ATHENEE ROYAL GATTI DE GAMOND Professeur: CHANTAL RANDOUR-GABRIEL L’EAU MONTE! ATHENEE ROYAL GATTI DE GAMOND 65, rue du MARAIS 1000 Bruxelles Parrain du projet: JEAN DRABBE Professeur Emérite de l’ULB Professeur: CHANTAL RANDOUR-GABRIEL Le travail a été exécuté par les élèves de 5ème 6h math et 6ème 4h math. Pour chacun, ce fut une motivation pour apprendre et appliquer de nouvelles connaissances mathématiques figurant dans le programme. Chaque groupe a du expliquer ses réalisations à ses condisciples afin de pouvoir fournir les explications au public en l’absence de certains élèves. Un échange entre les connaissances des élèves des deux niveaux a montré les liens entre les études d’une année à l’autre et l’importance de la maîtrise à long terme des notions rencontrées. La présentation à un public varié, a obligé les élèves à adapter leur discours, à rechercher une pédagogie, à dégager les éléments essentiels de leur travail et a donné un sens naturel à la restitution des apprentissages. Ce dossier permet, si vous disposez du logiciel Cabri-géomètre TM de visualiser les figures réalisées en cliquant sur les images.

La démarche Dans un premier temps, les élèves de 5ème 6h math cherchent à simuler le remplissage du cylindre et de 2 cônes (un sur pointe et l’autre sur sa base) afin d’observer le comportement de fonctions indiquant la hauteur du niveau de l’eau. Le problème a sa place dans le cours d’analyse, mais la partie dessin fera appel à des notions de géométrie. Le logiciel Cabri-Géomètre IItm est choisi pour réaliser une animation. Ces élèves n’ayant pas la connaissance du logiciel Cabri ni le concept de dérivée, la première partie du travail consiste en l’apprentissage des concepts et la familiarisation avec le logiciel. Un des objectifs est de remplir un icosaèdre et de le représenter en perspective oblique. Jean Drabbe développe les calculs pour résoudre ce problème. Pour commencer la recherche, il propose de remplir un octaèdre. Les formules sont calculées en classe et quelques notions de géométrie descriptive et de géométrie dans l’espace permettent de représenter l’octaèdre se remplissant en perspective oblique. Le remplissage de l’icosaèdre demande trop de calculs et donc trop de temps pour être développé dans la classe. Il pourrait se faire avec quelques élèves plus tard.

Les élèves de 6ème 4h math, déjà familiarisés avec Cabri, simulent le remplissage de la sphère après avoir appris les notions de calcul intégral. Les formules démontrées, se pose le problème de résoudre une équation du 3ème degré. Jean Drabbe propose de résoudre ce problème par une trisection d’angle. Les élèves de 5ème et de 6ème sont amenés à faire une construction Cabri pour résoudre géométriquement l’équation et la tester dans divers cas. Une démonstration utilisant la trigonométrie et nécessitant de nouvelles formules pas encore découvertes par la classe est faite et montre la pertinence de la construction.

Les acquis des élèves liés au projet L’observation de la croissance des fonctions et du comportement des dérivées dessinées par approximation, est une belle application des notions d’analyse que doivent maîtriser les élèves du secondaire avec l’avantage d’un support lié à une réalité. La comparaison des dérivées dans le cas du remplissage de la sphère et de l’octaèdre fait mieux comprendre aux élèves le rôle de la dérivée seconde. La représentation en perspective oblique de l’octaèdre est un bon exercice pour appliquer les théorèmes vus en géométrie et une introduction aux changements de base si l’on veut travailler avec des systèmes de coordonnées. Le travail des élèves réalisé, ils doivent présenter le problème au public. Ils proposent un jeu de devinettes consistant à présenter une fonction, le spectateur devant trouver le récipient correspondant au dessin. Afin d’attirer le spectateur ils doivent concevoir le dessin de manière à simuler le remplissage des récipients avec une animation et jouer alors avec des paramètres.

L’EAU MONTE! Le développement mathématique détaillé Introduction A la Cité des Sciences de Paris, des robinets de même débit remplissent des récipients de même volume et de même hauteur. Des graphiques indiquant la hauteur de l’eau et la vitesse de remplissage pour chaque récipient, en fonction du temps sont dessinés. Le spectateur est invité à associer un graphique à un récipient. Voici une simulation de cette expérience réalisée avec le logiciel Cabri-Géomètre. REMPLISSAGE DE 2 CONES ET D’UN CYLINDRE Les données suivantes sont choisies mais peuvent être modifiées: H la hauteur des récipients V le volume des récipients D le débit des robinets Temps nécessaire pour remplir entièrement les récipients T = V/D Le temps t varie de 0 à T Volume obtenu au temps t V(t) =t.D

PETIT FORMULAIRE

Remplissage d’un cylindre et de 2 cônes. Le volume V et la hauteur H étant déterminés, les bases sont obtenues par calcul.

Dessin du cylindre et des 2 cônes en projection verticale

Calcul de H(t) pour chaque récipient dans le cas ci-dessous t =2.46 Figure Cabri de El Madyouni A.M.

Graphique des hauteurs en fonction du temps pour chaque récipient

Hauteur temps Figure Cabri de Sarout J.

Graphique des fonctions hauteur et de leur dérivée en fonction du temps obtenues par calcul approché Choisir un nombre p, calculer dans les 3 cas le rapport (h(t+p)-h(t) ) / p et diminuer p le plus possible (p=0.0001 donne une bonne approximation ) Hauteur Cliquer sur la figure pour voir l’image Cabri temps

REMPLISSAGE DE L’OCTAEDRE données V et D Sur la projection verticale, on voit en vraie grandeur la hauteur des faces et d ’un côté, les segments roses sur cette figure représentons l’octaèdre en perspective oblique

Appelons c(t1) le côté du carré à la hauteur h(t1) *

Quand t parcourt le segment T/2 à T, il suffit de laisser vide Vvide(t2) = V-V(t2) Ce volume correspont à une hauteur Hvide(t2) en utilisant la formule * pour ce volume

Voici la simulation du remplissage d’un octaèdre et d’un cylindre de volume V et de hauteur H La tangente à la fonction h(t) en t est représentée par un segment. Pour le construire on dessine la droite comprenant les points( t,h(t)) et (t+p,h(t+p)) avant de donner à p une valeur très petite. Hauteur temps

rem:le logiciel ne permet pas de mettre en bleu tout le volume rempli. Voici le niveau d’eau atteint pour 2 temps différents dans l’octaèdre représenté en perspective oblique avec Cabri. rem:le logiciel ne permet pas de mettre en bleu tout le volume rempli. Cliquer sur la figure pour voir l’image Cabri Figure Cabri de Sarout J.

REMPLISSAGE DE LA SPHERE données Vet D 1/Calcul du volume v d’une calotte de hauteur h dans une sphère de rayon r

2/Calcul de la hauteur h d’une calotte sphérique de volume v, r étant le rayon de la sphère d ’après les calculs de Jean Drabbe

remarque

3/Résolution de x³-3x-b=0 avec b[-2;2] a/Dessinons une de ces fonctions

Observons les divers zéros de ces fonctions. b/Représentons des fonctions de ce type et faisons varier b entre -2 et 2 Observons les divers zéros de ces fonctions. Cliquer sur la figure pour voir l’image cabri

d/vérifions le résultat sur un exemple

e/résumons ...

f/Les solutions construites et calculées ! Cliquer sur la figure pour voir l’image cabri Figure de El Boulahli S.

4/Formule pour la hauteur h d’une calotte de volume v dans une sphère de rayon r

Voici la simulation du remplissage de 3 récipients de même volume Le cylindre a le même diamètre que celui de la sphère. Les unités de ce dessin sont les mêmes que sur le dessin suivant. Figures de Tabich H. et Chellai I. et Souici A.

Voici les fonctions donnant les hauteurs de l’eau en fonction du temps et la dérivée de ces hauteurs par rapport au temps dans les 3 récipients. Hauteur temps Figures de Tabich H. et Chellai I. et Souici A.

Voici le graphique des fonctions dérivées lorsqu’on modifie l’échelle des y pour le remplissage du cylindre, de la sphère et de l’octaèdre. Hauteur Cliquer sur la figure pour voir l’image cabri Figures de Tabich H. et Chellai I. et Souici A. temps

Associe une courbe à un des 4 récipients! Cliquer sur la figure pour voir l’image cabri Associe une courbe à un des 4 récipients!

Associe une courbe à un des 4 récipients!

Associe une courbe à un des 3 récipients! Cliquer sur la figure pour voir l’image cabri Associe une courbe à un des 3 récipients!

Associe une courbe à un des 3 récipients! Cliquer sur la figure pour voir l’image cabri Associe une courbe à un des 3 récipients!

SOURCES Textes et correspondance de Jean Drabbe Citésdocs Explora n°46, Mathématiques Editions de la Cité des Sciences et de l’Industrie Paris 2001