UNIVERSITE DE OUAGADOUGOU UNITE DE FORMATION ET DE RECHERCHE EN SCIENCES EXACTES ET APPLIQEES (U.F.R/S.E.A) DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET D’INFORMATIQUE LABORATOIRE D’ANALYSE NUMERIQUE D’INFORMATIQUE ET DE BIOMATHEMATIQUE (LANIBIO) 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

DOCTORAT THESE UNIQUE EN MATHEMATIQUES APPLIQUEES Option : Analyse Numérique et Biomathématique Présentée et soutenue publiquement par Balira Ousmane KONFE. Directeurs de thèse : Pr. Yves CHERRUAULT Pr. Blaise SOME 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO THEME : Nouvelles Méthodes Mathématiques (Adomian Alienor) pour la Biomédecine. 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine THEME : Laboratoire LANIBIO PLAN DE L’EXPOSE 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Le VIH/SIDA Le Paludisme En Recherche Opérationnelle I - Motivations 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

III- Optimisation globale Laboratoire LANIBIO Méthode de pénalisation La méthode Alienor Opérateur qui Préserve l’Optimisation Programmation de la méthode et exemples III- Optimisation globale 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Le VIH/SIDA Le modèle Le contrôle Le paludisme IV- APPLICATION 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

V- Conclusion et perspectives Laboratoire LANIBIO V- Conclusion et perspectives 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Le VIH/SIDA I - Motivations Résolution Contrôle Optimal : Sous les contraintes 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Le Paludisme I - Motivations L’impact d’une supplementaion en Zinc et en vitamine A sur le syème immunitaire quant à l’infection palustre. résolution d’un problème de contrôle Optimal qui a pour but de: - Diminuer le coût du traitement. - Maximiser la production d'anticorps. - Réduire le taux de plasmodium, 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO 3 En Recherche Opérationnelle I - Motivations Résolution de certains problèmes d’optimisation global en Recherche opérationnelle 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO I - Motivations Contrôle Optimal Méthode Adomian Optimisation global Méthode Alienor + O.P.O* Solution 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

I - La méthode d’Adomian Laboratoire LANIBIO 1 Présentation 2 Programmation de la méthode 3 Application au contrôle optimal I - La méthode d’Adomian 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian La méthode décompositionnelle d'Adomian permet de résoudre des problèmes fonctionnels de différents types : équations algébriques, différentielles, intégrales, intégro-différentiels, aux dérivées partielles etc… 1. Présentation et à décomposer le terme non linéaire N(u)   sous forme d'une série : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

La méthode d’Adomian Ce qui entraîne par identification : Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian 1. Présentation Ce qui entraîne par identification : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Soit le système suivant : 1. Présentation 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian L'algorithme d'Adomian est le suivant : 1. Présentation 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Définition. Soit N un opérateur de p variables. Par définition, les polynômes d'Adomian associés à N sont donnés par la formule : 1. Présentation où: 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Une nouvelle formule pour le calcul des polynômes d'Adomian dans le cas multidimensionnel. 1. Présentation Considérons : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Théorème. Les polynômes d' Adomian associés à 1. Présentation où sont les polynômes associés à fixé (resp. fixé ). 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

La méthode d’Adomian Laboratoire LANIBIO Exemple de calcul pour le cas de variables 1. Application au système 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Un programme informatique pour le calcul des polynômes d'Adomian pour les systèmes d'équations le programme a été proposé sous forme de sous programme paramétré. 2. Programmation de la méthode Adomian(P, M, N) 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Ensuite un Programme pour la résolution des équations du type 2. Programma-tion de la méthode Exemple de résolution d’ E.D.P 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian La solution exacte est donnée par : 2. Programmation de la méthode (E2) peut être réécrit sous la forme : L'algorithme d'Adomian pour (E2) est : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian 2. Programmation de la méthode 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian La solution approchée est : 2. Programmation de la méthode La représentation graphique de la solution exacte et de la solution approchée est donnée par : Solution exacte Solution approchée 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Application à la résolution des Problèmes de contrôle optimal Lorsque des paramètres apparaissent dans l’équation, chaque terme de la série solution dépend explicitement de ces paramètres. 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Considérons pour cela le système différentiel « contrôlé » : 3. Application au contrôle optimal avec le critère suivant à minimiser : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian Nous recherchons le contrôle u(t) sous la forme 3. Application au contrôle optimal 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO La méthode d’Adomian 3. Application au contrôle optimal Le résultat final est : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

II- Optimisation globale Laboratoire LANIBIO Méthode de pénalisation La méthode Alienor Opérateur qui Préserve l’Optimisation Programmation de la méthode et exemples II- Optimisation globale 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Nous proposons une nouvelle méthode de pénalisation ne nécessitant ni la condition de dérivabilité sur les contrainte ni un nombre élevé de coefficients de pénalisation. Méthode de pénalisation Définition Le problème (P) défini par : où est le sous ensemble de X vérifiant le système 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Problème sans contrainte associé à (P) Méthode de pénalisation Définition. Soit L la fonction définie de dans par : un réel positif. 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Théorème. Méthode de pénalisation Soit le minimiseur global de L(X) alors : de plus, en pratique est un poids choisi de l'ordre de 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Elle consiste à ramener une fonction multi variables à une fonction d'une seule variable à l'aide d'une transformation réductrice. 2 La méthode Alienor Cette transformation est basée sur l'introduction d'une courbe qui remplit l'espace au sens de l'alpha densité. Définition. Un sous espace S est dit -dense dans si : Théorème fondamental Tout point de peut être approché, avec la précision que l'on souhaite, par au moins un point de la transformation Alienor. Soit à résoudre le problème suivant : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale 2 La méthode Alienor On construit alors une courbe paramétrée telle que : le problème devient alors : où 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale La première transformation réductrice proposée par les inventeurs de cette méthode utilise la spirale d'Archimède 2 La méthode Alienor En coordonnées polaires ce point s'écrit : On peut alors relier r et grâce à la spirale d'Archimède d'équation dont la représentation graphique est donnée par la figure. 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale 2 La méthode Alienor Nous obtenons alors : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Nouvelle transformation réductrice 2 La méthode Alienor De façon précise, considérons la transformation réductrice suivante : où les sont définis comme suit : et les sont deux suites choisies lentement croissantes On peut démontrer le théorème suivant : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Théorème 2 La méthode Alienor La transformation est alpha dense avec un coefficient de densité : Proposition. La longueur de la courbe est donnée par : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale S'il est vrai que les transformations que nous venons d'exposer sont totalement justifiées sur le plan théorique il n'en reste pas moins vrai que, dans la pratique, la fonction d'une variable 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation qui en découle possède plusieurs e minima locaux. La recherche du minimum global devient dès lors une tâche difficile. G. Mora, Y. Cherruault et A. Benabidallah ont proposé L'opérateur en question est appelé Opérateur qui Préserve l'Optimisation (O.P.O). 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Définition 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation Soit F un sous-ensemble de Un opérateur est appelé Opérateur qui Préserve l'Optimisation globale ( Optimization-Preserving-Operator ) si pour tout et on a : c'est à dire que les deux ensembles admissibles ont, au moins, un minimiseur global commun. 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Proposition 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation Soient t0 un point arbitraire de , A une constante et la fonction de Heaviside. Soient f une fonction lipchitzienne de constante L et une fonction bijective de classe , avec alors l'opérateur définit par : est un Opérateur qui Préserve l'Optimisation (O.P.O). De plus nous avons : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Un Nouveau type d'opérateur préservant l'optimisation. 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation Définition. Soit f une fonction lipchitzienne définie sur dans et vérifiant la condition de la croissance à l'infini c'est à dire : Pour point arbitraire de , l'opérateur associé à la fonction objectif f , défini de F dans par est appelé Opérateur qui Préserve l'Optimisation* (O.P.O*). 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation Théorème. Soit S l'ensemble des solutions de l'équation Tf (x)=0 : Dans la pratique, la procédure (automatique) pour atteindre le minimum global (en un temps de calcul très court) est résumée par l'algorithme suivant : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Étape 0. Initialisation. 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation On fixe et on choisit une valeur arbitraire On applique l'opérateur au point Étape 1. Résolution d'équation. Résoudre On pose : Si Alors est minimiseur global. 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Fin. 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation Sinon, Étape 2. Modification de Soit On applique au point Retour à l'étape 1 Jusqu'ici, la résolution des problèmes d'optimisation a été faite graphiquement, c'est pour cette raison que nous allons ajouter la fonction d'Heaviside à l'expression de l‘ O.P.O* pour visualiser toutes les valeurs de x réalisant Plus précisément, on a : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Théorème. 3. Opérateur qui Préserve l’Optimisation Soient un point arbitraire de , un réel positif assez petit et la fonction d'Heaviside. Pour toute fonction , l'opérateur donné par : définit un O.P.O . 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Exemples de résolution graphique. Exemple 1(n=1; m=2). Programmation de la méthode et exemples La fonction à minimiser est définie comme suit : avec les contraintes suivantes : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Graphe de f(x) Programmation de la méthode et exemples 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Optimisation globale Laboratoire LANIBIO Graphe des contraintes Programmation de la méthode et exemples Graphe des contraintes 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Optimisation globale Laboratoire LANIBIO Graphe des contraintes + leurs valeurs absolues Programmation de la méthode et exemples 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Première étape : Après avoir tracé les différentes courbes des fonctions nous utilisons la fonction de pénalisation proposée plus haut, Programmation de la méthode et exemples Graphe de L(x). 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Deuxième étape : Cette étape consiste à transformer la fonction de plusieurs variables en une fonction d'une seule variable Programmation de la méthode et exemples Troisième étape : L'utilisation de la technique de l‘ O.P.O * nous donne la fonction Après plusieurs coupures successives on obtient le graphe 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Optimisation globale Graphe de Tf(x). Programmation de la méthode et exemples Un zoom sur le graphe permet d’avoir : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Le VIH/SIDA Le modèle Le contrôle Le paludisme III- APPLICATION 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application F(t) - cellules CD4 non infectées. F*(t) - cellules CD4 infectées latentes F**(t) - cellules CD4 infectées actives V(t) - taille de la population de virus Le VIH/SIDA 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application Le VIH/SIDA La fonction économique est définie par: 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application Le VIH/SIDA Sous les contraintes 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application B est un paramètre (un poids) selon que l'on privilégie un des critères : Le VIH/SIDA 1 - Maximiser la production de CD4. 2 - Minimiser la quantité des ARV. 3 - Diminuer la charge virale. 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application Nous allons rechercher la fonction sous la forme d'un polynôme de degré 3 (approximation polynomiale). Soit donc : Le VIH/SIDA Résolution du système par la méthode d'Adomian. On obtient alors F(t) qui est fonction explicitement des Le problème du contrôle devient alors : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application La méthode Alienor associée à la technique de l‘ O.P.O*. Le VIH/SIDA Après la résolution de l'intégrale définie ci-dessus on obtient un problème d'optimisation globale dans Aussi pouvons nous la ramener à un problème dans en posant : 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application les courbes de et qui caractérisent les critères que nous nous sommes fixés au départ pour le cas où les variables sont les suivantes ; Le VIH/SIDA Graphe de F(t) Graphe de V(t) 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application Graphe de u(t) Le VIH/SIDA 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application P(t) pour la concentration de plasmodium dans le sang en un temps t F(t) pour la concentration d'anticorps dans le sang en un temps t C(t) est le nombre de cellules du plasma qui sécrètent les anticorps F R(t) est le nombre de globules rouges non détruits. 2. Le paludisme 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Application biomédecine Laboratoire LANIBIO Application biomédecine le modèle sans supplémentation 2. Le paludisme 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application le modèle avec supplémentation 2. Le paludisme 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application 2. Le paludisme 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application Le contrôle u(t) a pour objectif de : - Diminuer le coût du traitement. - Maximiser la production d'anticorps. - Réduire le taux de plasmodium, 2. Le paludisme 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application La courbe de C(t) pour le modèle sans supplémentation est donné par la figure : 2. Le paludisme Graphe de C(t) 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application La courbe pour le modèle avec supplémentation est donnée par : 2. Le paludisme Graphe de C(t) 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application 2. Le paludisme Résultats Graphe de F(t) 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Application 2. Le paludisme Graphe de C(t) Graphe de u(t) 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Adaptation de la méthode Alienor à la résolution de certain problème de Recherche opérationnelle 3 En Recherche Opérationnelle Résolution de problème d’optimisation avec un grand nombre de variable. Densification des pavés de a permis la résolution de problèmes classiques de recherche opérationnelle 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

V- Conclusion et perspectives Laboratoire LANIBIO V- Conclusion et perspectives 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Conclusion et perspectives Laboratoire LANIBIO Conclusion et perspectives Nouvelles formulations pour les polynômes en dimension P. Nouvelle technique de pénalisation sans multiplicateurs de Lagrange. Nouvelle transformation réductrice permettant une meilleur densification avec une courbe de longueur minimal, Nouvelle famille d’ O.P.O nommée O.P.O* qui permet de résoudre les problèmes d’optimisation dans R en temps de calcul réduit, Programmation du couplage Adomian Alienor en Maple. Une application de la méthode Alienor à la résolution des problèmes de recherche opérationnelle (en nombres entiers ou booléens) 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Conclusion et perspectives Laboratoire LANIBIO Conclusion et perspectives Perspectives. Recherche de la complexité de l’algorithme. 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine

Nouvelles méthodes pour la biomédecine Laboratoire LANIBIO Publications: KONFE, B. O., CHERRUAULT, Y. and BENNEOUALA, T.,(2005 ) A global Optimization method for large number of variables (variant of Alienor method), Kybernetes, Vol 34, N ° 7/8, pp 1070-1088 KONFE, B. O., CHERRUAULT, Y. and SOME, B.(2005), Solving constrained global optimization problems without penalty parameters, Kybernetes, Vol 34, N ° 7/8, pp 1090-1103. KONFE, B. O., CHERRUAULT, Y., SOME, B. and BENNEOUALA, T. (2005), A new "Optimization-Preserving-Operateur" applied to global optimization, Kybernetes, Vol 34, N ° 7/8, pp 1112-1124. KONFE, B. O., BENNEOUALA, T. CHERRUAULT, Y. and SOME, B.(2005), Alienor Method applied to Operational Reseach,Kybernetes, Vol 34, N ° 7/8, pp 1211-1222. BARRO G., SO O., KONFE B. O., SOME B., (2004), Solving the Cauchy Problem for quasilinear equation with power law nonlinearities by the Adomian Decomposition Method),Far East Journal, 17 (3), pp 277-285. Merci 08/11/2018 Nouvelles méthodes pour la biomédecine