Modélisation et résolution du problème de contact mécanique et son application dans un contexte multiphysique Soutenance de thèse de doctorat en ingénierie BUSSETTA Philippe Directeur:M. Daniel Marceau, UQAC Codirecteur:M. Jean-Philippe Ponthot, ULg Université du Québec à Chicoutimi Département des sciences appliquées 3 Février 2009

2/58 Plan  Introduction  Mécanique du contact frottant  Méthodes de résolution  Limites des méthodes habituelles  Méthodes de résolution proposées  Conclusion et recommandations

3/58 Introduction  Introduction  Mécanique du contact frottant  Méthodes de résolution  Limites des méthodes habituelles  Méthodes de résolution proposées  Conclusion et recommandations Problématique Objectifs État des connaissances Méthodologie

4/58 Introduction… Problématique Le contact, un phénomène de tous les jours… Physique Mathématique Informatique Numérique

5/58 Introduction… Problématique…  Contrainte de Contact  Contraintes dans les solides  Résistance thermique  Résistance électrique  Méthode de résolution  Type de problème  Choix de paramètres

6/58 Introduction… Objectifs  Méthode de résolution  Polyvalente  Fiable  Rapide  Algorithme de résolution  Système d’équations  Discrétisation du contact  Discrétisation des frontières  Lois de contact

7/58 Introduction… État des connaissances  Modélisation mathématique  Méthode de résolution  Pénalisation (Sh. Keshavarz 08, etc.)  Multiplicateurs de Lagrange (H. Walter 99, etc.)  Lagrangien augmenté (J.C. Simo 92, etc.)  Discrétisation du contact  « Point-surface » (P. Goulet 04, etc.)  « Surface-surface » (M. A. Puso 04, etc.)  X-FEM (G. Legrain 05, etc.)  Lissage des frontières (D. Chamoret 04, etc.)

8/58 Introduction… Méthodologie  Technique de résolution  Étude comparative  Limites des méthodes usuelles  Méthode proposée  Discrétisation du contact  Étude comparative  Limites des méthodes usuelles  Méthode proposée

9/58 Mécanique du contact frottant  Introduction  Mécanique du contact frottant  Méthodes de résolution  Limites des méthodes habituelles  Méthodes de résolution proposées  Conclusion et recommandations Physique du problème Contact frottant ­Modélisation du contact ­Modélisation du frottement Principe des travaux virtuels

10/58 Mécanique du contact frottant... Physique du problème Représentation du contact entre deux solides Statut de contact?  Configuration déformée?

11/58 Mécanique du contact frottant... Contact frottant Modélisation du contact Loi de contact unilatérale Lois non différentiables

12/58 Mécanique du contact frottant... Contact frottant… Modélisation du frottement Loi de frottement de Coulomb Lois non différentiables

13/58 Mécanique du contact frottant... Principe des travaux virtuels Travaux virtuels des forces de contact Travaux virtuels des forces externes Travaux virtuels des forces internes

14/58 Méthodes de résolution  Introduction  Mécanique du contact frottant  Méthodes de résolution  Limites des méthodes habituelles  Méthodes de résolution proposées  Conclusion et recommandations Système d’équations ­Pénalisation ­Lagrangien augmenté Discrétisation du contact ­« Point-surface » ­« Surface-surface » Algorithmes de résolution ­Pénalisation ­Pénalisation adaptative ­Lagrangien augmenté

15/58 Méthodes de résolution… Système d’équations Méthode de pénalisation Loi de contact Loi de frottement Coefficients de pénalisation?

16/58 Méthodes de résolution… Système d’équations… Méthode du lagrangien augmenté Loi de contact Loi de frottement Augmentation des lagrangiens Coefficients de pénalisation?

17/58 Méthodes de résolution… Discrétisation du contact Méthode « point-surface » Conditions d’admissibilité Problèmes :  Frontières irrégulières  Déplacements relatifs importants Représentation du calcul de l’interpénétration au point A

18/58 Méthodes de résolution… Discrétisation du contact… Méthode « surface-surface » Conditions d’admissibilité Problème : Pour chaque nœud  Vecteur normal  Vecteur tangent Représentation du calcul de l’interpénétration au noeud A

19/58 Méthodes de résolution… Algorithmes de résolution Méthode de pénalisation Méthode de Newton-Raphson :

20/58 Méthodes de résolution… Algorithmes de résolution… Méthode de pénalisation adaptative L’interpénétration doit respecter : Calcul du coefficient de pénalisation normale :

21/58 Méthodes de résolution… Algorithmes de résolution… Méthode du lagrangien augmenté Méthode de Newton-Raphson :

22/58 Limites des méthodes habituelles  Introduction  Mécanique du contact frottant  Méthodes de résolution  Limites des méthodes habituelles  Méthodes de résolution proposées  Conclusion et recommandations Problème de Hertz ­Pénalisation ­Pénalisation adaptative ­Lagrangien augmenté Tubes concentriques

23/58 Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz Deux cylindres en acier acier Rayon :25 cm Module d’Young :200 GPa Coefficient de Poisson :0,3 Limite d’élasticité (  e ):472 MPa Loi d’écrouissage :  e + K  K :640

24/58 Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation Nombre d’itérations

25/58 Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation Contrainte normale de contact t n (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact t n (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

26/58 Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative Nombre d’itérations

27/58 Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative Contrainte normale de contact t n (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact t n (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

28/58 Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté Nombre d’itérations

29/58 Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté Contrainte normale de contact t n (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact t n (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

30/58 Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques Écrasement de deux tubes concentriques Rayon de contact :25 cm Épaisseur (e) :1 cm Coefficient de frottement :0, 15 Module d’Young :200 GPa Coefficient de Poisson :0, 3 Limite d’élasticité (  e ):472 MPa Loi d’écrouissage :  e + K  K :640 Frontière fixe Déplacement U imposé

31/58 Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Maillage utilisés Longueur :10 cm Frontières de contact

32/58 Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Nombre d’itérations en fonction du type de modélisation

33/58 Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Maillage 1Maillage 2 Contrainte normale de contact avec la méthode de pénalisation

34/58 Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Maillage 1Maillage 2 Contrainte normale de contact avec la méthode du lagrangien augmenté

35/58 Méthodes de résolution proposées  Introduction  Mécanique du contact frottant  Méthodes de résolution  Limites des méthodes habituelles  Méthodes de résolution proposées  Conclusion et recommandations Méthode « Surface-surface » Pénalisation adaptative modifiée Lagrangien augmenté adapté Validation ­Problème de Hertz ­Tubes concentriques ­Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse

36/58 Méthodes de résolution proposées… Méthode « Surface-surface » Conditions d’admissibilité Solution : Pour chaque nœud  Vecteur normal et tangent (élément maître) Problème 3D Représentation du calcul de l’interpénétration au noeud A

37/58 Méthodes de résolution proposées… Pénalisation adapté modifié Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation normal g i >> g i-1 g i ≈ g i-1 g i > g i-1

38/58 Méthodes de résolution proposées… Lagrangien augmenté adapté Algorithme de calcul de la force normale de contact : AiAi A i-1 22

39/58 Méthodes de résolution proposées… Lagrangien augmenté adapté… Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation normal g i >> g i-1 g i ≈ g i-1 g i > g i-1

40/58 Méthodes de résolution proposées… Lagrangien augmenté adapté… Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation tangentiel Initialisation Adaptation

41/58 Méthodes de résolution proposées… Validation Problème de Hertz acier

42/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Méthode de pénalisation adaptative modifiée Nombre d’itérations Problème de Hertz…

43/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Méthode de pénalisation adaptative modifiée… Problème de Hertz… Contrainte normale de contact t n (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact t n (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

44/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Méthode du lagrangien augmenté adapté Nombre d’itérations Problème de Hertz…

45/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Méthode du lagrangien augmenté adapté… Problème de Hertz… Contrainte normale de contact t n (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact t n (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

46/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Écrasement de deux tubes concentriques Maillage utilisés

47/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Méthode « surface-surface » Maillage 1Maillage 2 Contrainte normale de contact avec la méthode de pénalisation (  n = 10 5 et  t = 10 4 ) Écrasement de deux tubes concentriques…

48/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse Schéma d’un bloc cathodique Courbe de montée en température du dessus du bloc cathodique acier carbone fonte

49/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse… Maillage d’un bloc cathodique

50/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté Valeur maximale de l’interpénétration pour chaque pas de temps avec la méthode du lagrangien augmenté adapté Nombre d’itération en fonction du pas de temps Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse…

51/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté… PénalisationLagrangien augmenté adapté Contrainte normale de contact au 6 ème pas de temps (interface fonte-carbone) Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse

52/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté… PénalisationLagrangien augmenté adapté Première contrainte principale au 16 ème pas de temps Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse

53/58 Méthodes de résolution proposées… Validation… Force normale de contact sur l’interface fonte-carbone Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse Id1 Id2 Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté…

54/58 Conclusion et recommandations  Méthodes usuelles de résolution  Non adaptées  Méthode de résolution proposée : lagrangien augmenté adapté  Plus rapide (adaptation de la pénalité)  Plus robuste (lagrangien augmentée)  Contact avec frottement  Contexte multiphysique

55/58 Conclusion et recommandations  Méthode « point-surface »  Solution irrégulière / non représentative  Valeur de l’interpénétration  Méthode « surface-surface »  Solution plus régulière  Contact non local

56/58 Conclusion et recommandations  Lagrangien augmenté adapté  Calcul du contact frottant  Multiplicateurs de Lagrange à incrément avant  Méthode « surface-surface »  Amélioration de la programmation

57/58 Questions