Exercice 6 : 12x – 5 12x + 2 Soient les fonctions f(x) = et g(x) = 1°) Déterminez l’ensemble de définition, et la forme de la courbe de f. 2°) Déduisez-en ses tableaux de variations et de signes. 3°) idem pour g. 4°) Démontrez que - 24x² – 23x + 12 = ( 3x + 4 ) ( 3 - 8x ) et déterminez les points d’intersection des courbes de f et g. 5°) Résumez dans un seul graphe toutes les réponses. 6°) Déterminez les ensembles S1 à S5 des solutions des inéquations a) f(x) > g(x)   b) f(x) ≤ - 4 c) g(x) ≤ 4,2 d) f(x) ≤ 5 e) g(x) ≥ 12

f(x) = (12x-5)/(3x-1) et g(x) = (12x+2)/(x-2) 1°) Déterminez l’ensemble de définition de f. On ne peut diviser par 0, donc 3x – 1 ≠ 0, donc 3x ≠ 1 donc x ≠ ⅓ Df = ] - ∞ ; ⅓ [ U ] ⅓ ; + ∞ [

f(x) = (12x-5)/(3x-1) et g(x) = (12x+2)/(x-2) 1°) Déterminez l’ensemble de définition de f. 3x – 1 ≠ 0, donc x ≠ ⅓ Df = ] - ∞ ; ⅓ [ U ] ⅓ ; + ∞ [ et la forme de sa courbe. f(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = la valeur interdite = ⅓ Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 12/3 = 4

f(x) = (12x-5)/(3x-1) et g(x) = (12x+2)/(x-2) 1°) Déterminez l’ensemble de définition de f. 3x – 1 ≠ 0, donc x ≠ ⅓ Df = ] - ∞ ; ⅓ [ U ] ⅓ ; + ∞ [ et la forme de sa courbe. f(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = la valeur interdite = ⅓ Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 12/3 = 4 4 ⅓

f(x) = (12x-5)/(3x-1) et g(x) = (12x+2)/(x-2) 1°) Déterminez l’ensemble de définition de f. 3x – 1 ≠ 0, donc x ≠ ⅓ Df = ] - ∞ ; ⅓ [ U ] ⅓ ; + ∞ [ et la forme de sa courbe. f(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = la valeur interdite = ⅓ Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 12/3 = 4 f(0) = - 5/(- 1) = 5 4 ⅓

f(x) = (12x-5)/(3x-1) et g(x) = (12x+2)/(x-2) 1°) Déterminez l’ensemble de définition de f. 3x – 1 ≠ 0, donc x ≠ ⅓ Df = ] - ∞ ; ⅓ [ U ] ⅓ ; + ∞ [ et la forme de sa courbe. f(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = la valeur interdite = ⅓ Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 12/3 = 4 f(0) = - 5/(- 1) = 5 4 ⅓

f(x) = (12x-5)/(3x-1) et g(x) = (12x+2)/(x-2) 1°) Déterminez l’ensemble de définition de f. 3x – 1 ≠ 0, donc x ≠ ⅓ Df = ] - ∞ ; ⅓ [ U ] ⅓ ; + ∞ [ et la forme de sa courbe. f(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = la valeur interdite = ⅓ Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 12/3 = 4 f(0) = - 5/(- 1) = 5 f(x) = 0 12x – 5 = 0 x = 5/12 4 ⅓ 5/12

f(x) = (12x-5)/(3x-1) et g(x) = (12x+2)/(x-2) 1°) Déterminez l’ensemble de définition de f. 3x – 1 ≠ 0, donc x ≠ ⅓ Df = ] - ∞ ; ⅓ [ U ] ⅓ ; + ∞ [ et la forme de sa courbe. f(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = la valeur interdite = ⅓ Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 12/3 = 4 f(0) = - 5/(- 1) = 5 f(x) = 0 12x – 5 = 0 x = 5/12 2°) Dét. ses tableaux de var. et de sign. 4 ⅓ 5/12 x - ∞ ⅓ 5/12 + ∞ f(x) + - 0 + x - ∞ ⅓ + ∞ f(x)

f(x) = (12x-5)/(3x-1) et g(x) = (12x+2)/(x-2) 3°) idem pour g. x – 2 ≠ 0, donc x ≠ 2 Dg = ] - ∞ ; 2 [ U ] 2 ; + ∞ [ Forme de la courbe. g(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = la valeur interdite = 2 Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 12/1 = 12 g(0) = 2/(- 2) = - 1 g(x) = 0 12x + 2 = 0 x = - ⅙ Tableaux de variations et de signes. 12 - ⅙ 2 z x - ∞ - ⅙ 2 + ∞ f(x) + 0 - + x - ∞ 2 + ∞ f(x)

f(x) = (12x-5)/(3x-1) et g(x) = (12x+2)/(x-2) 4°) Démontrez que - 24x² – 23x + 12 = ( 3x + 4 ) ( 3 - 8x ) Révision de collège ? et déterminez les points d’intersection des courbes de f et g. On résout f(x) = g(x) 12x – 5 12x + 2 = 3x – 1 x – 2

f(x) = (12x-5)/(3x-1) et g(x) = (12x+2)/(x-2) 4°) Démontrez que - 24x² – 23x + 12 = ( 3x + 4 ) ( 3 - 8x ) ( 3x + 4 ) ( 3 - 8x ) = 9x + 12 – 24x² - 32x = - 24x² – 23x + 12 et déterminez les points d’intersection des courbes de f et g. 12x – 5 12x + 2 f(x) = g(x) = 3x – 1 x – 2 ( 12x – 5 ) ( x – 2 ) = ( 12x + 2 ) ( 3x – 1 ) 12x² - 5x – 24x + 10 = 36x² + 6x – 12x – 2 12x² - 5x – 24x + 10 - 36x² - 6x + 12x + 2 = 0 - 24x² – 23x + 12 = 0 que l’on ne sait pas résoudre avant la classe de 1ère.

f(x) = (12x-5)/(3x-1) et g(x) = (12x+2)/(x-2) 4°) Démontrez que - 24x² – 23x + 12 = ( 3x + 4 ) ( 3 - 8x ) ( 3x + 4 ) ( 3 - 8x ) = 9x + 12 – 24x² - 32x = - 24x² – 23x + 12 et déterminez les points d’intersection des courbes de f et g. 12x – 5 12x + 2 f(x) = g(x) = 3x – 1 x – 2 ( 12x – 5 ) ( x – 2 ) = ( 12x + 2 ) ( 3x – 1 ) 12x² - 5x – 24x + 10 = 36x² + 6x – 12x – 2 12x² - 5x – 24x + 10 - 36x² - 6x + 12x + 2 = 0 - 24x² – 23x + 12 = 0 ( 3x + 4 ) ( 3 - 8x ) = 0 d’après la question précédente. 3x + 4 = 0 ou 3 – 8x = 0 x = - 4/3 ou x = 3/8

f(x) = (12x-5)/(3x-1) et g(x) = (12x+2)/(x-2) et déterminez les points d’intersection des courbes de f et g. 12x – 5 12x + 2 f(x) = g(x) = 3x – 1 x – 2 ( 12x – 5 ) ( x – 2 ) = ( 12x + 2 ) ( 3x – 1 ) 12x² - 5x – 24x + 10 = 36x² + 6x – 12x – 2 12x² - 5x – 24x + 10 - 36x² - 6x + 12x + 2 = 0 - 24x² – 23x + 12 = 0 ( 3x + 4 ) ( 3 - 8x ) = 0 3x + 4 = 0 ou 3 – 8x = 0 x = - 4/3 ou x = 3/8 Il y a deux points d’intersections. f(- 4/3) = g(- 4/3) = 4,2 donc le point ( - 4/3 ; 4,2 ). f(3/8) = g(3/8) = - 4 donc le point ( 0,375 ; - 4 ).

5°) Résumez dans un seul graphe toutes les réponses. On recopie à main levée l’écran de sa calculatrice graphique ( si on réussit à obtenir un écran avec deux courbes bien visibles ) pour être sûr des compatibilités des courbes Ou on utilise les courbes aux questions 1° à 3° avec les intersections de la 4°.

5°) Résumez dans un seul graphe toutes les réponses. On ajoute les axes des hyperboles

5°) Résumez dans un seul graphe toutes les réponses. On ajoute les intersections et toutes les coordonnées 12 g 5 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4

5°) Résumez dans un seul graphe toutes les réponses. Autre méthode : on place les points d’intersections 4,2 -4/3 3/8 - 4

5°) Résumez dans un seul graphe toutes les réponses. Autre méthode : on place les points d’intersections et les axes 12 g f 4,2 4 -4/3 ⅓ 3/8 2 -1 - 4

5°) Résumez dans un seul graphe toutes les réponses. On ajoute une courbe 12 g 5 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4

5°) Résumez dans un seul graphe toutes les réponses. On ajoute une courbe puis l’autre 12 g 5 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4

Exercice 6 : 12x – 5 12x + 2 Soient les fonctions f(x) = et g(x) = 3x – 1 x – 2 6°) Déterminez les ensembles S1 à S5 des solutions des inéquations a) f(x) > g(x)   b) f(x) ≤ - 4 c) g(x) ≤ 4,2 d) f(x) ≤ 5 e) g(x) ≥ 12

6°) a) f(x) > g(x) S1 = … ? 12 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4

6°) a) f(x) > g(x) S1 = … U … ? 12 g 5 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4

6°) a) f(x) > g(x) S1 = ] – 4/3 ; ⅓ [ U ] 3/8 ; 2 [ 12 g 5 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4

6°) b) f(x) ≤ - 4 S2 = … ? 12 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4 g 5 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4

6°) b) f(x) ≤ - 4 S2 = ] ⅓ ; 3/8 ] 12 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 g 5 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4

6°) c) g(x) ≤ 4,2 S3 = … ? 12 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4 -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4

6°) c) g(x) ≤ 4,2 S3 = [ – 4/3 ; 2 [ 12 g 5 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4

6°) d) f(x) ≤ 5 S4 = … U … ? 12 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 g 5 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4

6°) d) f(x) ≤ 5 S4 = ] - ∞ ; 0 ] U ] ⅓ ; + ∞ [ 12 g 5 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4

6°) e) g(x) ≥ 12 S5 = … ? 12 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4 -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4

6°) e) g(x) ≥ 12 S5 = ] 2 ; + ∞ [ 12 f 4,2 4 ⅓ -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -4/3 -1/6 ⅓ 3/8 5/12 2 -1 - 4