Plan Introduction Parcours de Graphe Optimisation et Graphes Plus courts chemins Généralités De 1 vers n - Valuations positives - Algorithme de Dijkstra De 1 vers n - Valuations quelconques - Algorithme de Bellman-Ford Plus courts chemins de n vers n Problèmes de flots Changer le plan Introduction (Prévisions: C1) p8 Généralités C1 Quelques définitions C1 p15 Représentations informatiques C1 p28 Parcours de Graphes (Prévisions : C1 C2) p39 Principe du parcours C1 Parcours en profondeur C2 p50 Parcours en largeur C2 p56 Premiers problèmes de Graphes (C2, C3) p61 Connexité et Forte connexité C2 (et exercice graphe inverse à déplacer après CFC) Tri topologique C3, C3 p73 Chemins, Fermeture Transitive C3 p81 Optimisation et Graphes (C4, C5, C6, C7, C8) p91 Plus courts chemins C4 (Dijkstra avant variantes) C5 (fin Dijkstra, Bellman p114 et variantes, Floyd p126) Arbres C6 Flots C7, C8 p 132 C6 flot max
3.3. Plus courts chemins – Valuations quelconques Et pour des valuations quelconques L’algorithme de Dijkstra n’est plus correct Existence de chemins de cout minimal Pas de circuit de longueur négative Principe de programmation dynamique Initialisation Cost_0(s) = 0 Cost_0(x) = Récurrence Cost_k(x) = MIN (Cost_k-1(x), Cost_k-1(y) + W(y, x) ), pour tout y prédécesseur de x
3.3. Plus courts chemins – Valuations quelconques Principe de la méthode Calcul incrémental de Cost_k(x) Arrêt : Les couts n’évoluent pas Un nombre maximal d’itérations est atteint En effet, si le graphe ne contient pas de circuit absorbant Un chemin solution comportera au plus n-1 arcs (arêtes) car on ne recherche que des chemins élémentaires Si le nombre d’itérations atteint n alors un circuit absorbant a été détecté
3.3. Plus courts chemins – Algorithme de Moore-Bellman-Ford : Exemple Exemple : PCC à partir de x1 1 itération : Parcours (et mise à jour) de tous les sommets x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x2 x3 x4 x5 x6 4, x1 6,x1 7,x2 8,x4 10,x5 3,x4 7,x3 9, x5 x1 x2 x3 x4 x5 x6 4, x1 6,x1 7,x2 8,x4 10,x5 x1 x2 x3 x4 x5 x6 4, x1 6,x1 7,x2 8,x4 10,x5 3,x4 7,x3 9, x5 Arrêt : pas de mise à jour