Ce document a été conçu par l’association ACCESMAD a destination des Intitulé du sous module : POUTRE HYPERSTATIQUE EN FLEXION PLANE SIMPLE Objectif intermédiaire : A l’issue du sous module de formation, l’apprenant doit être capable de MAITRISER le degré d’hyperstaticité d’une poutre soumise à la flexion et de RESOUDRE l’équation de la déformation Référence : SMF/T/08 - 06 INDEXATION UNITES DE FORMATION UF/T/08 – 06 – 01 UF/T/08 – 06 – 02 UF/T/08 – 06 – 03 UF/T/08 – 06 – 04 UF/T/08 – 06 – 05 UF/T/08 – 06 – 06 UF/T/08 – 06 – 07 UF/T/08 – 06 – 08 Définition Degré d’hyperstaticité Méthodes de résolution Equations et diagrammes de T(x) et M(x) Contrainte et condition de résistance Equation de la déformation Contrainte normale et contrainte tangentielle d’un point arbitraire d’une section de la poutre en flexion Application Ce document a été conçu par l’association ACCESMAD a destination des élèves de l’enseignement technique de Madagascar .Il propose une méthode pédagogique d’assimilation des contenus du texte officiel des programmes intitulé: REPOBLIKAN’I MADAGASIKARA Module de formation :mécanique et résistance des matériaux Intitulé du sous module : POUTRE HYPERSTATIQUE EN FLEXION simple plane UF/T/08 – 06 – 01 UF/T/08 – 06 – 02 UF/T/08 – 06 – 03 UF/T/08 – 06 – 04 UF/T/08 – 06 – 05 UF/T/08 – 06 – 06 UF/T/08 – 06 – 07 UF/T/08 – 06 – 08 Définition Degré d’hyperstaticité Méthodes de résolution Equations et diagrammes de T(x) et M(x) Contrainte et condition de résistance Equation de la déformation Contrainte normale et contrainte tangentielle d’un point arbitraire d’une section de la poutre en flexion Application Objectif intermédiaire : A l’issue du sous module de formation, l’apprenant doit être capable de MAITRISER le degré d’hyperstaticité d’une poutre soumise à la flexion et de RESOUDRE l’équation de la déformation Le présent document traite les objectifs 01 02 03 04 06

Connaissances requises pour lire ce document: il faut savoir, -déterminer les composantes d’un vecteur dans un repère cartésien. -calculer le produit vectoriel de deux vecteurs. -déterminer l’expression vectorielle du moment d’une force en un point. -utiliser le principe fondamental de la statique: PFS. -déterminer les actions des liaisons d’une poutre avec le milieu extérieur (réactions) -déterminer les composantes du torseur de cohésion T(x) et M(x) en utilisant le principe de la coupure fictive. -Calculer la primitive et la dérivée d’une fonction f(x).

Objectifs pédagogiques du document: -Donner les définitions d’un système isostatique et d’un système hyperstatique, -Définir le degré hyperstatique d’un système simple -Etablir les expressions de l’effort tranchant T (x) ; du moment fléchissant M le long d’une poutre isostatique -Etablir l’équation de la déformée y(x) et de la pente y’(x) le long d’une poutre isostatique par intégration de la relation y’’=M/EI -Faire l’étude d’un système hyperstatique simple par superposition de systèmes isostatiques avec un tableur. On réalisera: -le tracé des diagrammes M(x) et T(x), -le tracé de la déformée y(x) et de l’angle de rotation de la section droite (ou pente) y’(x) =q(x). (la mesure de la flèche maximum est possible par simple lecture du diagramme) -l’évaluation des actions de liaisons (descente de charges). -utiliser un tableur pour modifier rapidement les paramètres de calcul

1-Introduction :systèmes isostatiques et hyperstatiques Un exemple classique que nous pouvons comprendre facilement est celui du tabouret La condition nécessaire et suffisante de stabilité et d’avoir 3 pieds . La rupture d’un pied entraine la perte d’équilibre. L’ajout d’un 4éme pied apporte un contact statiquement surabondant (ce qui ne veut pas dire qu’il soit inutile) .. Avec 3 pieds le contact de chacun avec le sol est assuré. Le tabouret à 3 pieds est isostatique, Dés qu'il en à un de plus, tous les pieds ne reprennent pas la même charge en même temps et souvent la charge reprise par l’un des 4 est nulle. Ce qui occasionne des petits basculements désagréables si le tabouret est parfaitement rigide. (On préfère utiliser un support à 3 pieds pour les appareils photos pour cette raison!) Pour assurer le contact simultané des 4 pieds, le fabricant prévoit souvent sous ces derniers un matelas en caoutchouc ou autre matière facilement déformable (qui a aussi l’avantage d’éliminer le bruit sur le sol !). Ainsi les efforts dans les contacts dépendent non seulement des charges externes mais aussi de la capacité du système à se déformer. Le système devient hyperstatique On préfère réaliser des tabourets avec quatre pieds .Cela permet d’élargir la base de contact et apporte une plus grande sécurité au dispositif . Les structures hyperstatiques ont donc leur avantage!...Mais les calculs associés sont plus complexes

Aspect mathématique Degré d’hyperstaticité :H = Ni - Ne Le principe fondamental de la statique P.F.S permet de vérifier les conditions d’équilibre d’un système matériel à partir de trois équations : -2 équations traduisant la nullité des projections sur deux axes de la force résultante des actions extérieures 1 équation signifiant que le moment résultant des actions extérieures calculé en un point est nul . Mathématiquement, ce système de trois équations permet au plus de calculer trois actions extérieures inconnues. Ainsi, pour chaque système matériel isolé, il convient de définir le nombre d’actions extérieures inconnues, afin de vérifier si le système d’équation peut être résolu avec le seul P.F.S. Les conditions d’isostaticité ou d’hyperstaticité se résument aux trois situations suivantes : Ne : Nombre d’équations du système , Ni : Nombre d’actions extérieures inconnues , H : le degré d’hyperstaticité du système, Degré d’hyperstaticité :H = Ni - Ne H>0 Le système est hyperstatique (plus d’actions que nécessaire participent à l’équilibre du solide), l’application du PFS ne permet pas de résoudre seul le système .. H = 0 Le système est isostatique, l’application du PFS permet de résoudre le système complètement. H < 0 Le système est n’est pas en équilibre Pour résoudre le système hyperstatique, il faut trouver H équations en plus du P.F.S (il s’agit généralement d’équations prenant en compte les conditions du système à ses limites )

Premier exemple de résolution d’un système hyperstatique Premier exemple de résolution : système hyperstatique 1

Le problème comporte donc au total 3 inconnues YA,YB,MA Ni=3 I- Traitons un exemple simple: cas d’une poutre encastrée a une extrémité, simplement appuyée à l’autre et chargée uniformément A-Etablissons le bilan des sollicitations extérieures: 1-Charge répartie q verticale; on posera Q=q.L (charge totale) 2-Actions de la liaison en A (encastrement): cette liaison supprime 3 degrés de liberté à la poutre au point A , Chaque degré de liberté supprimé introduit une action inconnue. Translations (dx=0,dy =0) et rotation (dq=0) ,cela nécessite l’action de 3 inconnues XA YA et MA (Ici, la composante XA est nulle en l’absence de charge horizontale.) 3-Actions de la liaison en B (appui simple): cette liaison supprime 1 degré de liberté à la poutre au point B : la translations verticale (dy =0),ce qui engendre 1 inconnue YB . Le problème comporte donc au total 3 inconnues YA,YB,MA Ni=3

Neq=2 , H=Ni-Ne=3-2=1, le système est hyperstatique de degré 1 B-Application du Principe Fondamental de la Statique au système: Choisissons un repère trirectangle Axyz de vecteurs unitaires i, j et k (voir figure) La somme des forces extérieures est nulle: (équation 1) La somme des moments en A des forces extérieures est nulle: (remarquons que la force YA passant par A, son moment est nul) Comme (équation 2) et après simplification par Les 2 équations (1) et (2) ne peuvent suffirent pour déterminer les 3 inconnues MA,YA,YB Neq=2 , H=Ni-Ne=3-2=1, le système est hyperstatique de degré 1

Remarque Si nous enlevons l’appui B, la poutre devient console … Les actions extérieures MA et YA resteront nécessaires et suffisantes pour assurer l’équilibre du système devenu isostatique Ceci permet de dire que l’appui en B est surabondant du point de vue de l’équilibre statique En l’absence de déformation de la console (corps parfaitement rigide), cet appui n’aurait guère d’utilité puisqu’il ne recevrait aucune charge. L’encastrement en A assurerait seul l’équilibre. La réalité est différente: en raison de la capacité de déformation de la poutre qui est un milieu élastique , les deux liaisons en A et B vont reprendre une partie de la charge et réduire considérablement la flèche maximale de la poutre (ce qui permettra de l’alléger). La répartition des moments et donc la valeur des contraintes maximales de flexion est elle aussi plus favorable. L’hyperstaticité est donc le plus souvent nécessaire pour assurer une plus grande sécurité et un prix de revient plus satisfaisant.

Méthode de résolution choisie du système hyperstatique Le principe de résolution est de rendre le système isostatique en supprimant la liaison surabondante et en remplaçant l’appui par une force dirigée verticalement vers le haut en B . On applique ensuite le principe de superposition des états d’équilibre (*) obtenus avec chaque cas de charge: (*)Le système hyperstatique étudié peut être considéré comme la superposition des systèmes isostatiques 1 et 2 Système 1: poutre en console chargée uniformément Système 2: poutre en console soumise à une charge concentrée F orientée vers le haut comme le ferait l’action d’un appui en B. Cette force F inconnue pourra être déterminée en écrivant que sous l’action de q et de F le déplacement vertical total en B doit être nul. Cette condition donnera l’équation supplémentaire cherchée. Le principe de superposition permet d’écrire que les forces de cohésion dans chaque section droite du système hyperstatique sont égales à la somme des forces de cohésion dans ces mêmes sections des systèmes 1 et 2. Nous utiliserons cette propriété dans le tableur de résolution (voir plus loin) Ainsi l’effort tranchant final est T(x) =T1(x)+T2(x) et le moment fléchissant :M(x)=M1(x)+M2(x) Ce principe est applicable également aux déplacements et rotations Déformée en un point :y(x)= y1(x) +y2(x) Rotation d’une section y’(x)=y’1(x)+y’2(x) Remarque: il existe d’autres méthodes en particulier énergétiques pour résoudre un système hyperstatique

Tableurs de résolution Pour mettre en œuvre le principe de superposition, nous proposons l’utilisation d’un tableur (le n°2 dans la liste proposée) Cliquer sur l’index « cumul ».Indiquer les caractéristiques de la poutre: E,I, L et la charge linéaire q. Déplacer le curseur (indiqué par la flèche rouge) de la barre de défilement de sélection de F pour faire passer la courbe de la déformée par zéro en B .(courbe bleue à droite). Le tableur effectue la détermination de T(x) (effort tranchant),M(x)(moment fléchissant), y’(x)(pente),y(x) (déformée) de chaque système isostatique (système 1 et système 2) chacun sur une feuille de calcul particulière.Après ajustement avec le curseur, l’inconnue hyperstatique F est déterminée et le programme effectue les sommations nécessaires de toutes les feuilles pour donner les diagrammes T,M,y’,y du système hyperstatique .

Au point B: x=L; T(x)=+YB=+3000N M(x)=0 et donc MB=0 Détermination des actions des liaisons YA, MA et YB (descente de charges) à partir des diagrammes T(x) et M(x) Ces actions correspondent aux valeurs suivantes choisies dans le tableur: q=1000N.m-1, I=11770cm4;L=8m Effectuons quelques rappels afin d’ établir le signe des ces grandeurs sans erreur! L’effort tranchant T(x) et le moment fléchissant M(x) sont deux composantes du torseur de cohésion en x « x « désignant la position d’une coupure fictive. Rappelons la convention choisie pour son calcul à partir des efforts extérieurs force de cohésion en x =- somme des forces ext à gauche de la coupure x= + somme des forces à droite de la coupure Le point A est à gauche de la coupure et le point B à sa droite Au point A: x=0; T(x)(force intérieure)= -YA (force extérieure) ; YA = -T(x)=+5000N De même : M(x)=-MA (moment extérieur) et donc MA=-M(x)=+8000N.m Au point B: x=L; T(x)=+YB=+3000N M(x)=0 et donc MB=0 ;

Annexe1 : étude complète des systèmes isostatiques 1 et 2 intervenant dans l’application du principe de superposition pour la résolution du premier exemple Cette partie peut être abordée en complément .Son objectif est de faire acquérir à l’utilisateur les méthodes de calculs par intégration en appliquant le seul Principe Fondamental de la Statique. Et il aura ainsi la justification des formules utilisées dans les différentes feuilles de calcul du tableur cité précédemment.

1- poutre isostatique 1: console chargée uniformément a-Actions de liaison en A Les deux inconnues YA et MA peuvent être déterminées par l’application du P.F.S Les sollicitations extérieures au système sont : q, YA et MA Les équations (1) et (2) précédentes deviennent :(en posant YB=0) (attention « q » est considéré positif dans toutes les expressions ou il intervient) b-Détermination de l’effort tranchant La convention choisie étant : T(x) (force intérieure)= « - »somme des forces extérieures à gauche de la coupure en x On remarque que T1(x) est en fait une primitive de la charge q soit: Or, pour x=0; T1(x)= -YA et donc cte=-YA=-qL et finalement on retrouve: Cette remarque permet d’accélérer les calculs Application numérique: T1(x) pour L=8m et q=1000N.m-1

1-poutre isostatique 1: console chargée uniformément (suite 1) c-détermination du moment fléchissant La convention choisie étant : M(x)=« - »somme des moments des forces extérieures à gauche de la coupure en x ,le moment fléchissant M(x) est donc égal à l’opposé d’une primitive de T1(x) soit: Pour x=0, M1(x)=-MA=-ql2/2=cte, d’où: Application numérique: L=8m; q=1000N.m-1

1-poutre isostatique 1: console chargée uniformément (suite 2) d-détermination de la pente y’(x) Nous partons de l’expression fondamentale de la flexion Pente y’=q et déformée y: L’expression E.I y’ est donc une primitive de M(x): Or, pour x=0, y’(x)=q(x)=0 , en effet la rotation de la section droite est nulle à l’encastrement et donc cte =0 Application numérique : q=1N.mm-1; L=8000mm; E=210000N.mm-2; Iz=11770.104mm4

1-poutre isostatique 1: console chargée uniformément (suite 3) e-détermination de la déformée y(x) La déformée y est une primitive de y’ Or, pour x=0, y=0 , en effet la flèche est nulle à l’encastrement et donc cte =0 Application numérique : q=1N.mm-1; L=8000mm; E=210000N.mm-2; Iz=11770.104mm4

2-poutre isostatique 2: console soumise à une force F en B a-détermination des actions de liaison en A Les deux inconnues YA et MA peuvent être déterminées par l’application du P.F.S Les sollicitations extérieures au système sont : F, YA et MA 1-la somme des forces extérieures est nulle: 2-La somme des moments en A est nulle: b-Effort tranchant: Application numérique: T2(x) pour L=8m et une valeur arbitraire F=+300N

2-poutre isostatique 2: console soumise à une force F en B (suite 1) C-Moment fléchissant : M(x) est l’opposé de la primitive de T(x): Soit: D’où: M2(x) est donc une fonction affine décroissante de x Application numérique: si F=300N, L=8m L’équation s’écrit: M2(x)=-300x+2400 Pour x=0, M=2400N et pour x=8, M=0 M(x) >0, la fibre sup est comprimée, la fibre inf est tendue

2-Poutre isostatique 2: console soumise à une force F en B (suite 2) Nous partons de l’expression fondamentale de la flexion d-Pente y’2(x) L’expression E.I y’ est donc une primitive de M(x): Application numérique: avec E=210000N.mm-2; Iz=11770.104mm4,L=8000mm,F=300N

2-Poutre isostatique 2: console soumise à une force F en B (suite 3) e-déformée y2(x) La déformée y est une primitive de y’ Or, pour x=0, y2=0 , en effet la flèche est nulle à l’encastrement et donc cte =0 Application numérique : F=300N; L=8000mm; E=210000N.mm-2; Iz=11770.104mm4 Fin de l’annexe 1

Deuxième exemple de résolution d’un système hyperstatique Premier exemple de résolution : système hyperstatique 1

Le système hyperstatique étudié peut être considéré comme II- Autre exemple: « système hyperstatique 2 », poutre encastrée aux deux extrémités: Le système hyperstatique étudié peut être considéré comme la superposition des systèmes isostatiques 1 , 2 et 3 Système 1: poutre encastrée à gauche, chargée uniformément et libre à droite (cas déjà étudié) Système 2: poutre encastrée à gauche et soumise à une force concentrée F verticale ascendante en B (cas également étudié) Système 3: poutre encastrée à gauche et soumise à un couple MB (nous verrons que son signe est négatif.) Quel est le degré hyperstatique du système? A et B reçoivent nécessairement la même charge verticale :pour des raisons de symétrie nous disposons d’une équation d’équilibre évidente La somme des moments en A est nulle : : Pour des raisons de symétrie MB=- MA et l’équation (2) est alors identique à (1) Pour ce cas de charge symétrique: Neq=1 , D=Ninc – Neq = 2-1 =1, le système est hyperstatique de degré 1

A-Effort tranchant : T(x)=S Fext à droite de x 1-Etude du système isostatique 3 : poutre encastrée à gauche et soumise à un couple MB .à droite A-Effort tranchant : T(x)=S Fext à droite de x Aucune force extérieure n’agit à droite de la coupure: en x ; pour tout x: T(x)=0 B-Moment fléchissant : M(x)=S Moments à droite de la coupure M(x)=cte=MB C-Pente y’(x)=q(x) (Équation d’une droite) D-déformée y(x): (équation d’une parabole)

3 -Vérification graphique: 2- Retour au système hyperstatique 2: poutre encastrée aux deux extrémités: Calcul de MB: Au point B la pente de la déformée du système 1+2+3 doit être nulle soit : y’B=y’1B+y’2B+y’3B=0 Cette équation supplémentaire permet d’évaluer l’inconnue MB Avec la valeur de F égale à la moitié de la charge verticale, le système étant chargé symétriquement: Application numérique: q=1000n.m-1; l=8m 3 -Vérification graphique: Cette équation supplémentaire permet d’évaluer l’inconnue MB Utiliser le tableur n°2 proposé à la suite de ce diaporama sélectionner L=8m, q=1000N.m-1; F=ql/2=4000N; choisir MB pour que la courbe y’B passe par zéro en B (courbe rose). On vérifiera que MB =-5333N.m On disposera alors des 4 diagrammes T(x); M(x);y’(x); et y(x)