V Positions respectives des courbes de deux fonctions 1°) Signification : Il s’agit de savoir pour quels x la courbe de la fonction f est au-dessus, ou croise, ou est en-dessous de la courbe de la fonction g. f g

VI Positions respectives des courbes de deux fonctions 1°) Signification : Il s’agit de savoir pour quels x la courbe de la fonction f est au-dessus, ou croise, ou est en-dessous de la courbe de la fonction g. Cf est en-dessous de Cg f Cf croise celle de Cg g Cf est au-dessus de Cg

VI Positions respectives des courbes de deux fonctions 1°) Signification : Il s’agit de savoir pour quels x la courbe de la fonction f est au-dessus, ou croise, ou est en-dessous de la courbe de la fonction g. Cf est en-dessous de Cg f(x) < g(x) f Cf croise celle de Cg f(x) = g(x) g Cf est au-dessus de Cg f(x) > g(x)

Exercice 9 : Soient les fonctions définies sur R par f(x) = x² + 4x – 5 et g(x) = - 2x² + 2x + 12 1°) Déterminez leurs courbes, et leurs intersections avec l’axe des abscisses. 2°) Déterminez leurs positions respectives. 3°) Déduisez-en leurs tracés.

1°) f(x) = x² + 4x – 5 f est une fonction polynôme degré 2 donc sa courbe est une parabole, orientée vers le haut car a > 0. Son axe de symétrie a pour équation x = - b/(2a) = - 4/(2(1)) = - 2 Son sommet a pour coordonnées ( - 2 ; f(- 2) ) = ( - 2 ; - 9 ) Δ = b² - 4ac = (4)² - 4(1)(-5) = 36 = 6² > 0 donc deux racines - b + √Δ - (4) + 6 - b - √Δ - 4 - 6 = = 1 et = = - 5 2a 2(1) 2a 2 donc la courbe de f croise l’axe des abscisses en deux points de coordonnées ( 1 ; 0 ) et ( – 5 ; 0 ).

1°) g(x) = - 2x² + 2x + 12 g est une fonction polynôme degré 2 donc sa courbe est une parabole, orientée vers le bas car a < 0. Son axe de symétrie a pour équation x = - b/(2a) = - 2/(2(-2)) = ½ Son sommet a pour coordonnées ( ½ ; f(½) ) = ( 0,5 ; 12,5 ) Δ = b² - 4ac = (2)² - 4(-2)(12) = 100 = 10² > 0 donc deux racines - b + √Δ - (2) + 10 - b - √Δ - 2 - 10 = = - 2 et = = 3 2a 2(-2) 2a - 4 donc la courbe de f croise l’axe des abscisses en deux points de coordonnées ( - 2 ; 0 ) et ( 3 ; 0 ).

2°) Positions respectives : La courbe de f croise celle de g f(x) = g(x) x² + 4x – 5 = - 2x² + 2x + 12 x² + 4x – 5 + 2x² - 2x - 12 = 0 3x² + 2x - 17 = 0 Δ = b² - 4ac = (2)² - 4(3)(-17) = 208 = (4√13)² Δ > 0 donc deux racines - b + √Δ - (2) + 4√13 - 1 + 2√13 - 1 - 2√13 x1 = = = ≈ 2,07… et x2 = ≈ - 2,73… 2a 2(3) 3 3 donc la courbe de f croise la courbe de g en deux points d’abscisses x1 et x2

2°) Positions respectives : La courbe de f est en-dessous de celle de g f(x) < g(x) x² + 4x – 5 < - 2x² + 2x + 12 x² + 4x – 5 + 2x² - 2x - 12 < 0 3x² + 2x - 17 < 0 Δ = b² - 4ac = (2)² - 4(3)(-17) = 208 = (4√13)² Δ > 0 donc deux racines - b + √Δ - (2) + 4√13 - 1 + 2√13 - 1 - 2√13 x1 = = = ≈ 2,07… et x2 = ≈ - 2,73… 2a 2(3) 3 3 Le polynôme est du signe de a = 3 > 0 à l’extérieur des racines, et on veut qu’il soit < 0 donc x doit être à l’intérieur des racines : x est dans ] x2 ; x1 [, donc la courbe de f est en-dessous de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] x2 ; x1 [.

2°) Positions respectives : La courbe de f est au-dessus de celle de g f(x) > g(x) x² + 4x – 5 > - 2x² + 2x + 12 x² + 4x – 5 + 2x² - 2x - 12 > 0 3x² + 2x - 17 > 0 Δ = b² - 4ac = (2)² - 4(3)(-17) = 208 = (4√13)² Δ > 0 donc deux racines - b + √Δ - (2) + 4√13 - 1 + 2√13 - 1 - 2√13 x1 = = = ≈ 2,07… et x2 = ≈ - 2,73… 2a 2(3) 3 3 Le polynôme est du signe de a = 3 > 0 à l’extérieur des racines, et on veut qu’il soit > 0 donc x doit être à l’extérieur des racines : x est dans ] - ∞ ; x2 [ U ] x1 ; + ∞ [. donc la courbe de f est au-dessus de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] - ∞ ; x2 [ U ] x1 ; + ∞ [.

Etude utilisant les similitudes des 3 cas : La courbe de f est en-dessous de celle de g f(x) < g(x) f(x) – g(x) < 0 x² + 4x – 5 – ( - 2x² + 2x + 12) < 0 x² + 4x – 5 + 2x² - 2x - 12 < 0 3x² + 2x - 17 < 0 Δ = b² - 4ac = (2)² - 4(3)(-17) = 208 = (4√13)² Δ > 0 donc deux racines - b + √Δ - (2) + 4√13 - 1 + 2√13 - 1 - 2√13 x1 = = = ≈ 2,07… et x2 = ≈ - 2,73… 2a 2(3) 3 3 donc la courbe de f croise la courbe de g en deux points d’abscisses x1 et x2 Le polynôme est du signe de a = 3 > 0 à l’extérieur des racines, donc la courbe de f est en-dessous de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] x2 ; x1 [, et elle est au-dessus de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] - ∞ ; x2 [ U ] x1 ; + ∞ [.

3°) Déduisez-en leurs tracés. f : sommet ( - 2 ; - 9 ) et points ( 1 ; 0 ) et ( – 5 ; 0 ). g : sommet ( 0,5 ; 12,5 ) et points ( 3 ; 0 ) et ( – 2 ; 0 ). la courbe de f croise la courbe de g en deux points d’abscisses x1 ≈ 2,07… et x2 ≈ - 2,73… la courbe de f est en-dessous de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] x2 ; x1 [, elle est au-dessus de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] - ∞ ; x2 [ U ] x1 ; + ∞ [. f - 5 - 2 1 - 9

3°) Déduisez-en leurs tracés. f : sommet ( - 2 ; - 9 ) et points ( 1 ; 0 ) et ( – 5 ; 0 ). g : sommet ( 0,5 ; 12,5 ) et points ( 3 ; 0 ) et ( – 2 ; 0 ). la courbe de f croise la courbe de g en deux points d’abscisses x1 ≈ 2,07… et x2 ≈ - 2,73… la courbe de f est en-dessous de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] x2 ; x1 [, elle est au-dessus de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] - ∞ ; x2 [ U ] x1 ; + ∞ [. f 12,5 - 5 ≈ - 2,73 - 2 0,5 1 ≈ 2,07 3 g - 9

3°) Déduisez-en leurs tracés. f : sommet ( - 2 ; - 9 ) et points ( 1 ; 0 ) et ( – 5 ; 0 ). g : sommet ( 0,5 ; 12,5 ) et points ( 3 ; 0 ) et ( – 2 ; 0 ). la courbe de f croise la courbe de g en deux points d’abscisses x1 ≈ 2,07… et x2 ≈ - 2,73… la courbe de f est en-dessous de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] x2 ; x1 [, elle est au-dessus de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] - ∞ ; x2 [ U ] x1 ; + ∞ [. f 12,5 - 5 ≈ - 2,73 - 2 0,5 1 ≈ 2,07 3 g - 9