas particuliers H F x y F x y F x y x

Dimensionnement : cas particuliers Symétrie et anti-symétrie

Dimensionnement : cas particuliers Exemple de symétrie CL de symétrie

Dimensionnement : cas particuliers Exemple d’anti-symétrie CL d’anti-symétrie

Dimensionnement : cas particuliers Axi-symétrie F F M.E.F Configuration réelle Configuration approchée

Les outils numériques M.E.F Outils cinématiques Outils généralistes Système LMS Multicorps rigides mécanique linéaire et non linéaire mécanique vibratoire thermique électromagnétisme Outils métiers industrie automobile crash ferroviaire - robotique accidentologie mise en forme génie civil bio-mécanique

Quelques exemples de simulation Simulation d’un crash test Étude cinématique des liaisons au sol Protection habitacle : étude biomécanique de l’impact

Organigramme général d’un code de calculs Pré-processeur Modélisation de la structure : - description du modèle en C.A.O (hypothèses simplificatrices) - discrétisation de la structure en EF - entrées des données physiques (matériaux, CL, chargement) Résolution du système KU = F Solveur Analyse des résultats - exploitation des résultats (déplacements, contraintes…) - validation - recalage des résultats Post-processeur

Données physiques du problème - Nature du matériau niveau de précision - Comportement du matériau élastique, élasto-plastique… - grandes déformations - contact / frottement - historique - phénomènes vibratoires thermiques - Phénomènes physiques - Type de chargement et conditions limites - rigides et élastiques - masses équivalentes - application des charges

Type d’analyses - niveau de contraintes - déplacements - masse - Validation - Optimisation jeu de paramètres - matériau - géométrie d’une pièce - modes de chargement reconception Norme : - neige et vent - CODAP, AFNOR - construction - matériau Respect des critères fixés

Validité d’un calcul EF 1) Étude préliminaire à partir des plans d’ensemble - choix du type d’analyse (statique, dynamique,thermique…) - étude d’un comportement local ou global - choix du type d’éléments - hypothèses simplificatrices (lignes ou peaux moyennes), symétrie - cohérence du système d’unité - conditions limites (chargements, liaisons internes ou externes) - propriétés des matériaux - propriétés géométriques des éléments (section, inertie, épaisseur)

2) Avant le lancement du calcul - contrôler la géométrie du modèle - qualité du maillage : connectivité des nœuds distorsion des éléments zone de raffinements - visualisation des CL et des propriétés matériaux

3) Après le lancement du calcul - vérification de la masse, du volume, de la position du CDG - vérification de l’équilibre de la structure chargée - amplification de la déformée : connectivité des nœuds approche intuitive des déplacements - comparaison des contraintes moyennées et non moyennées - vérification des ordres de grandeur - utilisation des dispositifs d’estimation d’erreur

Modélisation Analyse Conclusions : questions essentielles Quels sont les phénomènes physiques les plus importants ? Quel modèle utiliser ? Moins il y a d ’hypothèses + on est proche de la réalité + le modèle mathématique est complexe + le coût de résolution est élevé Analyse Quelle est l’erreur d’approximation commise ? Quelle est l’erreur numérique ? Peut-on améliorer le modèle numérique ? Compromis entre : précision du modèle / réalité

Conclusions : zone de raffinements

Conclusions : distorsion des éléments

Conclusions : connectivité des nœuds Effet boutonnière

Conclusions : étude locale – étude globale (1)

Conclusions : étude locale – étude globale (2)

Conclusions : étude locale – étude globale (3)

Conclusions : étude locale – étude globale (4)

Qu’est ce qu’un modèle ? Exemple d’application : support d’étagère (1) S ’assurer que le support est capable de remplir ses fonctions Optimiser la pièce pour produire au meilleur coût

Exemple d’application : support d’étagère (2) Hypothèses de base Connue La géométrie Analyse statique linéaire Le type d ’analyse CL en déplacement et charge ponctuelle Les liaisons Hypothèse des petits déplacement & petites déformations Le comportement du matériau

Flèche et la contrainte maximale trop élevées Exemple d’application : support d’étagère (3) Modèle poutre Pour F=10 kg Résultats : Flèche et la contrainte maximale trop élevées Analyse : Le modèle est mauvais ==> section variable

Exemple d’application : support d’étagère (4) Modèle 2D élasticité plane Solution analytique impossible ==> discrétisation

Exemple d’application : support d’étagère (5) Modèle 2D élasticité plane - Résultats 760 éléments 856 nœuds Analyse : Qualité du modèle : - maillage plus fin - validation des hypothèses

Exemple d’application : support d’étagère (6) Modèle 3D N ’apportera rien de plus que le modèle 2D pour des temps de calcul + long

Exemple d’application : écrase tube (1)

Exemple d’application : écrase tube (2) Modèle 2D élasticité plane : 342 éléments Zone non contrainte maillage largement suffisant Zone fortement chargée Maillage insuffisant trop de discontinuité de contrainte entre les éléments Nouveau maillage

Exemple d’application : écrase tube (3) Modèle 2D élasticité plane : 456 éléments Les discontinuités de contrainte entre les éléments restent trop importantes Éléments de degré 2

Raffiner dans les zones Exemple d’application : écrase tube (4) Modèle 2D élasticité plane : 245 éléments T6 Résultats meilleurs avec des éléments de degré 2 Le gradient de contrainte est trop important pour un seul élément Raffiner dans les zones à fort gradient

Exemple d’application : écrase tube (5) Modèle 2D élasticité plane : maillage optimisé Gradient de contrainte raisonnable sur chaque élément Continuité des contraintes entre les éléments Convergence du modèle numérique

Exemple d’application : écrase tube (6) Modèle volumique 3D : 6149 éléments Sans intérêt

Exemple d’application : comportement d’un palier en élastomère (1) Palier élastomère : assurer la liaison avec le véhicule : organe de filtration : assure le confort

Exemple d’application : comportement d’un palier en élastomère (2) Cas de charge 1 déplacement imposé Maillage : - 6245 éléments - 7967 nœuds Étude non linéaire : - gestion du contact avec frottement - matériau non linéaire - grands déplacements Cas de charge 2 torsion du tube de 15° Durée du calcul : 11,5 heures

Exemple d’application : comportement d’un palier en élastomère (3) Objectifs et résultats Analyse de la configuration réelle : - fermeture du palier - torsion du tube Tester différentes lois de comportement Valider le coefficient de frottement Évaluer les niveaux de pression

Exemple d’application : comportement d’un palier en élastomère (4) Résultats Admissibilité de la déformée d’ensemble Admissibilité des niveaux de pression

Exemple d’application : comportement d’un palier en élastomère (5) Raideur statique verticale Raideur statique transverse

Exemples Largage d’une capacité souple Dimensionnement d’un rouleau applicateur de peinture Stabilité d’un bâtiment industriel Écrasement d’un tube Emboutissage d’une tôle mince Tenue mécanique d’un assemblage riveté Analyse thermo-mécanique d’un disque de frein Stabilité mécanique d’une gamme de gondole

Largage d’une capacité souple - Etude matériau Cinématique d’ensemble Niveau de contraintes statiques Comportement à l’impact

un boîtier d’alimentation en Aluminium une poche en élastomère un système de sangles

Assemblage de l’ensemble

Etude statique

Etude dynamique

Dimensionnement d’un rouleau applicateur de peinture : Validation du concept bi-matériau : alu + plastique +

Stabilité d’un bâtiment industriel dans le temps : Évaluation du tassement loi de fluage des différentes strates de sol Estimation sur 50 ans

Écrasement d’un tube (application automobile) : tenue au choc Potentiel d’écrasement lors d’un choc Dissipation énergétique Utilisation comme élément fusible Paramètres de calcul : - modèle axisymétrique en dynamique rapide - multi-contact - grandes déformations - élasto-plasticité

Écrasement d’un tube (application automobile) : tenue au choc

Écrasement d’un tube (application automobile) : choix de la section - section circulaire

Écrasement d’un tube (application automobile) : choix de la section - section carrée

Écrasement d’un tube (application automobile) : sections déformées - section carrée

Écrasement d’un tube (application automobile) : sections déformées - section carrée

Écrasement d’un tube (application automobile) : conclusion Torsion de la section carrée Niveau de déformation plastique supérieur

Emboutissage d’une tôle mince : viabilité de l’épaisseur finale et des paramètres de formage

Tenue mécanique d’un assemblage riveté : évaluation du niveau de contraintes

Analyse thermo-mécanique d’un disque de frein : modèle prédictif

Stabilité mécanique d’une gamme de gondole : capacité de charge et effondrement Simple face Double face