GESTION DE PORTEFEUILLE chapitre n° 4 C. Bruneau Rationalisation des choix: référence à l’utilité

Plan du chapitre 1. Choix en avenir incertain 2. Rappel sur la notion d’aversion au risque 3. Introduction de la fonction d’utilité, exemples 4. Brèves références aux Notions de dominance stochastique - à l’ordre 1 - à l’ordre 2 5. Maximisation de l’espérance d’utilité et définition de l’équivalent certain 6. Cas particulier du critère espérance-variance

1. Choix en avenir incertain Décision à prendre sans en connaître les conséquences de manière certaine exemple: choix de la composition d’un portefeuille face à des rendements des titres aléatoires. Rationalisation des choix: introduction d’une axiomatique ( les axiomes caractérisent la rationalité du décideur) Exemple axiome de transitivité: si un choix b est préféré à a et c est préféré à b, c est encore préféré à a Exemple: axiomatique de Von Neuman Morgenstern (VNM). Dans ce qui suit, on introduira la fonction d’utilité des conséquences ( quantifiées). On montre que l’optimisation des choix selon la rationalité décrite par l’axiomatique de VNM, est équivalente à la maximisation de l’espérance d’utilité, sous réserve que la fonction d’utilité possède de bonnes propriétés

2. Aversion pour le risque 2.1) Monde risque-neutre Si on est indifférent à l’incertitude – aux issues possibles- on est indifférent au risque: on dit « neutre au risque » Dans un monde où tous les agents sont neutres, au risque ( on parle de monde risque –neutre), tous les titres, qu’ils soient risqués ou non, doivent avoir la même rentabilité espérée que le titre sans risque ( supposé exister), si on exclut toute opportunité d’arbitrage (OA). Une OA est une configuration de marché telle que l’on gagne à tous les coups

Exemple: cas de deux titres 1 et 2 considérés entre deux dates 0 et 1 Sans perte de généralité, on peut supposer que les prix des deux titres à la première date sont égaux à 1 ( ajuster les quantités) Supposons que le titre 2 a un prix de deuxième date plus élevé que celui du titre 1: son rendement ( rapport du prix de deuxième date au prix de première date)

2.2 Opportunité d’arbitrage Dans ce cas, le rendement du titre 2 est plus grand que celui du titre 1 ( rendement entre les dates 1 et 2=rapport des prix correspondants) Il suffit de vendre le titre 1 pour acheter du titre 2, sans dépenser d’argent, en étant assuré d’un gain systématique:

2.3 Aversion pour le risque Les agents,selon leur aversion au risque, investiront dans des titres plus ou moins risqués et sont plus ou moins rémunérés en fonction de leur prise de risque Les titres risqués ont un rendement espéré plus élevé que celui du titre sans risque: On a la prime de risque du titre risqué i ( par rapport a titre sans risque F

3. Fonction d’utilité Plutôt que de considérer directement l’évaluation monétaire des conséquences d’un choix, on considère l’utilité de cette valeur monétaire On montre que la rationalité d’un agent qui obéit à l’axiomatique de VNM peut être résumée par la donnée d’une fonction d’utilité, croissante et concave: u –Croissante: on préfère des conséquences monétaires plus élevées ( valeur du rendement de l’investissement plus élevée) –Concavité: la dérivée seconde est négative: lorsque les conséquences monétaires sont élevées, l’utilité croit moins vite que dans la zone des conséquences monétaires plus faibles (Voir augmentation marginale de la richesse, lorsqu’on est très riche) La concavité des fonctions d’utilité permet d’expliquer l’existence d’une prime de risque dans la valorisation des titres risqués ( voir infra) Plus précisément, le choix, en avenir incertain, de l’action ( par exemple la composition d’un portefeuille) est dicté par la recherche de la maximisation de l’espérance d’utilité des conséquences monétaires

Exemple des fonctions d’utilité CARA et CRRA CARA : constant absolute risk aversion On montre que la fonction d’utilité s’écrit ( voir infra): CRRA: constant relative risk aversion

4. Équivalent certain et prime de risque 4.1 Equivalent certain L’équivalent certain est la valeur certaine dont l’utilité est égale à l’espérance d’utilité Pour une fonction U croissante et concave on a, d’après l’inégalité de Jensen (admise):

4.2 Prime de risque Comme U est aussi croissante, la dernière inégalité implique que m vérifie: m<E(X) L’équivalent certain est donc obtenu comme l’espérance du gain, E(X), minorée d’une certaine quantité, positive qui est la prime de risque Une obligation émise par une entreprise ( = emprunt) est affectée par le risque de faillite de cette entreprise et donc on attend une rentabilité espérée plus élevée que celle des obligations du trésor: la différence est la prime de risque exigée pour compenser le risque de faillite. Le rendement des obligations du trésor est égal à m ( qui est aussi l’espérance de rendement de tous les titres dans un monde neutre au risque donc, de même utilité dans ce monde équivalent dans ce monde à U(E(X))

5. Trade-off entre espérance de rentabilité et risque(variance) Soit une variable aléatoire Z On considère la fonction d’utilité U(z)= -exp(-Az)avec A>0 C’est une fonction croissante: Et c’est aussi une fonction concave: C’est précisément une fonction CARA

Si le rendement Z est distribué selon une loi normale: l’espérance d’utilité est donnée par(voir exercice ce de TD): Et l’équivalent certain a pour expression: On retrouve donc une expression qui fait apparaître le trade-off entre la moyenne et la variance