IV- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME: MCU - La trajectoire du point du solide est un cercle (a n =V 2 /R= R. 2 = R. 2 ) -Son accélération angulaire est nulle ( =0) donc sa vitesse angulaire est constante au cours du temps ( = constante) Définition : CONDITIONS INITIALESCONDITIONS PARTICULIERES t 0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement 0 : la position angulaire initiale : la position angulaire à linstant t = = constante : la vitesse angulaire = = 0 rd/s 2 : l accélération angulaire 2.2 Conditions aux limites du mouvement :

Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer et 0 par les valeurs trouvées Équations du mouvement ou horaires: = 0 = constante = 0.t Graphes du mouvement: Graphe des accélérations angulaires Graphe des vitesses angulaires Graphe des abscisses angulaires = 2. N / 60 Formule utile : Vitesse en rd/s Vitesse en tours/mn

V- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE : (M.C.U.V.) - La trajectoire du point du solide est un cercle (a n =V 2 /R= R. 2 = R. 2 ) - L accélération totale du point est a= (a n 2 + a t 2 ) 1/2 avec a t =R. =R. - Laccélération angulaire du solide est constante ( =constante) Définition CONDITIONS INITIALESCONDITIONS PARTICULIERES t 0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement 0 : la position angulaire initiale : la position angulaire à linstant t = 0 : la vitesse angulaire initiale = : la vitesse angulaire à linstant t = = constante : l accélération angulaire 2.2 Conditions aux limites du mouvement :

Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer, 0 et 0 par les valeurs trouvées Équations du mouvement ou horaires: = constante =.t + 0 = ½..t t + 0 = 2 – 0 2 / [2( – 0 )] Formule utile : 2.4. Graphes du mouvement: Graphe des accélérations angulaires Graphe des vitesses angulaires Graphe des abscisses angulaires

Relation entre labscisse curviligne s et labscisse angulaire : s = R. (m) = (m). (rd) Exemple du périmètre du cercle : P = R. 2

Relation entre la vitesse linéaire V et la vitesse angulaire = : v = R. R. (m/s) = (m). (rd/s) Daprès Thalès : =V N /ON = V P /OP = V M /OM

Relation entre laccélération linéaire a et laccélération angulaire = : a t = R. = R. (m/s 2 ) = (m). (rd/s 2 ) a n = R. 2 = R. 2 (m/s 2 ) = (m). (rd/s) 2 Daprès Pythagore : a = ( a t 2 + a n 2 ) 1/2 a

V M = 0.06m. (2.3000/60)rd/s V M = 18,84 m/s formule littérale : Exercice 1: touret à meuler 1.1/ Calculez la vitesse de déplacement d'un point M situé à la périphérie de la meule. Sa vitesse de rotation est de 3000 tr/mn. V M = R. = R. 2.N/60 Application numérique :

1.2/ Calculez l'accélération de ce même point. formule littérale : Exercice 1: touret à meuler a M = 18,84 2 / 0,06 a M = m/s 2 Application numérique : a M = (a t 2 + a n 2 ) 1/2 = a n =V 2 /R

Lextrémité de lhélice dun avion ne doit pas dépasser la vitesse de 340m/s afin déviter sa détérioration 2.1/ Tracer la trajectoire des points A et E appartenant à l'hélice 1 par rapport à l'avion 0. On donne OE=1,2m et OA=0,6m. T A,1/0 : cercle (O,OA) T E,1/0 : cercle (O,OE) Exercice 2: hélice davion (trajectoires)

Données : OE=1,20 m 1/0 = 340 (m/s) / 1.2 (m) = 283 rd/s V A,1/0 = 170 m/s V E,1/0 V A,1/0 Exercice 2: hélice davion (vitesses) Échelle des vitesses : 1 cm => 100m/s 2.3/ Tracer V E,1/0. En déduire graphiquement V A,1/0. 2.2/ Calculer la vitesse de lhélice si V E,1/0 =340m/s. formule littérale : V E,1/0 = R. = OE. 1/0 => 1/0 = V E,1/0 / OE A.N.:

2.4/ Calculer l'accélération du point E appartenant à l'hélice 1 dans son mouvement par rapport à l'avion 0, notée a (E,1/0). Sa vitesse critique de 340m/s est constante. a E,1/0 = (a t 2 + a n 2 ) 1/2 = a n =V 2 /R Exercice 2: hélice davion (accélération) a E,1/0 a E,1/0 = / 1,2 = m/s 2 formule littérale : A.N.:

La vitesse de cette hélice est de 283 rd/s. Lorsque le moteur est coupé, l'hélice tourne encore pendant 3 secondes jusqu'à l'arrêt. 2.5/ Calculer le nombre de tours effectués pendant ces 3s. Pour cela, écrire les équations horaires (t), (t) et (t). Exercice 2: Arrêt de lhélice davion

Lhélice sarrête => MCUV CICF t=0st=3s 0 =0rd = 0 =283rd/s =0rd/s = =.t + 0 = = - 94 rd/s 2 = - 94.t rd/s = - 47.t t rd Calcul du nombre de tours n : n = 426/2 =68 trs 426 rd Réponses : Équations du mouvement : = - 94 rd/s rd/s 2 Résolution : = 426 rd = ½..t t + 0 = [ ]

Lorsque le moteur entraînant l'hélice est arrêté, l'hélice tourne encore pendant 3 secondes jusqu'à l'arrêt. 2.6/ Calculer a (E,1/0) à l'instant t = 2s. Exercice 2: arrêt de lhélice davion

a E,1/0 = (a n 2 + a t 2 ) 1/2 Donc a E1/0 = [ (-113) 2 ] 1/2 a E1/0 = m/s 2 Calcul de à t=2s : * a n = R. 2 * a t = R. => a n = R. 2 = 1, = m/s 2 => a t = 1, = -113 m/s 2 = - 94 = - 94.t = - 47.t t Équations horaires: 0<t<3s Réponses : = = 95 rd/s formule littérale : Application numérique :

Étude du démarrage à vide : 3.1/ Déterminer les équations du mouvement et le nombre de tours effectués par larbre 2 pendant le démarrage. Exercice 3 : transmission Soit la chaîne cinématique dune transmission de puissance. Le moteur atteint sa vitesse de régime 3000 tr/min en 2s. Le rapport de réduction des roues dentées 3 et 4 est de 1/4.

CICF t=0st=2s 0 =0rd = 0 =0rd/s = = MCUV = = = 12,5 rd/s 2 = = 12,5.t rd/s = 6,25.t 2 rd Calcul du nombre de tours à t=2s : Calcul de la vitesse de larbre 2 : r = Ns/Ne => Ns = r. Ne Ns. = (1/4).3000 =750 tr/mn s =(2 /60).Ns = 25 rd/s 25 rd/s Réponses : démarrage 12,5 rd/s 2 25 rd n = = 25 / 2 n = 12.5 tours * =.t + 0 = 12,5 rd/s 2 * = ½..t t + 0 = 6, = 25 rd Équations du mouvement :

Calcul de V I2/0 maxi: Formule littérale : V = R. A.N.: V I2/0 = 0.16m. 25 rd/s = 4 m/s Calcul de a I2/0 maxi: Formule littérale : a =(a t 2 + a n 2 ) 1/2 =[ (R ) 2 + (V 2 /R) 2 ] 1/2 A.N.: a I2/0 = [(0,16.12,5 2 + (16 2 / 0,16) 2 ] 1/2 a I2/0 = [(2 2 + (100 2 ) 2 ] 1/2 = 987 m/s 2 3.2/ Déterminer la vitesse V I2/0 et laccélération A I2/0 max. CICF t=0st=2s 0 =0rd = 25 rd 0 =0rd/s = 25 rd/s = 12,5 rd/s 2

3.3/ larrêt seffectue en 2,5 tours. Le constructeur signale un arrêt sécurisé de la machine en moins de 1 s. Vérifier ses propos. Exercice 3 : Étude du freinage

CICF t=0st= 0 =0rd =2,5.(2 rd 0 =25 rd/s =0rd/s = MCUV => = -(25 ) 2 / 2.(5 ) = t +25 rd/s = -31,25.t t rd Réponses : freinage -62,5 rd/s 2 0,4 s = -62,5 rd/s 2 formule utile : = [ 2 - ] / 2( - 0 ) = -62,5 rd/s 2 * =.t = t +25 t = -25 /-62.5 t = 0,4 s < 1 sCQFV Équations du mouvement :

3.4/ Tracer le graphe de vitesses (rd/s) (rd/s) t (s) ,6102

10 tours 45 tours 63 tours La position angulaire dun pignon animé dun mouvement de rotation est définie en radians, en fonction du temps en secondes, par la relation = 6.t t Combien de tours aura-t-il effectués, 3 secondes après son démarrage ? Exercice QCM 4:

s = 10 m s = 6,3 m s = 3,15 m Un pignon, dont la position angulaire est définie par la relation = 6.t t, a un diamètre primitif de 100 mm. Calculer la longueur parcourue sur ce cercle primitif, après 3 secondes du départ. Exercice QCM 5:

= 12 rd/s 2 = 9 rd/s 2 = 6 rd/s 2 La position angulaire dun solide animé dun mouvement de rotation est définie par la relation = 6.t t. Quelle est son accélération angulaire ? Exercice QCM 6:

= 3 rd/s = 6 rd/s = 12 rd/s La position angulaire dun solide animé dun mouvement de rotation est définie par la relation = 6.t t. Quelle est sa vitesse angulaire initiale ? Exercice QCM 7:

= 6 t + 3 rd/s = 3.(4t + 1) rd/s = 12 t + 1 rd/s La position angulaire dun solide animé dun mouvement de rotation est définie par la relation = 6.t t. Quelle est léquation de sa vitesse angulaire ? Exercice QCM 8:

= 120 rd/s = 7200 rd/s = rd/s Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1146 tours/minute. Exprimer cette vitesse en rd/s Exercice QCM 9:

= 10 rd/s 2 = 30 rd/s 2 = 90 rd/s 2 Un arbre moteur tourne à la vitesse de 120 rd/s et passe à la vitesse de 150 rd/s en 3 secondes. Calculer laccélération de larbre moteur durant cette période ? Exercice QCM 10:

t = 12 s t = 3 s t = 1 s La vitesse dun solide est définie en fonction du temps par léquation = -3t + 9. Quel est le temps mis pour obtenir larrêt du solide ? Exercice QCM 11:

= -3.t t = -6.t t = -1.5.t t La vitesse dun solide est définie en fonction du temps par léquation = -3t + 9 Quelle est léquation définissant la position du solide ? On commence à mesurer langle balayé au début du mouvement : 0 = 0 rd Exercice QCM 12:

= - 50 rd/s 2 = rd/s 2 = rd/s 2 Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1500 tr/mn. son arrêt seffectue en 12,5 tours. Quelle est la valeur de son accélération ? Exercice QCM 13:

10 tours 45 tours 63 tours La position angulaire dun pignon animé dun mouvement de rotation est définie en radians, en fonction du temps en secondes, par la relation = 6t 2 + 3t Combien de tours aura-t-il effectués, 3 secondes après son démarrage ? Corrigé Exercice QCM 4: = 6 t t n = = 10 tours = 6x x3 = 63 rd

s = 10 m s = 6,3 m s = 3,15 m Un pignon, dont la position angulaire est définie par la relation = 6t 2 + 3t, a un diamètre primitif de 100 mm. Calculer la longueur parcourue sur ce cercle primitif, après 3 secondes du départ. Corrigé Exercice QCM 5: s = R s = 0,05m x rd = 3,15 m

= 12 rd/s 2 = 9 rd/s 2 = 6 rd/s 2 La position angulaire dun solide animé dun mouvement de rotation est définie par la relation = 6t 2 + 3t Quelle est son accélération angulaire ? Corrigé Exercice QCM 6: = ½ t t + 0 = 6 t t

= 3 rd/s = 6 rd/s = 12 rd/s La position angulaire dun solide animé dun mouvement de rotation est définie par la relation = 6t 2 + 3t Quelle est sa vitesse angulaire initiale ? Corrigé Exercice QCM 7: = ½ t t + 0 = 6 t t

= 6 t + 3 rd/s = 3(4t + 1) rd/s = 12 t + 1 rd/s La position angulaire dun solide animé dun mouvement de rotation est définie par la relation : = 6t 2 + 3t Quelle est léquation de sa vitesse angulaire ? Corrigé Exercice QCM 8: = = 12t + 3 = 3(4t + 1) rd/s

= 120 rd/s = 7200 rd/s = rd/s Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1146 tours/minute. Exprimer cette vitesse en rd/s Corrigé Exercice QCM 9: N = 1146 tours/minute = 2 N / 60 = 120 rd/s

= 10 rd/s 2 = 30 rd/s 2 = 90 rd/s 2 Un arbre moteur tourne à la vitesse de 120 rd/s et passe à la vitesse de 150 rd/s en 3 secondes. Calculer laccélération de larbre moteur durant cette période ? Corrigé Exercice QCM 10: = t + 0 = = 30 / 3

t = 12 s t = 3 s t = 1 s La vitesse dun solide est définie en fonction du temps par léquation = -3t + 9. Quel est le temps mis pour obtenir larrêt du solide ? Corrigé Exercice QCM 11: = -3t + 9 t = - 9 / - 3 = 3 s

= -3.t t = -6.t t = -1.5.t t La vitesse dun solide est définie en fonction du temps par léquation = - 3t + 9 Quelle est léquation définissant la position du solide ? On commence à mesurer langle balayé au début du mouvement : 0 = 0 rd Corrigé Exercice QCM 12: = - 3 t + 9 = t + = - 3 rd/s 2 = 9 rd/s

= - 50 rd/s 2 = rd/s 2 = rd/s 2 Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1500 tr/mn. son arrêt seffectue en 12,5 tours. Quelle est la valeur de son accélération ? Corrigé Exercice QCM 13: Données : N=1500 tr/mn = 2 N / 60 = 50 rd/s n=12,5 tours = 2 n = 25 rd Application num. : = - (50 ) 2 / 2( ) Formule littérale : = ( ) / 2( - 0 )