3 Physique des ondes

3 1er SEMESTRE Objet du cours / TD Heures Oscillateurs harmoniques : 1 – 4 Oscillateurs harmoniques : Rappel . Définition. Analogie électrique. 4 – 18 Oscillateurs harmoniques couplés : Mouvement libre sans frottement. Modes propres. Battements. Résonances. Analogies électriques. Couplage capacitif. Couplage inductif. 18– 22 Equation d’onde de d’Alembert : Chaines infinies d’oscillateurs. Approximation du milieu continu. Corde vibrante. Solutions de l’équation de d’Alembert. Oscillations libres d’une corde fixée à ses extrémités : modes propres. Oscillations forcées d’une corde fixée à une extrémité. 22 – 24 Ondes acoustiques dans les fluides : Ondes de pression dans une colonne Aspects énergétiques Ondes planes stationnaires Réflexion-transmission. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Chapitre trois : Equation d’onde de D’Alembert Cas de n oscillateurs couplés. Passage à la limite. Vibrations transversales d’une corde. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 3.1 Cas de n oscillateurs couplés Considérons un système formé de n points matériels de même masse m reliés par des ressorts de même constante de raideur k. a x Les différentes masses sont repérées par leurs abscisses à partir de leurs positions d’équilibre sur l’axe x. On notera a la distance entre deux masses consécutives au repos. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 A la première masse à gauche, on impose un mouvement sinusoïdal de forme : le mouvement de la masse 1 entraine, par suite de compression et de détente de ressorts et de proche en proche, un mouvement sinusoïdal de la masse 2, puis 3….. représente une perturbation, il s’agit ici de l’abscisse de la masse par rapport à sa position d’équilibre. 19/11/2018 Physique des ondes I

2 L’équation différentielle qui régit le mouvement de la masse n peut s’écrire : 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Les solutions de cette équation en se limitant qu’aux oscillations forcées (régime permanent) peuvent s’écrire : Attention : le K représente une grandeur qui sera définie plus loin. Ce n’est pas la constante de raideur k du ressort !! 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Dans l’ensemble des complexes l’équation s’écrit : 19/11/2018 Physique des ondes I

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Rappel mathématique : 3 19/11/2018 Physique des ondes I

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3 Retour sur les ondes 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Cette relation lie la pulsation Ω de la source à la pulsation propre ω0 ainsi qu’à une certaine grandeur K appelé vecteur d’onde. Cette relation est appelé relation de dispersion. 19/11/2018 Physique des ondes I

3.2 Passage à la limite. 3 Dans le système précédent nous avons supposé qu’on avait un nombre n d’oscillateurs ; supposons maintenant que ce nombre tende vers l’infini….c’est à dire que ce nombre est très grand. 19/11/2018 Physique des ondes I

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3 a la dimension d’une vitesse au carré, 19/11/2018 Physique des ondes I

3 on pose 19/11/2018 Physique des ondes I

3 C’est l’équation de propagation d’une onde Toute solution de l’équation représente une onde qui se propage le long de l’oscillateur. 19/11/2018 Physique des ondes I

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3.2 Vibrations transversales d’une corde. On considère une corde inextensible, de masse linéique μ, tendue horizontalement avec une force constante F. On négligera le poids de la corde devant la force appliquée. On applique une petite perturbation à la corde, à l’origine O par exemple, on étudie la propagation de cette perturbation le long de l’axe x, les différents éléments de la corde vont subir des déplacements le long de l’axe Oy . C’est une propagation transversale. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 x O y Soit une portion élémentaire dx de la corde comprise entre les abscisses x et x + dx. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Les déplacements verticaux ↕ sont très petits et les déplacements horizontaux ↔ seront négligés. La masse de la portion de corde est dm = μdx. et sont les tensions exercées respectivement sur la partie gauche et droite de l’élément étudié. quand on fait tendre Δx vers zéro. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 y B A α(x+Δx) α(x) O x x + Δx 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Le théorème du centre d’inertie appliqué à cet élément de corde s’écrit : 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Projection sur l’axe Ox : Projection sur l’axe Oy : 19/11/2018 Physique des ondes I

Rappel mathématique : 3 α est petit 19/11/2018 Physique des ondes I

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3 La dérivée en un point est égale à la tangente de l’angle formé par la tangente géométrique au point donné. α 19/11/2018 Physique des ondes I

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3 Le déplacement transversal y(x ; t) obéit à l’équation ci-dessus appelée équation d’onde ou équation de d’Alembert. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 3.4 Solution générale de l’équation de D’ALEMBERT Soit f ( x-vt ) une fonction quelconque deux fois dérivable, de la variable x-vt. Cette fonction est solution de l’équation d’onde. 19/11/2018 Physique des ondes I

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3 De même, une fonction quelconque g( x+v t ) sera solution de l’équation d’onde. 19/11/2018 Physique des ondes I

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3 Toute combinaison linéaire de ces solutions est solution de l’équation d’onde. Toute combinaison linéaire de ces solutions est solution de l’équation d’onde. Ces ondes se propageant suivant une seule direction x, sont appelées ondes planes. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Cette fonction représente une onde se propageant dans la direction des x croissant. En effet La fonction f reprend à un instant t + l / v plus tard , à l’abscisse x + l la valeur qu’elle avait auparavant à l’instant t et à l’abscisse x. Cette fonction d’onde se propage dans le sens des x positifs. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Autre méthode La fonction f reprend à un instant t plus tard , à l’abscisse x la valeur qu’elle avait auparavant à l’instant t - l / v et à l’abscisse x - l. Cette fonction d’onde se propage dans le sens des x positifs. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Cette fonction représente une onde se propageant dans la direction des x décroissant. En effet La fonction g reprend à un instant t + l / v plus tard , à l’abscisse x - l la valeur qu’elle avait auparavant à l’instant t et à l’abscisse x. Cette fonction d’onde se propage dans le sens des x négatifs. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Autre méthode La fonction g reprend à un instant t plus tard , à l’abscisse x la valeur qu’elle avait auparavant à l’instant t - l / v et à l’abscisse x + l. Cette fonction d’onde se propage dans le sens des x négatifs. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Les deux solutions mathématiques de l’équation des ondes n’existent pas toujours, cela dépend du problème physique. S’il n’y a qu’une seule fonction mathématique, on parle d’onde progressive : c’est ce qui se passe quand on a un milieu infini. Si le milieu n’est pas infini on a alors deux solutions, la deuxième correspondant à l’onde réfléchi. En un point x du milieu se superposent donc une onde incidente et une onde réfléchie. 19/11/2018 Physique des ondes I

3.5 Ondes monochromatiques progressives Une onde progressive est dite monochromatique si elle peut être mise sous la forme : Vérifions que cette fonction est bien solution de l’équation des ondes. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 L’équation d’onde est donnée par : 19/11/2018 Physique des ondes I

3 On voit bien que la fonction est bien solution de l’équation d’onde. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 La fréquence, la période et la pulsation sont des grandeurs qui ne dépendent pas de la nature du milieu mais uniquement de la source. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 La longueur d’onde est une période spatiale selon x, comme T : période temporelle et 2π période angulaire. La longueur d’onde dépend de la vitesse du milieu et donc du milieu. 19/11/2018 Physique des ondes I

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3 Equation d’une onde plane progressive monochromatique 19/11/2018 Physique des ondes I

3 On définit aussi un vecteur appelé vecteur d’onde dont l’unité dans le S.I est le m-1 par  : ou 19/11/2018 Physique des ondes I

3 ou ou 19/11/2018 Physique des ondes I

3.6 Ondes stationnaires 3 Une forme générale de l’équation de D’Alembert est donnée par : Dans certains cas, la solution de l’équation de D’Alembert s’écrit sous la forme : Les deux variables x et t sont découplées. L’onde alors ne se propage plus : il s’agit d’une onde stationnaire. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 L’amplitude de cette onde décrite par F(x) est constante pour un x donné. Il peut exister des points pour lesquelles F(x) = 0 : ce sont les nœuds de l’onde stationnaire et des points pour lesquels F(x) est maximale : ce sont des ventres de l’onde stationnaire. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 3.7 Superposition de deux ondes planes monochromatiques L’onde incidente : l’onde réfléchie : En un point M quelconque l’onde résultante est la somme de ces deux ondes. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 On obtient une onde stationnaire. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 A 5 λ 1 ω 6,28 T 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Les nœuds de vibration pour lesquelles la fonction d’onde est nulle sont tels que : Deux nœuds successifs sont distants de 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Entre les nœuds, on a des ventres de vibration, ils sont tels que : 19/11/2018 Physique des ondes I

3 3.8 Cas de la corde vibrante (corde de Melde) Le montage comporte une corde fixée à un diapason entretenu par un vibreur, l’autre extrémité de la corde est fixée à une masse. La fréquence de vibration est imposée par le vibreur. Lorsque la longueur de la corde entre le diapason et la poulie et la force appliquée par l’intermédiaire de la masse m sont quelconques, on observe une corde épaisse et floue. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 Si on modifie la longueur de la corde ou la tension exercée sur la corde, on aperçoit la formation de nœuds et de ventres d’une onde stationnaire. http://www.ac-grenoble.fr/disciplines/spc/genevieve_tulloue/file/gtulloue/Ondes/ondes_stationnaires/melde.html 19/11/2018 Physique des ondes I

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3 3.8.2 Corde avec extrémité libre On repend le montage précédent et on maintient la corde verticalement, son extrémité est libre de se mouvoir malgré la présence d’une force. Pour un réglage donné, on voit la formation d’un certain nombre de fuseaux, on obtient des ondes stationnaires avec un nœud au niveau du diapason et un ventre à l’autre extrémité de la corde. 19/11/2018 Physique des ondes I

3 3.8.3 Corde fixée aux deux extrémités. Considérons une corde de longueur L fixée à ses deux extrémités en x = 0 et en x = L. Supposons une onde monochromatique se déplaçant le long de cette corde dans le sens de x positifs d’amplitude A et une onde d’amplitude B de même pulsation ω dans le sens des x négatifs. 19/11/2018 Physique des ondes I

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3 N représente la fréquence 19/11/2018 Physique des ondes I

3 C’est la fréquence fondamentale. C’est la première harmonique. 19/11/2018 Physique des ondes I

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3 http://www.ac-grenoble.fr/disciplines/spc/genevieve_tulloue/file/gtulloue/Ondes/Index_Ondes.html 19/11/2018 Physique des ondes I

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Fin du troisième chapitre 3 Fin du troisième chapitre 19/11/2018 Physique des ondes I