Le plan dans R3 Intersections, angles et distances Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Dans cette présentation, nous verrons comment déterminer les positions relatives de plans et comment utiliser les vecteurs et le produit scalaire pour calculer : l’angle entre deux plans, la distance d’un point à un plan, le point d’un plan le plus rapproché d’un point hors du plan.

Positions relatives de plans dans R3 Plans parallèles Caractéristiques des plans parallèles Les vecteurs normaux sont parallèles : $ k Î R tel que N1 = k N2 Caractéristiques des plans parallèles distincts Lorsqu’un point R(x1; y1; z1) est sur l’un des plans, il ne peut être sur l’autre plan : si R Î ∏1, alors R Ï ∏2 Il n’y a aucun point d’intersection. Caractéristiques des plans parallèles confondus Lorsqu’un point R(x1; y1; z1) est sur l’un des plans, il est sur l’autre plan : si R Î ∏1, alors R Î ∏2 Les plans ont une infinité de points d’intersection.

Positions relatives de plans dans R3 Plans non parallèles Caractéristiques des plan non parallèles Les vecteurs normaux ne sont pas parallèles : " k Î R, N1 ≠ k N2 L’intersection des deux plans (∏1 Ç ∏2) est une droite ∆. On dit que les plans sont concourants ou sécants.

Exemple 11.3.1 ∏1 : x + 2y + 2z = 4 Déterminer la position relative des plans suivants : ∏2 : 2x + 3y + 3z = 7 S S Les plans ne sont pas parallèles, puisque leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. En résolvant le système formé de ces deux équations à l’aide d’une matrice, on a : 1 2 2 4 L1 1 2 2 4 L1 + 2 L2 1 2 ≈ ≈ 2 3 3 7 L2 – 2 L1 –1 –1 –1 –L2 1 1 1 Il ne reste que deux équations où z est une variable libre. En posant z = t, on trouve comme solution générale : {(x; y; z)| x = 2, y = 1 – t, z = t} Cet ensemble représente une droite qui passe par le point (2; 1; 0) et dont = (0; –1; 1) est un vecteur directeur. Les deux plans sont sécants et leur intersection est une droite. D1

Exemple 11.3.2 ∏1 : x + 3y – 2z = 10 Trouver l’intersection des plans suivants : ∏2 : 2x – 4y + 5z = –8 S S ∏3: 3x – y + 2z = 4 En résolvant le système formé de ces trois équations à l’aide d’une matrice, on a : 1 3 –2 10 L1 1 3 –2 10 10L1 + 3L2 10 7 16 2 –4 5 –8 ≈ L2 – 2L1 –10 9 –28 ≈ L2 –10 9 –28 3 –1 2 4 L3 – 3L1 –10 8 –26 L3 – L2 –1 2 L1 + 7L3 10 30 L1 /10 1 3 ≈ L2 + 9L3 –10 –10 ≈ L2 /(–10) 1 1 L3 –1 2 L3/(–1) 1 –2 Dans ce cas, le système a une solution unique. Les trois plans se rencontrent donc en un même point. C’est le point (3; 1; –2).

Exercice ∏1 : x + 3y – 2z = –10 Trouver l’intersection des plans suivants : ∏2 : 3x – 2y + 4z = 31 S S ∏3 : 5x + 4y + z = 16 En résolvant le système formé de ces trois équations à l’aide d’une matrice, on a : 1 3 –2 –10 L1 1 3 –2 –10 11L1 + 3L2 11 8 73 3 –2 4 31 ≈ L2 – 3L1 –11 10 61 ≈ L2 11 –10 –61 5 4 1 16 L3 – 5L1 –11 11 66 L3 – L2 1 5 L1 – 8L3 11 33 L1 /11 1 3 ≈ L2 + 10L3 11 –11 ≈ L2 /11 1 –1 L3 1 5 L3 1 5 Dans ce cas, le système a une solution unique. Les trois plans se rencontrent donc en un même point. C’est le point (3; –1; 5).

Positions relatives et systèmes d’équations La représentation graphique d’une équation à trois inconnues est un plan dans l’espace. Voici quelques cas concernant les systèmes de trois équations à trois inconnues. S S Infinité de solutions Aucune solution Solution unique Lorsque la matrice échelonnée com-porte une équation impossible, le système n’a aucune solution. Lorsqu’il reste moins d’équations que d’inconnues après avoir éche-lonné, on a une infinité de solutions. Lorsqu’il reste autant d’équations que d’inconnues après avoir éche-lonné, on a une solution unique. a b c d a a b c d e b f c g d , où i ≠ 0. , où h ≠ 0. e f g e f i g h i Deux des plans peuvent être parallèles distincts. Les trois plans se rencontrent alors en un même point. Les trois plans ont une droite comme intersection. Ils peuvent également être confondus s’il reste une équation pour trois inconnues. Les plans pris deux à deux peuvent se couper selon des droites parallèles distinctes.

Angle entre deux plans dans R3 Pour calculer l’angle entre deux plans dans R3, on doit déterminer des vecteurs normaux à partir des équations et calculer l’angle q entre ceux-ci. L’angle entre deux plans est toujours compris entre 0° et 90° alors que l’angle entre les vecteurs peut être aigu ou obtus. Si q est l’angle entre les vecteurs normaux, l’angle a entre les plans est donné par : a = q, si 0° ≤ q ≤ 90° a = 180° – q, si 90° ≤ q ≤ 180° Pour obtenir directement l’angle cherché, on prend la valeur absolue avant de calculer l’arccosinus.

Angle entre deux plans dans R3 Procédure pour trouver l’angle entre deux plans dans R3 1. Déterminer un vecteur normal pour chacun des plans. 2. Utiliser le produit scalaire pour déterminer l’angle entre ces vecteurs. 3. Déterminer l’angle entre les plans à partir de l’angle entre les vecteurs normaux. a = q, si 0° ≤ q ≤ 90° a = 180° – q, si 90° ≤ q ≤ 180°

Exemple 9.1.9 S S Trouver l’angle entre les plans : ∏1 : x + 2y – 3z + 4 = 0 ∏2 : 5x – 3y + 4z – 22 = 0 S S Les vecteurs normaux sont donnés par les coefficients des variables dans les équations. On a donc : N1 = (1; 2; –3) et N2 = (5; –3; 4) cos q = N1 N2 • = –13 14 50 D’où : q = arccos = 119,43° 14 50 –13 et : Puisque q > 90°, on a a = 180° – q = 60,57° et l’angle entre les plans est de 60,57°.

Exercice S S Trouver l’angle entre les plans : ∏1 : 2x – 3y + 4z – 12 = 0 ∏2 : 3x – 4y + 5z + 28 = 0 S S Les vecteurs normaux sont donnés par les coefficients des variables dans les équations. On a donc : N1 = (2; –3; 4) et N2 = (3; –4; 5) cos q = N1 N2 • = 38 29 50 D’où : q = arccos = 3,69° 29 50 38 et : Puisque q < 90°, on a a = q = 3,69° et l’angle entre les plans est de 3,69°.

Distances dans R3 Distance d’un point Q à un plan ∏ dont on connaît un vecteur normal. La distance d’un point à un plan est la longueur de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan. On peut trouver cette longueur de la façon suivante. On détermine un point R du plan ainsi que le vecteur RQ. La distance cherchée est alors la longueur de la projection du vecteur RQ sur le vecteur normal N. Remarque : Pour supporter la démarche, on ne représente habituellement pas le système d’axes. On donne simplement un plan, le vecteur normal N et le vecteur RQ joignant le point du plan à celui hors du plan.

Distances dans R3 Procédure pour trouver la distance d’un point Q à un plan ∏ dans R3 (en utilisant un vecteur normal) 1. Déterminer un vecteur normal au plan. 2. Déterminer un point R du plan. 3. Construire le vecteur allant du point R du plan au point Q dont on cherche la distance au plan. 4. Utiliser le produit scalaire pour trouver la projection de ce vecteur sur le vecteur normal. La longueur de cette projection est la distance cherchée. Elle est notée d(Q, ∏).

Exemple 11.3.4 S Trouver la distance du point Q(5; –6; 7) au plan  ∏ : 5x – 3y + z – 16 = 0. Le vecteur normal est N  = (5; –3; 1). Déterminons un point du plan. Posons, par exemple, x = 2 et y = –1 dans l’équation, ce qui donne z = 3. Le point R(2; –1; 3) est un point du plan, puisqu’il satisfait à son équation. On trouve alors : RQ = OQ – OR = (5; –6; 7) – (2; –1; 3) = (3; –5; 4). La distance du point au plan est la longueur de la projection du vecteur sur le vecteur . RQ N  RQ • N 34 On a donc : d (Q, ∏) = = ≈ 5,75 N 35 La distance est d’environ 5,75 unités.

Distances dans R3 Procédure pour trouver la distance entre deux plans parallèles 1. Déterminer un vecteur normal aux deux plans. 2. Déterminer un point Q du plan ∏1 et un point R du plan ∏2. 3. Construire le vecteur allant du point Q au point R. 4. Utiliser le produit scalaire pour trouver la projection de ce vecteur sur le vecteur normal. La longueur de cette projection est la distance cherchée. Elle est notée d(∏1, ∏2).

∏1 : x + 2y – 3z + 4 = 0 et ∏2 : x + 2y – 3z – 22 = 0. Exemple 11.3.5 Trouver la distance entre les plans : ∏1 : x + 2y – 3z + 4 = 0 et ∏2 : x + 2y – 3z – 22 = 0. S Le vecteur normal est N  = (1; 2; –3). Déterminons un point sur chacun des plans. Supposons que notre choix est Q(3; –2; 1) et R(10; 3; –2). On trouve alors : QR = OR – OQ = (10; 3; –2) – (3; –2; 1) = (7; 5; –3). La distance entre les plans est la longueur de la projection du vecteur sur le vecteur . QR N  QR • N 26 On a donc : d (∏1, ∏2) = = ≈ 6,95 N 14 La distance est d’environ 6,95 unités. Remarque : Pour simplifier les calculs, on aurait pu choisir le point (–4; 0; 0) sur ∏1 et le point (22; 0; 0) sur ∏2.

∏1 : 3x – 2y + 4z + 8 = 0 et ∏2 : 3x – 2y + 4z – 24 = 0. Exercice Trouver la distance entre les plans : ∏1 : 3x – 2y + 4z + 8 = 0 et ∏2 : 3x – 2y + 4z – 24 = 0. S Le vecteur normal est N  = (3; –2; 4). Déterminons un point sur chacun des plans. Supposons que notre choix est Q(0; 0; –2) et R(0; 0; 6). R(0; 0; 6) On trouve alors : QR = OR – OQ = (0; 0; 6) – (0; 0; –2) = (0; 0; 8). Q(0; 0; –2) La distance entre les plans est la longueur de la projection du vecteur sur le vecteur . QR N  QR • N 32 On a donc : d(∏1, ∏2) = = ≈ 5,94 N 29 La distance est d’environ 5,94 unités.

Distances dans R3 Distance d’un point Q à un plan dont on connaît deux vecteurs directeurs. On détermine un point R du plan ainsi que le vecteur RQ. On détermine le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs, D1, D2 et RQ donné par la valeur absolue du produit mixte. La distance cherchée est la hauteur du parallélépipède. On l’obtient en divisant le volume par l’aire de la base, soit le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs. Distance d’un point Q à un plan dont on connaît trois points. Soit A, B et C, les points. On procède de façon analogue en consi-dérant les vecteurs D1 = AB, D2 = AC et AQ.

Distances dans R3 Procédure pour trouver la distance d’un point Q à un plan ∏ dans R3 (en utilisant des vecteurs directeurs) 1. Déterminer deux vecteurs directeurs du plan. 2. Déterminer un point R du plan. 3. Construire le vecteur allant du point R du plan au point Q dont on cherche la distance au plan. 4. Utiliser le produit mixte pour trouver le volume du parallélépipède construit sur ces trois vecteurs. 5. Calculer la hauteur du parallélépipède en divisant son volume par l’aire de sa base, soit le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs. La hauteur du parallélépipède est la distance cherchée.

Exercice S S Trouver la distance du point Q(4; 5; 7) au plan ∏ : x = 2 + 3s – 2t y = 5 – 4s + t z = –7 + 5s – 3t Les vecteurs directeurs sont : = (3; –4; 5) et D1 R(2; 5; –7) est un point du plan et D2 = (–2; 1; –3) et RQ = (2; 0; 14). S S Le volume du parallélépipède est alors : 3 –4 5 –2 1 –3 14 2 RQ • (D1 ´ D2) = = –56 3 –4 5 –2 1 –3 i j k D1 ´ D2 = i j k = 7 – 1 – 5 = (7; –1; –5) et d (Q, ∏) = –56 75 D1 ´ D2 = 72 + (–1)2 + (–5)2 = 75 ≈ 6,47 La distance est d’environ 6,47 unités.

Le point d’un plan le plus près d’un point hors du plan Nous savons trouver la distance d’un point Q à un plan, mais comment déterminer le point du plan qui est le plus proche de Q? Le point R d’un plan ∏ le plus proche d’un point Q hors de celui-ci est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. On peut développer diverses stratégies pour trouver les coordonnées de ce point. Nous verrons d’abord comment utiliser les opérations d’addition vectorielle et de produit scalaire pour déterminer le point le plus près, puis nous verrons comment procéder en déterminant l’intersection de lieux géométriques.

Le point d’un plan le plus près d’un point hors du plan Approche vectorielle Procédure pour déterminer le point R d’un plan le plus rapproché d’un point Q hors de ce plan par une approche vectorielle. 1. Déterminer un point P quelconque du plan. 2. Écrire l’équation vectorielle du triangle PQR : PR + RQ = PQ PR + b N = PQ 3. Effectuer le produit scalaire des deux mem-bres de l’équation par le vecteur normal. 4. Déterminer la valeur du scalaire, b, dans l’équation scalaire obtenue par ce produit. 5. Utiliser ce scalaire pour déterminer le vecteur position du point R cherché. OQ + QR = OR

Exemple 11.3.6 Trouver le point du plan ∏ : x + 2y + 3z –28 = 0 le plus proche du point Q(7; 9; 15). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. – La direction de RQ est alors la même que celle du vecteur normal au plan, N = (1; 2; 3). On a donc RQ = b N, P(3; 2; 7) et PQ = (4; 7; 8). En déterminant la valeur de b, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. Pour déterminer cette valeur, il faut d’abord trouver un point P du plan. Remarque La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur normal donne : Sachant que b = 3, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque : La démarche a consisté à déterminer que, pour parvenir au point R à partir du point Q, il fallait se déplacer dans la même direction et dans le sens contraire du vecteur normal et parcourir une distance qui est le triple de la longueur du vecteur normal. OR = OQ + QR = OQ – RQ = OQ – b N = OQ – (3 N) N • (PR + b N ) = N • PQ En posant x = 3 et y = 2 dans l’équation de ∏, on obtient z = 7. Par conséquent, P(3; 2; 7) est un point de ∏. N • PR + b ( N • N ) = N • PQ Cela donne : = (7; 9; 15) – 3(1; 2; 3) = (4; 3; 6) S S S S S S Par l’addition vectorielle, on a : Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a OR N • PR = 0, et : On remarque également que la distance qu’il faut parcourir pour aller de Q à R est la distance du point Q au plan ∏. b N 2 N • PQ = PR + RQ = PQ Le point le plus rapproché est donc R(4; 3; 6). Ce qui donne : 14b = (1; 2; 3) • (4; 7; 8) = 4 + 14 + 24 = 42 et b = 3. PR + b N = PQ

Exercice Trouver le point du plan ∏ : 5x + 3y + z – 16 = 0 le plus proche du point Q(23; 14; –1). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. – La direction de RQ est alors la même que celle du vecteur normal au plan, N = (5; 3; 1). On a donc RQ = b N, P(1; 1; 8) et PQ = (22; 13; –9). En déterminant la valeur de b, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. Pour déterminer cette valeur, il faut d’abord trouver un point P du plan. En posant x = 1 et y = 1 dans l’équation de ∏, on obtient z = 8. Par conséquent, P(1; 1; 8) est un point de ∏. Sachant que b = 4, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque : La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur normal donne : OR = OQ + QR N • (PR + b N ) = N • PQ = OQ – RQ = OQ – b N = OQ – (4 N) N • PR + b ( N • N ) = N • PQ Par l’addition vectorielle, on a : Cela donne : Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a N • PR = 0, et : OR = (23; 14; –1) – 4(5; 3; 1) = (3; 2; –5) PR + RQ = PQ S S b N 2 N • PQ = S S S PR + b N = PQ Le point le plus rapproché est donc R(3; 2; –5). D’où : 35b = (5; 3; 1) • (22; 13; –9) = 110 + 39 + –9 = 140 et b = 4.

Le point d’un plan le plus près d’un point hors du plan (méthode de l’intersection de lieux) Le point d’un plan le plus près d’un point Q hors de ce plan dont on connaît un vecteur normal (équation cartésienne). Le point cherché est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. Cette perpendiculaire est une droite ∆ passant par le point Q et ayant comme vecteur directeur le vecteur normal au plan ∏. On peut donc déterminer une description paramétrique de la droite ∆ et trouver son intersection avec le plan ∏.

Le point d’un plan le plus près d’un point hors du plan (méthode de l’intersection de lieux) Procédure pour déterminer le point R d’un plan le plus rapproché d’un point Q hors du plan par l’intersection de lieux. 1. Déterminer une description paramétrique de la droite passant par le point Q et perpendiculaire au plan ∏ 2. Substituer les équations paramétriques de la droite dans l’équation cartésienne du plan. 3. Calculer la valeur du paramètre au point de rencontre de la droite et du plan. 4. Substituer la valeur du paramètre dans les équations paramétriques pour déterminer les coordonnées du point de rencontre qui est le point le plus rapproché.

Exemple 11.3.6 Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∏ : x + 2y + 3z –28 = 0 le plus proche du point Q(7; 9; 15). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∏. La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∏ est : x = 7 + t y = 9 + 2t z = 15 + 3t En substituant ces équations paramétriques dans l’équation du plan ∏, on obtient : En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : (7 + t) + 2(9 + 2t) + 3(15 + 3t) – 28 = 0 x = 7 + 1 ´(–3) = 4 y = 9 + 2 ´(–3) = 3 z = 15 + 3 ´(–3) = 6 D’où : 7 + t + 18 + 4t + 45 + 9t – 28 = 0 S S Cela donne : 14t + 42 = 0 et t = –3 Le point le plus rapproché est donc R(4; 3; 6).

Exercice Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∏ : 5x + 3y + z – 16 = 0 le plus proche du point Q(23; 14; –1). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∏. La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∏ est : x = 23 + 5t y = 14 + 3t z = –1 + t En substituant ces équations paramétriques dans l’équation du plan ∏, on obtient : En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : 5(23 + 5t) + 3(14 + 3t) + (–1 + t) – 16 = 0 x = 23 + 5 ´(–4) = 3 y = 14 + 3 ´(–4) = 2 z = –1 + 1 ´(–4) = –5 D’où : 115 + 25t + 42 + 9t – 1 + t – 16 = 0 S S Cela donne : 35t + 140 = 0 et t = –4. Le point le plus rapproché est donc R(3; 2; –5).

Conclusion À partir de l’équation cartésienne d’un plan, on peut déterminer un vecteur normal à ce plan. À partir des équations paramétriques d’un plan, on peut déterminer deux vecteurs directeurs de ce plan. Le produit vectoriel des vecteurs directeurs donne un vecteur normal au plan. En utilisant ces vecteurs, on peut déterminer : • l’angle entre deux plans, • la distance d’un point à un plan, • la distance entre deux plans parallèles, • le point d’un plan le plus rapproché d’un point hors du plan.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 11.3, p.321-326. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 11.4, p. 327-328.