Fondements – avenir incertain Professor André Farber Solvay Business School Université Libre de Bruxelles

Rappel: Certitude – 1 période Valeur actuelle: Critères de choix d’investissement: Interprétation de la VAN: Mesure l’accroissement de richesse des propriétaires de l’entreprise Indépendante des préférences de choix intertemporels Valeur de l’entreprise: Non endettée: Endettée: DESG 2 Incertitude

Introduction de l’incertitude Deux approches possibles: Source d’incertitude = états de la « nature » (Arrow 1953) Applications contemporaines: actifs dérivés Rentabilités financières = variable aléatoires distribuées selon loi normale (Markowitz 1952) Aujourd’hui: analyse dans le cadre d’états de la nature TEMPS: 1 période INCERTITUDE: Une seule source d’incertitude: la conjoncture 2 états possibles: Bonne conjoncture b Probabilité: p Mauvaise conjoncture m Probabilité: 1-p DESG 2 Incertitude

Exemple Prix aujourd’hui Cash flow bonne conjoncture (0.40) Cash flow mauvaise conjoncture(0.60) Zéro-coupon unitaire (ZC) 100 105 Action (A) 50 25 Taux d’intérêt sans risque rf Voir fichier Excel Arrow Illustrated Cash flow attendu Rentabilité attendue de l’action DESG 2 Incertitude

Actifs financiers Prix aujourd’hui Cash flow bonne conjoncture (p) Cash flow mauvaise conjoncture(1-p) Zéro-coupon unitaire v1 1 Action a CFA1b=ua CFA1m=da Taux d’intérêt sans risque rf Cash flow attendu Rentabilité attendue de l’action DESG 2 Incertitude

Evaluation de l’action Le prix de l’action est égale à la valeur actuelle du cash flow actualisé au taux de rentabilité attendue DESG 2 Incertitude

Evaluation d’un actif nouveau Valeur Bonne conjoncture Proba = 0.40 Mauvaise conjoncture Proba = 0.60 Rentabilité attendue Nouvel actif ? 30 50 Evaluation par comparaison: est-il possible de reproduire l’actif nouveau en combinant l’obligation et l’action? Nous devons résoudre le systéme d’équations suivant: Solution: nZC = 0.54 nS = - 0.27 La valeur du portefeuille est donc: V = 0.54 ×100 + (-0.27) × 50 = 40.6 Conclusion: la valeur de l’actif nouveau est V = 40.6 Sinon, ARBITRAGE DESG 2 Incertitude

Titres contingents / Options digitales Une option digitale est un titre qui paie 1 dans un état du monde, 0 autrement. (also known as Arrow-Debreu securities, contingent claims) Valeur Etat = B Etat = M Option B v1b 1 Option D v1m 2 états → 2 options D Evaluation nZC = -0.0032 nA = 0.0133 nZC = 0.0127 nA = -0.0133 vu = 0.35 vd = 0.60 Les prix d’options digitales sont appelés prix des titres contigents, prix d’états DESG 2 Incertitude

Prix de titres contingents A l’équilibre, le prix payé pour recevoir 1€ dans un état du monde doit être le même dans les deux titres Dans le cas contraire, il y aurait une possibilité d’arbitrage Un portefeuille d’arbitrage est un portefeuille: - dont la valeur est négative ou nulle (vous ne payez rien ou, mieux encore, vous êtes payé pour détenir ce portefeuille) dont la valeur est positive dans au moins un des états du monde et nulle dans les autres. The key intuition is to view each asset as a portfolio of future values contingent of the states of the world. If you buy the stock, you pay 1 and you will receive 2 in the B state and 0.5 in the R state. The no arbitrage condition is a very general equilibrium. Here is an illustration of an arbitrage. Suppose the price the stock is 0.40 (instead of 1). All other data are the same. Now consider the following portfolio: Bond: -0.32 (a short position, you borrow) Stock: +0.27 (a long position, you buy 0.67 shares @ 0.40/share) This portfolio has a negative value (you still have 0.05 after buying the shares). Let’s calculate the future values: Boom: 0.67 x 2 – 0.32 x 1.05 = 1 Recession: 0.67 x 0.50 – 0.32 x 1.05 = 0 This would be a great deal. You don’t spend anything today (you even receive 0.05) and you have a chance of receiving 1 in the Boom state and the certainty of no loosing in the Recession state. L’absence d’arbitrage est l’une des conditions les plus générale d’équilibre (dans un marché à l’équilibre, pas de repas gratuit!) DESG 2 Incertitude

Théorème fondamental Dans un marché complet (nombre d’actifs = nombre d’états), la condition d’absence d’arbitrage (NA) est satisfaite si et seulement si il existe des prix d’états strictement positifs tels que: Dans notre exemple: Valuing Asset 3: State are similar to discount factors. Expected return: DESG 2 Incertitude

A more general formulation: Price Value up state Proba π Value down state Proba 1 - π Zéro-coupon 1 1+rf Action a ua da DESG 2 Incertitude

Utilisation des prix d’états Une fois connus les prix d’états, l’évaluation est simple: La valeur d’un actif générant des cash flows futurs C1b et C1m est: La valeur actuelle d’un projet de coût I qui rapporte C1b ou C1m DESG 2 Incertitude