L’opérateur de Dirac et l’algèbre de Clifford en analyse harmonique Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vol. 5, 2010, no. 17, 823 - 842 L’opérateur de Dirac et l’algèbre de Clifford en analyse harmonique Mohamed BEN AMMAR Institut Pr´eparatoire aux ´Etudes d’Ing´enieur de Nabeul El Mrazka 8000, Hammamet, Tunisie mohamed.benammar@ipein.rnu.tn Abstract We first obtain an extension of the local expression of the Dirac op- erator D with the help of the spinor representation and we determine spinor morphisms linked to D. Next we plan to obtain a decomposition of the algebra in n variables of polynomials with coefficients in the Clif-ford algebra and to deduce the decomposition of the algebra of harmonic spinor polynomials with respect to the Dirac operator. Finally, we plan to use the integral representation of the Dirac operator in the Clifford algebras of the euclidean spaces in order to calculate the kernel. Mathematics Subject Classification: 15A66 Keywords: Clifford Algebras, Dirac operators, spinorial morphisms Introduction Pour le b´en´efice de l’analyse harmonique, la simplicit´e de l’op´erateur de Dirac classique D offre des techniques de calcul dans l’algèbre de Clifford. L’op´erateur de Dirac est une g´en´eralisation de l’op´erateur de Cauchy–Riemann permet-tant d’obtenir une g´en´eralisation des fonctions holomorphes via les spineurs harmoniques. Dans cet article, nous ´etendons l’expression locale de D, grˆace a` la repr´e- sentation spinorielle de cette algèbre de Clifford. D’une part, nous nous int´eressons a` la d´etermination des transformations lin´eaires pr´eservant l’harmonicit´e spinorielle relativement a` l’op´erateur de Dirac, celles-ci formant le groupe conforme de l’espace quadratique euclidien. D’autre part, nous introduisons

824 M. BEN AMMAR l’algèbre des polynômes a` coefficients dans l’algèbre de Clifford de l’espace euclidien standard. Nous étudions le sous-espace des polynômes spineurs harmoniques liés a` D, puis nous obtenons la décomposition de l’espace des polynômes homogènes de degrék a` coefficients dans l’algèbre de Clifford (Théorème 3.2 et son corollaire). Ceci nous mène a` l’étude de la représentation intégrale de l’opérateur D et a` la détermination de son noyau K par le biais de la transfor-mation de Fourier sur l’espace euclidien standard généralisée naturellement a` l’algèbre de Clifford, ce qui permet de formuler le théorème de Cauchy a` l’aide de celle-ci. Puis nous déduisons une relation entre les spineurs harmoniques liés a` D et les harmoniques liés a` l’opérateur de Laplace (Théorème 2.3). 1 L’opérateur de Dirac et ses propriétés 1.1 Variétés spinorielles et fibrés spinoriels Soit (M, g) une variétériemannienne orientée de dimension m de fibrétan- gent π: TM —* M, et soit (Uα) un recouvrement de M qui trivialise le fibrétangent, avec la propriétéque les fonctions de transitions gαβ sont dans C∞(Uα fl Uβ, SO(m)). Soit a: Spin(m) —* SO(m), l’homomorphisme de revêtements a` deux feuillets : Si les (Uα) sont conven-ablement choisis, alors nous pouvons relever les fonctions de transitions gαβ aux fonctions gαβ : Uα fl Uβ —* Spin(m) telles que a(gαβ) = gαβ. Cependant, a` cause des obstructions topologiques on ne peut avoir ce relèvement que si les deux premières classes de Whitney w1(M) et w2(M) du fibrétangent TM sont nulles: w1(M) = 0 M est une variétéorientée, w2(M) = 0 des spineurs sont globalement définis sur M. Si nous réalisons ces deux conditions, on dit que M est une variétéspinorielle et nous obtenons un fibréspinoriel au-dessus de M dont la construction est la suivante. Soit CL(E, q) l’algèbre de Clifford d’un espace euclidien (E, q) de dimension m. La variétéM est naturellement munie du fibréen algèbres de Clifford CL(M) dont la fibre en un point x E M est l’algèbre de Clif-ford CL(TxM, gx) de l’espace tangent. Le fibréCL(M) contient des fibrés de groupe structural spin (M). La construction d’un fibréspinoriel S(M) associéa`

∇x(u · co) = (∇xu)co + u · (∇xco). L’opérateur de Dirac et l’algèbre de Clifford en analyse harmonique 825 CL(M) comporte des difficultés; voir [1, 5, 13, 17, 3]. On ne peut donc pas ma- nipuler de fa¸con satisfaisante les sous-fibrés d’idéaux a` gauche de CL(M). On se réfère alors a` la construction classique des fibrés associés au fibréprincipal S(E) de groupe structural Spin(E). Les sections C00 de CL(M) et S(M) sont les champs d’éléments de Clif-ford ou des spineurs sur M et elles forment les algèbres FCL(M) et FS(M) respectivement. Nous avons la dérivation covariante riemannienne 00 ∇ F T MØk −→ F T *(M) ⊗ T MØk , k=0 k=0 sur M, pour laquelle le tenseur métrique est parallèle, c’est-à-dire qu’il satisfait ∇g = 0. Donc ∇ passe au quotient et détermine une dérivation covariante des champs d’éléments de Clifford. Cette dérivation covariante satisfait bien entendu la règle de Leibniz: si X est un champ de vecteurs sur M, u ∈ FCL(M) et co ∈ FS(M), alors ∇x(u · co) = (∇xu)co + u · (∇xco). L’algèbre FCL(M) opère a` droite et a` gauche sur F T (M) ⊗ F CL(M) et si u, v ∈ FCL(M), nous avons ∇(uv) = (∇u) · v + u · ∇v. La connexion riemannienne sur le fibréprincipal P(M) des repères orientés et orthonormés détermine canoniquement par relèvement une connexion sur le fibréprincipal P(M) de groupe structural Spin(E) et par suite une dérivation covariante ∇ sur le fibrévectoriel associé S(M) = P(M) × Spin(E) S(E). Nous sommes maintenant en position de définir l’opérateur de Dirac D. Dénotons μ la multiplication de Clifford et utilisons la métrique riemannienne pour identifier TM et T*M. Nous avons les compositions ⎧ ⎨ ⎩ FCL(M) ∇−→ F T(M) ⊗ FCL(M) μ−→ FCL(M), FS(M) ∇−→ FT(M) ⊗ FS(M) μ−→ FS(M), définissant l’opérateur de Dirac D sur les sections de CL(M) et S(M).

Vτ : C∞(U,TU) x C∞(U, R) −→ C∞(U, R) 826 M. BEN AMMAR D´efinition 1.1. L’op´erateur de Dirac sur la varietespinorielle (M, g) est D = μ ◦ V. Localement, un champ de vecteurs X s’ecrit dans une base orthonormee X = Ei Xiei d’o`u ~VXu =i ~XiVeiu =ig(X, ei)Veiu et donc ~V =iei Vei. Localement, dans une base orthonormee, l’operateur de Dirac s’ecrit alors ~D =ieiVei, que ce soit dans ΓCL(M) ou dans ΓS(M) (voir [8, 11, 12, 17]). 1.2 Extension de l’op´erateur de Dirac sur l’espace eu-clidien On doit prendre en ligne de compte dans la definition de l’operateur de Dirac la representation de CL(TM) sur l’espace des spineurs. Nous donnons dans cette section une extension de la definition classique de D sur l’espace quadratique (E, q). Soit τ la representation du groupe Spin(E) dans le CL(E)-module R. Soit U un ouvert de E. La connexion riemannienne V sur (U, q) se prolonge en une connexion lineaire Vτ : C∞(U,TU) x C∞(U, R) −→ C∞(U, R) (X, F) −→ VτX(F). Decrivons en detail cette derivation covariante. Il existe des elements ω1, . . . , ωnde C∞(U, Spin(E)) uniquement determines par la metrique q pour lesquels Vτ∂ ∂xi ∂ (F) = (∂xi + dτ(ωi(x))) · F. Voir [8, 17]. Posons ~X =i ai(x) ∂ . ∂xi Comme pour toute derivation covariante, nous avons les proprietes suivantes:

Xqx(Y, Z) = qx(VXY, Z) + qx(Y, VXZ), L’opérateur de Dirac et l’algébre de Clifford en analyse harmonique 827 (i) VτX = i ai(x)Vτ∂ ∂xi ; VτuX+vY (F) = uVτX(F) + vVτY (F); VτX(uF) = (Xu)F + uVτX(F). Soit qjk(x) (resp.γij(x)) la matrice de la forme bilinéaire symétrique, non dégénérée, associée a` q−1 (resp. la matrice de la racine carrée de q−1) dans la base na i de TxU. Ici pour 1 < i < n, ux ei(x) = n j=1 qij(x) ∂ ∂xj satisfait a` la condition de Clifford ej(x)ek(x) + ek(x)ej(x) = −2qjk(x). Pour i = 1,..., n, posons Ei = n j=1 γ ij ∂xi ∂ . Par construction on a q(Ei, Ej) = δij. Définissons ωkij E C∞(U) par V ∂ (Ej(x)) = ∂xik ωk ij(x)Ek(x). Comme V est une connexion riemannienne, Vx E U, VX, Y, Z E C∞(U, T(U)), nous avons Xqx(Y, Z) = qx(VXY, Z) + qx(Y, VXZ), d’o`u ωk ij(x) + ωj ik(x) = qx(V ∂Ek)+qx(Ej, a Ek) = 0. ∂xi axi Ainsi, pour i = 1,..., n, les matrices (ωkij)j,k sont antisymétriques. Les fonc-tions ωi correspondentes sur U a` valeurs dans Spin(E) sont définies par 1 ωi(x) = 2 j<k ω (X) e 3.ek = 4 ij j,k ωk ij(x) ejek. Lemme 1.1. L’op´erateur de Dirac D sur C∞(U, R) est d´efini localement sur (U, q) pour x E U par D= n i=1 ~ ei(x) „∂ + dτ(ωi(x)) = ei(x) Vτ axi ∂xi i=1

828 M. BEN AMMAR Proof. On a que D s’ecrit ~D =i ~Ei∇Ei =i ∂1∂ ei(x) (∂xi + 4 Eωkij(x)dτ(ejek)) = ei(x)[∂xi + dτ(ωi(x))1 . j,ki C’est la raison pour laquelle D prend cette forme particuli`ere; voir [9, 13, 14, 15]. Posons ~vkij(x) =lγ il(x)ωklj(x). Proposition 1.1. Nous avons ∇EiEj = ~ k vijEk. De plus, la fonction 1 ~vi(x) = 2 j<k ~vkij(x) ejek = 14 j,k vk(x) ejek ij est une fonction de classe C∞ sur U a` valeurs dans Spin(E), Enfin l’op´erateur de Dirac D sur C∞(U, R) est d´efini localement par ~D =i,j γ ij(x)ej∇τ∂ ∂xi ~= ei∇τEi.i Plus pr´ecis´ement, pour ωi(x) et vi(x) donn´es par la relation ci-dessus, nous avons ~D =i,j ~ ∂ ~ ~ γ ij(x)ej ∂xi + dτ(ωj(x)) = eiEi(x) + dτ(vi(x)).i Proof. Il suffit tout d’abord de suivre la definition des Ei et on a ~∇EiEj =l γ il∇ ∂ ∂xl ~ Ej = k,l γ ilωkljEk, d’o`u le resultat. Comme (Ej(x)) est une base orthonormee de TxU, cela im- plique vkij(x) + vjik(x) = 0 et donc vi ∈ C∞(U, Spin(E)). Th´eor`eme 1.1. (1) L’op´erateur de Dirac D est elliptique et auto-adjoint, c’est-`a-dire (DF(x), G(x))H d x = (F(x), DG(x))H d x U U pour tout F, G ∈ C∞(U, H) a` support compact. (2) Nous avons [∇τEj∇τEi − vkjj∇ Ek +E EiEj [∇τEi∇τEj − ∇τEj∇τEi − ∇τ[Ei,Ej] ] .k i<j ~D2 = − j

(vkij(x) − vkji(x))Ek = VEiEj − VEjEi = [Ei, Ej]. L’opérateur de Dirac et l’algébre de Clifford en analyse harmonique 829 Proof. Voir [6, 10, 11, 12]. Le symbole principal de D2 est le mˆeme que l’operateur elliptique E j,k qjk ∂2 ∂xj∂xk . Alors D doit ˆetre elliptique. La proprietede l’auto-adjonction est une simple consequence du theorème de Stokes : ED2 =i,j EiVτEiEjVτEj E =i,j EEiEjVτEiVτEj +i,j Ei (VEiEj) VτEj. E =i,j EEiEjVτEiVτEj + i,k [E 1 EiEk vk ij(x)Vτ Ejj E =i,j EEiEjVτEiVτEj +i,j [E 1 EiEj vj ik(x)Vτ Ekk E =i,j EiEj (VτEiVτEj − (E vlici(x)VτEk)) .k Nous avons utilisele fait que vkij(x) = −vjik(x). On peut maintenant separer la somme Ei,j de la dernière ligne dans le calcul de D2 en deux morceaux, un pour i = j et l’autre pour i = j. Dans le premier cas, on obtient E i<j EiEj VT VT — VT jVT — [ (E(y (x) − vk (x))VE3 )1 . i Ej E i zj zj k De plus, (vkij(x) − vkji(x))Ek = VEiEj − VEjEi = [Ei, Ej]. Par suite, on a E(vkij(x) − vkji(x))VτEk = Vτ[Ei,Ej]. k D’o`u la formule pour D2. 2 Les morphismes spinoriels dans l’alg`ebre de Clifford des espaces euclidiens Nous voulons demontrer le resultat suivant.

Ef = fαeα et D = α En i=1 ∂fα ∂(f o 0)α ∂xi E f λ si j = 830 M. BEN AMMAR Th´eor`eme 2.1. Soit (IIBn, q) muni de la forme quadratique q, o`u {e1, . . . , en} forme une base de IIBn v´erifiant q(ei) = 1 pour i = 1, . . . , n. Alors les ho-moth´eties, les translations, les sym´etries, et les rotations de IIBn conservent l’harmonicit´e spinorielle relativement a` l’op´erateur de Dirac D, dans l’alg`ebre de Clifford. Ce sont des morphismes spinoriels. Proof. Les eα = eα,eα2 . . . eαp pour 1 < α1 < α2 < · · · < αp < n forment une base de l’alg`ebre de Clifford CL(IIBn, q). Soit f un champ de Clifford de classe Ck, k > 1, tel que Df = 0. Soit Ef = fαeα et D = α En i=1 ∂ ei ∂xi. Soit 0 : IIBn → IIBn un morphisme spinoriel. Si f est un spineur harmonique dans l’espace d’arriv´ee, alors 0*f est un spineur harmonique relativement a` D dans l’espace de d´epart. On suppose que 0 est de classe Ck, o`u k > 1. Soit 0(x1, x2, . ..,xn) = (01(x1, x2, ..., xn),..., 0n(x1,..., xn)). Alors (f o 0)α(x1, x2, ..., xn)=fα(01(x1,...,xn), ...,0n(x1, x2, ... ,xn)), et ∂(f o 0)α ∂xi = j=1 ∂fα ∂yj (01, 02,...,0n)∂0j ∂xi (x1, x2, ... ,xn). Donc E D(f o 0)(x1, . . . , xn) = αE[[1,2n]] 1<j<n 1<i<n ∂0j ∂yi∂fα (01, 02,...,0n) ∂xi (x1, x2,..., xn)eieα. (i) Soit 0 = l’homoth´etie de rapport λ. Alors 0(x1, x2, ...,xn) =λ(x1, x2, ... ,xn) = (λx1, λx2,...,λxn), et 0j(x1, x2, ... ,xn) = λxj. Donc ∂0j= Oxj A . ∂xi ∂e f λ si j = 1 i, 0 si j = i.

E E E D’o`u ∂fα et nous avons le r´esultat. L’opérateur de Dirac et l’alg`ebre de Clifford en analyse harmonique 831 D’o`u E D(f 0 Φ)(x1, . . . , xn) = λ ∂fα ∂yj (λx1,..., λxn)δijeieα = λ Df = 0, α,i,j et nous avons le r´esultat. ((ii) Soit Φ est la translation de 118n du vecteur a = Φj(x1, x2, ... ,xn) = xj + aj. De plus, a1 . an Alors ⎞ ⎠⎟ ∂Φj 1 2 ∂x j { 1 si j = ∂xi (x , x , . . . , xn) = ∂xi = i, 0 si j et E D(f 0 Φ) = α,i,j ∂fα ∂yj (a1 + x1, . . . , an + xn)δj i eieα. Enfin, E α,i ∂fα(a1 x1, , an + xn)eieα = Df = 0. ∂yi (iii) Soit g E O(n). On sait que g s’´ecrit comme produit de sym´etries orthogonales : g = σa1σa2 ...σak o`u σak change le vecteur r´egulier aj en −aj. De plus, Vx E 118n, σa (x) = x − 2(x|aj) j q(aj) aj, avec (x|aj) le produit scalaire associ´e a` q; voir [5]. Or on peut ´ecrire cette ´equation a` l’aide de la multiplication de CL(118n, q) puisque −2(x|aj) = ajx + xaj et que − aj q(aj)= a−1 j , ce qui donne σaj(x) = x − (ajx + xaj)a−1 j = −ajxa−1 j . Donc g peut ˆetre repr´esent´e dans CL(118n, q) par l’application g(x) = (−1)k(a1a2 · · · ak)x(a1a2 · · · ak)−1, qui s’´etend de fa¸con naturelle a` l’alg`ebre de Clifford, surtout lorsque g E SO(n). En pr´esence d’un nombre pair de σaj, nous avons g(eα) = (a1a2...a2k)eα(a1a2 . . . a2k )−1

Eτf =α fα(x1, x2, . . . , xn)(−1)|α|(|α|−1) 2 eα, 832 M. BEN AMMAR Pour g ∈ O(n) \ SO(n), geα = −(a1a2 . . . a2k+1)eα(a1a2...a2k+1)−1. En travaillant comme plus tˆot, on a D(f ◦ Φ) = (Df) ◦ Φ = 0; voir [7]. Remarque. Le th´eor`eme 2.1 n’est pas nouveau. Il r´esulte simplement du fait que D est d´efini en utilisant la m´etrique. Pour l’homoth´etie, c’est la formule de changement conforme qui est utilis´ee. Th´eor`eme 2.2. L’anti-involution principale τ de CL(Rn,q) op`ere sur les champs de Clifford. De plus, les propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees: τ commute avec la restriction D+ de D sur CL+(Rn, q), la sous-alg`ebre paire de CL(Rn, q); τ commute avec tout op´erateur diff´erentiel de type X = ai ∂xi , ai ∈ ∂ n i=1 R; (iii) D est invariant par la repr´esentation σ du groupe spinoriel Spin(n), a` savoir σ(a) · x = axτ(a) pour tout x ∈ Rn. Proof. (i) Soit f un champ de Clifford sur Rn. Alors f(x1, x2, . . . , xn) = E fα(x1, x2, ...,xn)eα. α Puisque Eτf =α fα(x1, x2, . . . , xn)(−1)|α|(|α|−1) 2 eα, on a EτD+f = α,i ∂fα (−1)(|α|+21)|α| eα ∂xi et ED+τf = α,i ∂fα ∂xi (−1)|α|(|α|−1) 2 eα. De plus, lorsque|α|est pair, |α|(|α| − 1) 2 _|α|(|α| + 1) 2 (mod 2). Par suite D+τ = τD+. (ii) Il suffit de montrer que τ ∂f = ∂xi ∂ (τf). Comme ( = E ∂fα lα|(|α|−1) ∂xi . 1) 2 eα et ∂ afa .1(11−1) . f) = E .(-1) 2 ea, \Oxi ∂xz ∂xi ∂xi α α

Proof. Vu l’intime relation entre D et Δ, a` savoir D2 = Δ, on a L’opérateur de Dirac et l’alg`ebre de Clifford en analyse harmonique 833 nous avons τX = Xτ. (iii) Si a ∈ Spin(n), alors a · τ(a) = 1CL(Rn,q) et a = a1a2...a2k avec q(ai) = +1, de sorte que nous avons σ(a)D = D car σ(a)ej = aejτ(a) = ej. Th´eor`eme 2.3. Si f(x) = fα(x)eαα est une solution de Df = 0 dans C∞(U,CL(118n, q)), o`u U est un ouvert de 118n, et o`u chaque fα est une fonction numérique sur U, alors Δfα = 0. Réciproquement, si ϕ est une champs de Clifford harmonique relativement au Laplacien Δ et f = Dϕ = n i=1 ei ∂ϕ ∂xi , alors Df = D2ϕ = Δϕ = 0. Proof. Vu l’intime relation entre D et Δ, a` savoir D2 = Δ, on a D2f = (Δfα)eα = 0.α Or les eα sont linerairement independants. Par suite, pour tout α, Δfα = 0. Exemple 2.1. On sait que ϕn(x) = q(x) −(n−2) 2 =11x~−(n−2) est harmonique. Alors pour n > 2, Φn(x) = Dϕn(x) = x 11x1In avec x = 0wn, est ' un spineur harmonique relativement a` D. Ici DΦn(x) = 1≤i,j≤n ~ xj ~ ∂ eiej ∂xi ~x~n = n i=1 11x112 − n(xi)2 2 ei 11x1In+2 xixj(eiej + ejei) = O. 11x1In+2 1≤i,j≤n On a utilisela fait que eiej + ejei = 0 pour i = j.

~ −∂ ~ u ~ ~−∂u ~ ~ ⎛ ⎞ (−a b ⎠b a ⎛ ~ ∂b 834 M. BEN AMMAR Exemple 2.2. Prenons E = (R2, q) avec q(x) = −(x1)2 − (x2)2 et con-sid´erons l’alg`ebre de Clifford CL(R2, q) ≡ M2(R). L’espace des spineurs est S(R2) = R2 sur lequel CL(R2, q) agit via (−1 0) (0 1 e1 = et e2 = . 0 1 1 0 De plus, 0 −1~ e1e2 = 1 0 s’identifie `a i = V−1 et D = e1 ∂x1∂ + e2 ∂ ∂x2 op`ere sur un champ des spineurs S de composantes u et v via DS = = ~ −∂ ~ u ~ ~−∂u ~ ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂ ∂ v ∂x2 + ∂v ∂ ∂x1 + ∂v ∂u . L’op´erateur D est donc l’op´erateur de Cauchy–Riemann et les spineurs harmoniques (D S = 0) sont les fonctions analytiques u + iv. Alors S = u+ iv est analytique si et seulement si u = ∂Φ ∂x2 et v = ∂x1∂Φ de sorte que Φ fonction harmonique relativement au Laplacien Δ = ∂2∂x2 + ∂2 ∂y2 . ~ Exemple 2.3. Φ(x, y) = Log x2 + y2 est harmonique relativement a` Δ et x y S(x, y) = x2 + y2 e1 + x2 + y2 e2 est un spineur harmonique relativement a` D. Ici D op`ere sur un champ de vecteurs X = ae1 + be2 via ⎛ DX =⎝ ⎞ (−a b ⎠b a ⎛ ~ ∂b ∂a ∂x + ∂b ∂y − ∂x − ∂a ∂y =⎝ ∂ ∂a∂ b +∂ x y x⎞ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂ ∂ ∂y ∂x = (div X)I2 + (rot X)e1e2. De plus, ⎠ DX = 0CL(In) -i- [div X = 0 et rot X = 0] .

J2 = (−1)n(n−1)/2q(e1)q(e2) ...q(en) = −1, L’opérateur de Dirac et l’algébre de Clifford en analyse harmonique 835 3 L’espace des polynˆomes a` coefficients dans l’alg`ebre de Clifford On d´efinit sur l’espace vectoriel CL(118n) une forme quadratique extension de celle de 118n : pour tout u ∈ CL(118n), q(u) = 2−n Tr[l(u)l(u)τ] = 2−n Tr[l(u)τl(u)], o`u l(u) est la translation a` gauche par u et la tranpos´ee est effectu´ee dans la base eα de CL(118n). Les eα forment une base orthonorm´ee de CL(118n) et q est euclidienne. Nous notons par (.|.)CL(In) le produit scalaire sur CL(118n) associ´e a` q. Construisons l’alg`ebre P des polynˆomes en n variables a` coefficients dans l’alg`ebre de Clifford CL(118n) : pour i = 1,..., n, P = CL(118n)[x1, x2, x3,..., xn] ⊃ 118[x1, x2, x3,..., xn] ⊃...⊃ 118[xi]. Soit p(x) = ~ aαxα ∈ P avec α aα ∈ CL(118n), x = (x1, x2, x3, . . . , xn) et xα = xα1 1 xα2 2...xαn n . Pour α = (α1, α2,..., αn) ∈ Nn, nous avons |α| = α1 + α2 + · · · + αn. De plus, α! = α1!α2! ... αn!, ~ ∂ ~ ~ ∂ ~α n ~ ∂ ~αi ∂ = et = . ∂x1 , ∂x2 ∂ , . . . , ∂ ∂x ∂xn ∂x ∂xi i=1 Le produit et l’addition de deux polynˆomes de P sont d´efinis de fa¸con naturelle, grˆace a` la structure alg´ebrique de CL(118n). Le centre Zp de P est l’alg`ebre des polynˆomes en n variables a` coefficients dans ZCL(In), le centre de l’alg`ebre de Clifford CL(118n) qui d´epend de la parit´e de n : Si n est pair, CL(118n) est une alg`ebre centrale simple : ZCL(In) = 118CL(In) et par suite le centre de P est isomorphe a` 118[x1, x2, ... , xn]; voir [2, 4, 5]. Si n est impair, le centre de CL(118n) est de dimension 2 sur 118 : ZCL(In) = 118CL(In)!118J avec J = e1e2 ... en qui est isomorphe a` C lorsque J2 = (−1)n(n−1)/2q(e1)q(e2) ...q(en) = −1, c’est-`a-dire lorsque n≡3 (mod 4), de sorte que le centre de P est iso- morphe a` C[x1, x2, . . . , xn].

(p|r)P = (aα|bα)CL(In). 836 M. BEN AMMAR D´efinissons un produit scalaire euclidien sur P, d´etermin´e a` partir de celui de CL(Rn), en posant pour p, r E P, (p|r)P = (aα|bα)CL(In). α Le groupe de Clifford Γ(Rn, q) de l’espace quadratique (Rn, q) est le groupe que forment (via la multiplication) les ´el´ements de l’algèbre de Clifford CL(Rn) qui sont produits de vecteurs non-isotropes de Rn. Une repr´esentation naturelle σ du groupe de Clifford Γ(Rn, q) sur P est d´efinie, pour p E P et g E Γ(Rn, q), par σ(g)p(x) = p(gxτ(g)). Enfin, d´esignons par Pk l’espace des polynômes homogènes de degr´e k a` coef- ficients dans CL(Rn). Lemme 3.1. Pk est un sous-espace invariant par la repr´esentation σ. Proof. Alors pour g E Γ(Rn, q), avec g = a1 a2 . . . am o`u q(ai) = 0 pour tout i, et pour tout x E Rn, nous avons σ(g)x = gxτ(g) = (a1a2 . . . am)xτ(a1a2 . . . am) = (a1a2 . . . am)x(am . . . a1). Cette action est lin´eaire en x, donc pr´eserve le degr´e du polynôme. On en d´eduit que Pk est un sous-espace de P invariant par σ. Lemme 3.2. Pour tout p E Pk, Dp E Pk−1. Lemme 3.3. La restriction de la repr´esentation σ aux sous-groupes Pin(Rn, q) = {g E Γ(Rn, q)|gτg = 1} du groupe de Clifford (en particulier du groupe spin(Rn, q)) est unitaire. C’est-`a- dire que soit p, r E P et g E Pin(Rn, q) o`u g = a1, a2 . . . am, alors (σ(g)p|σ(g)r)P = (p|r)P. Nous remarquons que suivant la parit´e de m, l’espace Hk des polynômes homogènes de degr´e k, en m variables, a` coefficients dans R, ou C, harmoniques relativement au Laplacien Δ, est inclus dans le centre ZP. Si f est un champ de Clifford d´efini sur un ouvert U de Rn dont les composantes fα, sont des ´el´ements de Hk, alors Df est un spineur harmonique relativement a` D.

0 CL(118n) πk[x1, . . . , xn] ⎧ ⎨ ⎩ ( .v1α!eI 0 xα) L’opérateur de Dirac et l’alg`ebre de Clifford en analyse harmonique 837 Th´eor`eme 3.1. Les propri´et´es suivantes sont vraies : D(Hk) c KerD. D(Hk) est un sous-espace invariant par repr´esentation σ du groupe de Clifford Γ(118n, q). Pk est isomorphe a` 0 CL(118n) πk[x1, . . . , xn] o`u πk[x1, x2, . . . , xn] est l’espace des polynˆomes homog`enes a` coefficients dans 118, de degr´e k, a` n variables. On ´etend l’involution π et l’anti-involution principale τ de CL(118n) a` l’alg`ebre P. Elles conservent l’homog´en´eit´e des polynˆomes. Proof. Les trois premiers enonces sont triviaux. Il suffit de demontrer (iv). On note par le même symbole les extensions des involutions et des anti-involutions principales π, τ et v = π o τ = τ o π de CL(118n) a` l’alg`ebre des polynˆomes CL(118n)[x1, x2, . . . , xn] : pour p(x) = E |α|=k aαxα avec aα E CL(118n), en partic- ulier, aα E CLk(118n) et ⎧ ⎨ ⎩ π(p)(x) = E π(aα)xα = Eα α τ(p)(x) = E τ(aα)xα = Eα α (−1)|α|aαxα, (−1)12 |α|(|α|+1)xα. Les autres proprietes de π, τ, v se deduisent facilement. Corollaire 3.1. En tant qu’espace vectoriel sur 118, Pk admet une base orthonorm´ee ( .v1α!eI 0 xα) I,|α|=k o`u I E {(i1, ... , ip) E {1, ... , n}p : i1 < i2 < · · · < ip} et α = (α1, ... , αn) E Nn avec |α| = k. Proof. Le produit scalaire sur P est en fait le produit des deux produits scalaires des deux espaces 118[x1, .. . , xn] et CL(118n) : pour aα, bα E CL(118n), p, q E CL(118n)[x1, ... , xn], ∂ (p, q) = p (∂x) (q)(x)|x=0 et (aα | bβ)CL(In) = 2−n−1Tr[l(aα)l(bα)τ+l(bα)l(aα)τ)].

= x(−(2 + n)f − D(xf) − 2E xi∂f. 838 M. BEN AMMAR Lemme 3.4. Soit f un champ de Clifford défini sur U ouvert de 118n a` valeurs dans CL(118n) de classe C1, positivement homogène de degrék. Alors pour tout x E 118n, ~ D(xf) = −nf − xDf − 2 xi ∂f ∂xi. i Proof. Soit ~f(x) =α ~fα(x)eα, xf(x) = j,α ∂ ∂fα xjfα(x)ejeα, i fα+xj j (xjfα) = δ . ∂ ∂ xi xi Alors nous avons ~ D(xf) = ~ ~ i ei ∂ j,α xjfα(x)ejeα = ∂xi i,j,α eiej ∂(xjfα(x)) eα ∂xi ~= i,j,α ~ eiej ~δj ~ i fα + xj ∂fα )eα = e2 eiejxj ∂fα i fαeα + eα ∂xi ∂xi i,α i,j,α ~= −nf + i,j,α ~ ∂xi eα = −nf − xDf − 2 ∂xi .i (−ejei − 2δj i )xj ∂fα xi ∂f Lemme 3.5. L’application ψ de Pk dans lui-même via f → D(xf) est un automorphisme linéaire qui applique en eux-mêmes x Pk−1 et l’espace ˜Hk = ker D des polynˆomes spineurs harmoniques relativement a` D. Proof. Prenons tout d’abord un ´el´ement xf E x Pk−1. On a alors ψ(xf) = D(x2f) = −nxf − xD(xf) − 2E i xi ∂(xf) = −nxf − xD(xf) − 2xf − 2E xix ∂f ∂xi = −(2 + n)xf − xD(xf) − 2xE i xi ∂f ∂xi = x(−(2 + n)f − D(xf) − 2E xi∂f. ∂xi Prenons maintenant un ´el´ement f E ˜Hk. On a alors D(ψ(f)) = D(D(xf)) = D(−nf − xDf − 2 Ei xi ∂f) ∂xi ~ ~ = −2 ~i D xi∂f= −2Df − 2 ~i xiD( ∂f ∂xi ) = 0. Th´eor`eme 3.2. Le sous-espace vectoriel xPk−1 et le sous-espace ˜Hk = KerD des polynˆomes spineurs harmoniques, relativement a` l’opérateur de Dirac D, sont appliqués en eux-mêmes par les opérations du groupe Spin(n) via la représentation σ.

1 σD(x,ξ)ei(ξ,x−y)dξ u(y)dy. L’opérateur de Dirac et l’algébre de Clifford en analyse harmonique 839 4 Repr´esentation int´egrale de l’op´erateur de Dirac classique Nous voulons resoudre l’equation Du(x) = # K(x, y)u(y)dy, o`u D est l’operateur Ω de Dirac classique qui, dans l’espace euclidien (118n, q), a pour expression : o`u D= ~n i=1 ei ∂ ∂x i ~= |α|=1 ~ ∂ ~α eα , ∂x ~∂ ∂ \ α1α2~∂yn ∂x)α ( ∂x1 ) ∂x2 ) . . . ∂xn avec α = (α1, α2,..., αn) et |α| = α1 +α2 +· · ·+αn. Voir [1, 6]. Ce travail se fait sur l’espace des champs continˆument differentiables d´efinis sur un produit C2 =$nj=1 C2• d’ouverts de 118 qui sont a` valeurs dans un module de l’algebre de 3 Clifford CL(118n) et qui sont a` support compact. Le probleme revient a` determiner le noyau KD de l’operateur D de Dirac. Nous utilisons comme moyen de calcul la transformation de Fourier sur 118n qui peut ˆetre generalisee sur l’algebre de Clifford et par consequent sur l’espace des spineurs puisque la transformation de Fourier de chaque composante existe pour un tel champ de vecteurs. Le symbole principal de D pour x E C2 etξE 118n est σD(x, ξ) = i ~ eα(ξ)α. |α|=1 Alors on a σD(x, ξ) = iξ. Voir [1, 6]. Vu l’intime relation entre le Laplacien Δ et D (Δ = D2), on a σΔ(x, ξ) = −ξ2 = q(ξ) · IdCL(Rn) (egalitedans l’algebre de Clifford), o`u Id est l’application identite. Alors Du(x) = ~n σ(x, ξ)ˆu(ξ)ei(x,ξ)dξ = Ω ⎡ ⎣ 1 (2π)n 1 σD(x,ξ)ei(ξ,x−y)dξ u(y)dy. On pose 1 KD(x, y) = pgn (2π)n σD(x, ξ)ei(x−y,ξ>dξ = 1 (2π)n f Rn ξei(x−y,ξ>dξ = ~n j=1 ~ 1 (2π)n ~~ej . ξjei(x−y,ξ>dξ

ξje−i(yj−xj)ξjdξj ⎠ ej 840 M. BEN AMMAR Pour x = (x1, x2,..., xn) E Rn, on pose xj = (x1, ..., )xj,..., xn). On a n KD(x, y) = j=1 ⎛ ⎜⎝ 1 (2π)n−1 Inj ⎞ ⎟ e−i~yj−xj,ξj~dξ ⎠ 2π Ij ξje−i(yj−xj)ξjdξj ⎠ ej = ~n j=1 * IdIj(yj− xj)IInj(yj − xj)ej * avec IdIj etIInj les transform´ees de Fourier de la fonction identit´e IdIj sur la j-i`eme copie Rj et de la fonction unit´e IInj de Rnj. Alors, on obtient pour x, y E C2 une formule (voir [16]), a` savoir KD(x,y) = n j=1 IdIj(xj − yj) · * IInj(xj − yj)ej. D’autre part, pour tout x, y E C2 le noyau de l’op´erateur de Laplace clas- sique Δ est KΔ(x,y) = 1 (2π)n In σΔ(x, ξ)ei~x−y,ξ>dξ = 1 (2π)n In q(ξ)ei(x−y,°dξ = (21)n I Δy ei~x−y,ξ~dξ = Δy [(2π1)n ei(x−y,°dξ = Δy [I-;(x y)] . In Maitenant, on peut formuler le th´eor`eme de Cauchy a` l’aide des alg`ebres de Clifford puisque les relations de Dϕ = 0 g´en´eralisent les fonctions holomorphes. Th´eor`eme 4.1 (Formule int´egrale de Cauchy). Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert simplement connexe C2 de R2 et γ une courbe sim-ple fermée de classe C1, continue a` l’intérieur de C2 et a un point a` l’intérieur de γ. Si Df = 0, alors 2πe1e2f(a) =γ f(z) z − a dz.

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