Eléments Réduction 1 Une poutre droite, de longueur L et reposant sur deux appuis simples en G0 et G1, est soumise à une charge uniformément répartie de taux p. Calculer les éléments de réduction pour chaque configuration Tracer les diagrammes de efforts et des moments correspondants Configuration 1 Configuration 2

p Résolution x y Ry0 Ry1 G Principe de calcul (cas Pb plan) G y Ry0 Elts Réd1 Résolution Les réactions d'appuis ont été résolues par le PFS (Principe fondamental de la statique) x y Réactions d'appuis : Ry0=Ry1=pL/2 Ry0 Ry1 Il s'agit d'identifier en chaque point G d'abscisse X de la poutre la valeur résultante des efforts selon x, y et moments autour de z du tronçon à gauche de X càd : 0  t  X t G X Détermination des éléments de Réduction Principe de calcul (cas Pb plan) Couper virtuellement la poutre en deux parties,au point d'abscisse X: Chaque tronçon est en équilibre : G y X Le tronçon de Gauche Ry0 p Ry1 X G 1 x Le tronçon de Droite Pour déterminer les réactions d’appui, on peut remplacer un chargement réparti, par une charge équivalente appliquée en son centre de gravité Ici : Charge pL appliquée au milieu de la poutre (L/2) Le tronçon de gauche est sollicité par le Torseur des actions extérieures gauches Le tronçon de droite est sollicité par le Torseur des actions extérieures droites L'ensemble est en équilibre, Donc

p Résolution G y Ry0 TGy x y z G MGx G MGz NGx Elts Réd1 Détermination des Eléments de Réduction Torseur Elts Réduction Elts de réduction G y Le tronçon de Gauche Ry0 p TGy Un effort selon l'axe y tangent à la section appelé Effort tranchant : TGy x y z G Un moment autour de l'axe x normal à la section appelé Moment de torsion : MGx MGx X G MGz Un moment autour de l'axe z tangent à la section appelé Moment de flexion : MGz NGx Un effort selon l'axe x normal à la section appelé Effort normal : NGx La détermination des éléments de réduction correspond au calcul du Torseur des Elts de réduction c.à.d du Torseur des actions extérieures gauches calculé en tout point G d'abscisse x pour 0  x  L Ce torseur est exprimé au centre de Gravité G de la section au point ( passe par la fibre moyenne) et se décompose en : Pour déterminer les réactions d’appui, on peut remplacer un chargement réparti, par une charge équivalente appliquée en son centre de gravité Ici : Charge pL appliquée au milieu de la poutre (L/2) Le principe de calcul redevient alors le même que pour celui des actions aux liaisons : En particulier on peut remplacer une charge répartie, par sa charge équivalente appliquée en son centre de gravité

Sens de rotation positif Elts Réd1 Résolution 1) Vérification du repère (+) Sens de rotation positif y x Ry0 G X 2) Indication du sens de rotation positif p * Remplacement de la charge répartie p par une force de même intensité au centre de gravité y x Ry0 G (+) X 1) Calcul effort normal (proj/x) X/2 px NGx=0 2) Calcul effort tranchant (proj/y) TGy=Ry0-px 3) Calcul moment flexion (rot/z) MGz=-Ry0*(x)+px*(x/2) Pour déterminer les réactions d’appui, on peut remplacer un chargement réparti, par une charge équivalente appliquée en son centre de gravité Ici : Charge pL appliquée au milieu de la poutre (L/2) Solution : NGx=0 TGy=Ry0-px MGz=-Ry0*(x)+px2/2 NGx, TGy, MGz sont des fonctions qui dépendent de x, on va donc tracer leur diagramme RDV page suivante

(x=L/2) MGz=-Ry0*(L/2)+p(L/2)2/2 Elts Réd1 Solution : NGx=0 TGy=Ry0-px MGz=-Ry0*(x)+px2/2 Tracé des Diagrammes x y Ry0 Ry1 G 1 x T Diagramme effort tranchant: TGy=Ry0-px Ry0 pL/2 -pL/2 x=L/2 T=0 Ry1 pL/2 -pL/2 G 1 x Mz Diagramme moment de flexion : MGz=-Ry0*(x)+px2/2 x=L/2 (x=L/2) MGz=-Ry0*(L/2)+p(L/2)2/2 =-pL2/8 -pL2/8

Elts Réd1 Remarque sur le Tracé des Diagrammes x y Ry0 Ry1 Chargement& Géométrie symétriques par rapport à x=L/2 x=L/2 G 1 x T Diagramme effort tranchant: Anti-symétrique par rapport à la droite x=L/2 Ry0 x=L/2 Ty(x) Ty(x)=-Ty(L-x) x // T=0 L-x // Ry1 Ty(L-x) Diagramme moment de flexion : Symétrique par rapport à la droite x=L/2 G 1 x Mz x=L/2 Mz(x)=Mz(L-x) L-x // x // Mz(x) =Mz(L-x)

Fin Conclusion: Récapitulatif x y Ry0 Ry1 G x T Ry1 Ry0 T=0 G x Mz Elts Réd1 Elts Réduction : NGx=0 TGy=Ry0-px MGz=-Ry0*(x)+px2/2 Conclusion: Récapitulatif x y Ry0 Ry1 Diagramme effort tranchant: TGy=Ry0-px G 1 x T Ry1 -pL/2 Ry0 pL/2 x=L/2 T=0 pL/2 -pL/2 Diagramme moment de flexion : MGz=-Ry0*(x)+px2/2 x=L/2 -pL2/8 G 1 x Mz Fin

Elts Réd1 Configuration 2 Une poutre droite, de longueur L et reposant sur deux appuis simples en G0 et G1, est soumise à une charge uniformément répartie de taux p. Calculer les éléments de réduction Tracer les diagrammes de efforts et des moments correspondants L/3 2L/3 G 1 p

Sens de rotation positif Elts Réd1 1) Vérification du repère (+) Sens de rotation positif y x Ry0 Ry1 2) Indication du sens de rotation positif 2L/3 p G 1 L/3 3) Ry0 et Ry1 ont été calculé par la résolution du PFS G:0xL/3 G:L/3x  L Ry0=3pL/4 Ry1= pL/4 L'expression des éléments de réduction est la même pour tout point G d'abscisse 0  x  L/3 (elle dépendra de p, et de x) pour tout point G d'abscisse L/3  x  L, il faudra rajouter à P la force Ry0 (action de l'appui en G0) dans l'expression des éléments de réduction Principe de calcul Pour faciliter l'organisation du calcul, on l'organise dans un tableau RDV page suivante

px p px p p G x y Ry0 Ry1 L/3 G x y Ry0 L/3 Ry1 G x y Ry0 L/3 Ry1 G x Elts Réd1 Principe de calcul : « Approche géométrique » 2L/3 px G 1 x y Ry0 Ry1 L/3 X/2 2L/3 G 1 x y Ry0 L/3 Ry1 p 2L/3 G 1 x y Ry0 L/3 px X/2 Ry1 2L/3 p G 1 x y Ry0 Ry1 L/3 2L/3 p G 1 x y Ry0 Ry1 L/3 Valeur de x Effort Tranchant Moment de flexion G:0xL/3 G:L/3x  L T(x)=-px +Ry0 T(x)=-px T(x)=-px+ 3pL/4 Mz(x)=px *(x/2) Mz(x)= px *(x/2) - Ry0*(x-L/3) Mz(x)=px2/2 Mz(x)=px2/2 - 3pL/4*(x) + pL2/4 RDV page suivante

p G x y Ry0 Ry1 L/3 Principe de calcul : « Approche mathématique » Elts Réd1 Principe de calcul : « Approche mathématique » 2L/3 p G 1 x y Ry0 Ry1 L/3 Valeur de x Effort Tranchant Moment de flexion T(x)=-px G:0xL/3 G:L/3x  L T(x)=-px+ 3pL/4 +Ry0 Mz(x)=px2/2 +C1 Mz(x)=px2/2 - 3pL/4*(x) +C2 Pour déterminer les constantes C1, on utilise une position où la valeur du moment est connue Par exemple, x=0 : Mz(0)=0  C1=0 x=L : Mz(L)=0  C2= -pL2/2+3pL2/4 , C2= pL2/4 Moment de flexion Mz(x)=px2/2 Mz(x)=px2/2 - 3pL/4*(x) + pL2/4 RDV page suivante Il reste à tracer les diagrammes

Mz(x)=px2/2 - 3pL/4*(x) + pL2/4 G 1 x y Ry0 Ry1 L/3 Elts Réd1 Valeur de x Effort Tranchant G:0xL/3 G:L/3x  L T(x)=-px T(x)=-px+ 3pL/4 x T Diagramme effort tranchant 5pL/12 Ry0 -5pL/12 x=3L/4 T=0 G 1 x=L/3 Ry1 -pL/4 -pL/3 pL/4 pL/3 Moment de flexion Mz(x)=px2/2 Mz(x)=px2/2 - 3pL/4*(x) + pL2/4 x Mz G 1 x=L/3 x=3L/4 Diagramme moment de flexion pL2/18 -pL2/32

Mz(x)=px2/2 - 3pL/4*(x) + pL2/4 Ry1 2L/3 p G 1 x y Ry0 L/3 Elts Réd1 Conclusion: Récapitulatif Ry0=3pL/4 Ry1= pL/4 Valeur de x G:0xL/3 G:L/3x  L Effort Tranchant T(x)=-px T(x)=-px+ 3pL/4 Diagramme effort tranchant Ry1 -pL/4 Ry0 G 1 x=L/3 x T -pL/3 5pL/12 x=3L/4 T=0 Moment de flexion Mz(x)=px2/2 Mz(x)=px2/2 - 3pL/4*(x) + pL2/4 Fin x Mz G 1 x=L/3 x=3L/4 pL2/18 Diagramme moment de flexion pL/3 pL/4 -pL2/32 -5pL/12

M=pL2/5 F=pL L/3 2L/3 p Exemple Elts Réd1 Exemple Une poutre droite, de longueur L et reposant sur deux appuis simples en G0 et G1, est soumise à une charge uniformément répartie de taux p, et une force F=-pL et un couple M=pL2/5. Calculer les éléments de réduction Tracer les diagrammes de efforts et des moments correspondants F=pL L/3 2L/3 G0 p G1 M=pL2/5

Sens de rotation positif Elts Réd1 (+) Sens de rotation positif 1) Vérification du repère F=pL L/3 2L/3 G0 p G1 M=pL2/5 x y 2) Indication du sens de rotation positif 3) Ry0 et Ry1 sont calculés par la résolution du PFS Remplacement par un problème équivalent F=pL L/3 2L/3 G0 G1 M=pL2/5 (+) x y Ry0 Ry1 pL L/2 Projection Axe Y : Solution : Ry0= 31pL/20 Ry1= 9pL/20 Ry0+Ry1-2pL=0 Moment /G0 : -pL*(L/6) -pL*(L/3) +pL2/5 + Ry1*(2L/3) =0

Sens de rotation positif Elts Réd1 1) Calcul des Eléments de Réduction (+) Sens de rotation positif F=pL L/3 2L/3 G0 p G1 M=pL2/5 x y 31PL/20 9PL/20 Valeur de x Effort Tranchant Moment de flexion G:0xL/3 G:L/3x2L/3 G:2L/3x  L T(x)=-px +Ry0 T(x)=-px+ 31pL/20-pL/20 T(x)=-px T(x)=-px+ 31pL/20 T(x)=-px+ 11pL/20 Mz(x)=px2/2 Mz(x)=px2/2 +C1 Mz(x)=px2/2 - 31pL/20*(x) - 11pL/20*(x) +C2 +C3 x=0 : Mz(0)=0  C1=0 Détermination des constantes x=L/3 : Mz(L/3)<=Mz(L/3)>  C2 - 31pL/20*L/3 =0 , C2= 31pL2/60 x=L : Mz(L)=0  pL2/2 - 11pL/20*L+ C3 =0 , C3= pL2/20 Moment de flexion Mz(x)=px2/2 Mz(x)=px2/2 Mz(x)=px2/2 - 31pL/20*(x) - 11pL/20*(x) + 31pL2/60 + pL2/20

Fin T Ry0 F=pL G x Ry1 Mz G x M T(x)=-px T(x)=-px+ 31pL/20 Elts Réd1 1) Tracé des diagrammes des Eléments de Réduction Valeur de x G:0xL/3 G:L/3x2L/3 G:2L/3x < L Effort Tranchant T(x)=-px T(x)=-px+ 31pL/20 T(x)=-px+ 11pL/20 x T 73pL/60 Diagramme effort tranchant Ry0 53pL/60 F=pL -7pL/60 G x=L/3 x=2L/3 1 Ry1 -pL/3 -9pL/20 Moment de flexion Mz(x)=px2/2 - 31pL/20*(x) + 31pL2/60 - 11pL/20*(x) + pL2/20 pL/3 x Mz Diagramme des moments pL2/18 -73pL/60 9pL/20 G x=L/3 x=2L/3 1 -17pL2/180 M 7pL/60 Fin -53pL2/180 -53pL/60

Elts Réd1 Fin Elts de Réduction 1 Cela termine Le premier exemple