Variation et taux de variation Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Lorsqu’on tente de comprendre un aspect d’un phénomène naturel, une approche possible est d’effectuer des mesures et de tenter d’en déduire une relation. Dans cette approche, on modifie la valeur d’une des variables, appelée alors variable indépendante, et on mesure l’impact de ce changement sur une autre variable appelée variable dépendante. On obtient alors des couples de valeurs correspondantes dont la représentation graphique donne un aperçu du lien entre les variables. Le taux de variation est une mesure de l’impact d’un changement de la variable indépendante sur la variable dépendante.

La diminution de température Mise en situation En temps normal, la température intérieure de votre logement est maintenue à 22 °C. Au cours d’une panne d’électricité à la mi-janvier, vous avez relevé la température à l’intérieur de la maison à différents moments à partir du début de la panne. Les valeurs obtenues sont consignées dans le tableau ci-contre. Durée (h) T (°C) 0,00 22,0 0,50 20,3 1,50 17,5 2,75 14,5 3,50 12,9 5,25 9,9 La diminution de température est-elle constante? Pour le savoir, déterminons une mesure de l’évolution de la température par rapport au temps. Il suffit de prendre la différence de température entre la fin et le début de chacun des intervalles et de diviser par le temps écoulé.

Mise en situation ∆T ∆h La variation de température durant la première demi-heure est : Durée (h) T (°C) ∆T = 20,3 – 22,0 = –1,7 °C (°C/h) La variation de temps est : 0,00 22,0 0,50 20,3 1,50 17,5 2,75 14,5 3,50 12,9 5,25 9,9 – –3,4 ∆t = 0,50 – 0,00 = 0,50 h Le taux de variation moyen de la température durant cet intervalle de temps est : –2,8 –2,4 –2,1 –1,7 ∆T ∆t [0,00; 0,50] –1,7 °C 0,50 h = = –3,4 °C/h En calculant le taux de variation moyen durant l’intervalle [0,50; 1,50], on obtient : ∆T ∆t [0,50; 1,50] –2,8 °C 1,00 h = = –2,8 °C/h On peut compléter ces calculs pour les autres intervalles de temps.

Mise en situation 0,00 22,0 0,50 20,3 1,50 17,5 2,75 14,5 3,50 12,9 5,25 9,9 Durée (h) T (°C) ∆T ∆h – –3,4 (°C/h) –2,8 –2,4 –2,1 –1,7 Le calcul des taux de variation moyen permet de constater que la diminution de température est de moins en moins rapide. Le taux de variation moyen d’une variable par rapport à l’autre véhicule de l’information sur le phénomène. Il décrit un aspect de celui-ci. Pour faire une analyse complète du phénomène, le taux de variation moyen n’est pas suffisant. On peut tenter de déterminer un modèle décrivant le lien entre les variables, par une relation ou par une fonction. Mais, voyons d’abord quelques grandeurs physiques qui sont des taux de variation.

Taux de variation et grandeurs physiques Quelques exemples : La vitesse moyenne durant un intervalle de temps [c; d] est le taux de variation de la position par rapport au temps durant cet intervalle. Elle est mesurée en mètres par seconde (m/s). L’accélération moyenne durant un intervalle de temps [c; d] est le taux de variation de la vitesse par rapport au temps. L’accélération est mesurée en mètres par seconde par seconde (m/s2); Le débit moyen durant un intervalle de temps [c; d] est le taux de variation du volume de liquide par rapport au temps. Il est mesuré en mètres cubes par seconde (m3/s) ou en litres par seconde (L/s); Le courant moyen durant un intervalle de temps [c; d] est le taux de variation de la charge par rapport au temps. Il est mesuré en coulombs par seconde (C/s) ou en ampères (A). La relation entre les unités de mesure est 1 C/s = l A;

Relation et fonction On soupçonne qu’il y a un lien entre la résistance d’un conducteur et la température. Pour s’en assurer, on peut appliquer le protocole suivant : 1. Construire un circuit suivant le schéma ci-contre. 2. Refroidir celui-ci jusqu’à –20 °C, fermer le circuit. 3. Réchauffer le circuit jusqu’à 30 °C. 4. Mesurer la résistance à diverses tempé-ratures à intervalles de 10 °C. Supposons que les mesures observées sont celles du tableau suivant : T (°C) –20 –10 0 10 20 30 R (Ω) 17,2 19,4 21,5 23,7 25,7 28,0

f : {(–20; 17,2), …,(–10; 19,4), …, (0; 21,5), …, (30; 28,0), …} Relation et fonction En récoltant les données de ce tableau, on a couplé des mesures. L’ensemble de ces couples constitue une relation. Dans notre mise en situation, ces couples donnent un aperçu de la relation entre la résistance et la température. L’ensemble de ces couples peut également être représenté de la façon suivante : Couple f : {(–20; 17,2), …,(–10; 19,4), …, (0; 21,5), …, (30; 28,0), …} Préimage du couple Image du couple DÉFINITION Fonction Une fonction est une relation pour laquelle chaque préimage a une et une seule image.

Représentations d’une fonction Extension Représentation sous la forme d’un tableau ou d’une liste de couples. T (°C) –20 –10 0 10 20 30 R (Ω) 17,2 19,4 21,5 23,7 25,7 28,0 Graphique R 28 24 20 16 12 8 En associant à chaque couple d’une relation un point dans un système de référence cartésien. On obtient une courbe qui est la représentation graphique de cette relation. Résistance (Ω) La variable indépendante est repré-sentée sur l’axe horizontal et la variable dépendante sur l’axe vertical. –30 –20 –10 10 20 30 T Température (°C)

Représentations d’une fonction Compréhension Représentation sous la forme : f : {(T; R) Î R2 | ••• } où ••• devrait être une phrase ou une équation décrivant la relation entre les variables observées et permettant d’en faire l’analyse dans des cas complexes. f : {(T; R) Î R2 | R = 0,215T + 21,51} Verbale La représentation verbale est la description en mots d’une situation comportant des variables entre lesquelles il existe une relation. Dans ces cas, il faut traduire la description verbale en écriture symbolique pour obtenir la représentation en compréhension.

Modélisation La modélisation d’un phénomène est la démarche qui vise à décrire celui-ci par une relation en compréhension. Le modèle est dit global, lorsqu’il décrit la correspondance pour l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable indépendante ou l’ensemble des valeurs obtenues expérimentalement. Il est dit local s’il décrit seulement un sous-intervalle de l’ensemble des valeurs possibles. Il est dit par segments (ou par intervalles) si le modèle comporte plus d’une équation et que chacune de celles-ci n’est valide que sur un intervalle déterminé. La représentation graphique permet de visualiser le comportement des variables et de faire des hypothèses sur le type de lien entre les variables. Ainsi, lorsque les points sont alignés, on peut faire l’hypothèse d’un lien affin entre les variables.

Fonction affine DÉFINITION Fonction affine Une fonction affine est une fonction de la forme : f(x) = ax + b où a et b sont des nombres réels et a ≠ 0. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite dont l’intersection avec l’axe vertical est (0; b). ( x2; y2) (0; b) ∆y = y2 – y1 Le coefficient a est appelé pente de la droite ou taux de variation de la relation. ( x1; y1) ∆x = x2 – x1 ∆y ∆x y2 – y1 x2 – x1 a = =

Domaine DÉFINITION Domaine d’une fonction On appelle domaine d’une fonction l’ensemble des valeurs qui ont une image par la fonction. DÉFINITION Domaine de validité d’un modèle On appelle domaine de validité d’un modèle l’intervalle pour lequel le modèle est valide, compte tenu de la situation qu’il décrit.

Continuité c d c d DÉFINITION Fonction continue sur un intervalle Lorsque le graphique d’une fonction sur un intervalle de son domaine est constitué d’une seule courbe ne comportant pas de coupures, on dit que la fonction est continue sur cet intervalle. c d c d Continue sur [c; d] Discontinue sur [c; d]

Variation c d DÉFINITION Variation On appelle variation tout changement de la valeur d’une variable. On représente une variation par la lettre grecque ∆ (delta). Ainsi ∆x, qui se lit delta x, représente une variation de la variable x. Si la valeur initiale de cette variable dans un intervalle est représentée par c et la valeur finale par d, la variation ∆x est donnée par : (d; f(d)) ∆x = d – c ∆y Soit f, une fonction continue sur un intervalle fermé [c; d]. La variation ∆y de cette fonction dans l’intervalle [c; d] est définie par : c d ∆x = d – c (c; f(c)) ∆y = f(d) – f(c)

Taux de variation f(d) – f(c) d – c = c d DÉFINITION Taux de variation Soit y = f(x), une fonction continue sur un intervalle fermé [c; d] Ì domf. On appelle taux de variation moyen de f dans l’intervalle [c; d] le rapport : = f(d) – f(c) d – c ∆y ∆x [c; d] c (c; f(c)) d (d; f(d)) ∆x = d – c ∆y Le taux de variation moyen est le rapport de la variation de la variable dépendante à la variation de la variable indépendante sur un intervalle particulier. Graphiquement, c’est la pente de la sécante passant par les points (c; f(c)) et (d; f(d)).

Exemple Le graphique ci-contre représente la vitesse v d’un mobile en fonction du temps t. ∆v ∆t Calculer le taux de variation moyen de la vitesse durant l’intervalle [1; 4]. On peut estimer graphiquement que la vitesse à 1 s est de 0,6 m/s et à 4 s, elle est de 1,2 m/s, d’où : Le taux de variation moyen est positif et signifie que, durant cet intervalle, la vitesse augmente, en moyenne, de 0,2 mètre par seconde à chaque seconde. Le taux de variation de la vitesse par rapport au temps est une accélération. ∆v = v2 – v1 = 1,2 – 0,6 = 0,6 m/s La durée de l’intervalle est : ∆t = t2 – t1 = 4 – 1 = 3 s ∆t = t2 – t1 = 4 – 1 = 3 s Le taux de variation est alors : = 0,6 m/s 3 s ∆v ∆t [1; 4] = 0,2 m/s2 S S S

Vocabulaire des formes Le taux de variation d’une fonction non affine n’est pas constant et la courbe d’une telle fonction peut avoir une des quatre formes élémentaires du tableau suivant. Formes élémentaires Concave vers le haut Concave vers le bas Croissante Décroissante

Formes composées Un phénomène qui n’a que l’un de ces comportements est dit monotone. Si le phénomène n’est pas monotone, la courbe de la fonction a alors un ou des changements de comportement. Elle peut alors avoir une des caractéristiques du tableau suivant. Formes composées Continue Discontinue Lisse Non-lisse

Exemple On lance une balle verticalement avec une vélocité de 20 m/s. La position de la balle mesurée à partir du sol est décrite par : s = f(t) = 20t – 4,9t2 mètres Trouver le taux de variation moyen de s par rapport à t durant l’intervalle de temps [1,75; 3], représenter graphiquement ce taux de variation et interpréter. Trouver le taux de variation moyen de s par rapport à t durant l’intervalle de temps [0,5; 1,75], représenter graphiquement ce taux de variation et interpréter. 8,97 m/s –3,27 m/s La balle s’approche du sol de 3,27 mètres par seconde en moyenne durant cet intervalle de temps. La balle s’éloigne du sol de 8,97 mètres par seconde en moyenne durant cet intervalle de temps. S S S S

Conclusion Le taux de variation moyen est une mesure de la rapidité avec laquelle une variable dépendante réagit à une variation de la variable indépendante. On peut estimer le taux de variation moyen lorsque la fonction est définie par une représentation graphique continue ou supposée telle. On peut le calculer lorsque la fonction est continue et définie en extension ou en compréhension. Lorsque la fonction est décrite verbalement, il faut d’abord traduire en langage symbolique (définir en compréhension) pour pouvoir le calculer.

Lecture Calcul différentiel en sciences de la nature, section 1.1, p.3 à 11. Exercices Calcul différentiel en sciences de la nature, section 2.2, p. 12 à 14.